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Ch4-,*,*,Ch4-,1,第四章,第四章,随机变量的数字特征,Ch4-1第四章第四章 随机变量的数字特征,Ch4-,2,分布函数能完整地描述,r.v.,的统,计特性,但实际应用中并不都需要知,道分布函数，而只需知道,r.v.,的某些,特征.,判断棉花质量时,既看纤维的,平均长度,平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好,;,又要看,纤维长度与平均长度的偏离程度,例如,：,Ch4-2 分布函数能完整地描述 r.v.的统,Ch4-,3,考察一射手的水平,既要看他的,平均环数,是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即,数据的波动,是否小,.,由上面例子看到，与,r.v.,有关的,某些数值，虽不能完整地描述,r.v.,但,能清晰地描述,r.v.,在某些方面的重要,特征,这些数字特征在理论和实践上,都具有重要意义,.,Ch4-3 考察一射手的水平,既要看他的平均,Ch4-,4,r.v.,的平均取值,数学期望,r.v.,取值平均偏离均值的情况,方差,描述两,r.v.,间的某种关系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,Ch4-4 r.v.的平均取值 数学期望本随机变量,Ch4-,5,4.1 数学期望,加 权 平 均,初,赛,复,赛,决,赛,总,成,绩,算术,平均,甲,乙,90 85 53 228 76,88 80 57 225 75,胜者,甲 甲 乙 甲 甲,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例,学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负,4.1,Ch4-54.1 数学期望加 权 平 均初复决总算术甲9,Ch4-,6,为这 3 个数字的,加权平均,称,数学期望的概念源于此,Ch4-6为这 3 个数字的加权平均称数学期望的概念源于此,Ch4-,7,设,X,为离散,r.v.,其分布为,若无穷级数,其和为,X,的,数学期望,记作,E,(,X,),即,数学期望的定义,定义,绝对收敛,则称,定义,Ch4-7 设 X 为离散 r.v.其分布为若无穷级数其,Ch4-,8,设连续,r.v.,X,的,d.f.,为,若广义积分,绝对收敛,则称此积分为,X,的,数学期望,记作,E,(,X,),即,数学期望的本质,加权平均,它是一个数不再是,r.v.,定义,Ch4-8设连续 r.v.X 的 d.f.为若广义积分绝,Ch4-,9,例1,X B,(,n,p,),求,E,(,X,),.,解,特例,若,Y B,(1,p,),则,E,(,Y,),例1,Ch4-9例1 X B(n,p),Ch4-,10,例2,X N,(,2,),求,E,(,X,),.,解,例2,Ch4-10例2 X N(,2),Ch4-,11,常见,r.v.,的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),Ch4-11常见 r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为,Ch4-,12,分布,期望,概率密度,U(,a,b,),E,(,),N,(,2,),Ch4-12分布期望概率密度U(a,b)E()N(,Ch4-,13,注意,不是所有的,r.v.,都有数学期望,例如,：柯西(,Cauchy),分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在!,Ch4-13注意 不是所有的 r.v.都有数学期望例如：柯,Ch4-,14,设离散,r.v.,X,的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续,r.v.,的,d.f.,为,f,(,x,),绝对收敛,则,若广义积分,r.v.,函数,Y=g,(,X,),的数学期望,一维,Ch4-14 设离散 r.v.X 的概率分布为 若无穷级数,Ch4-,15,例,3,设随机变量,X,的概率分布律如表，,Y=X,2,求,E(Y),。,解 由定理，有,E(Y)=E(X,2,)=(-1),2,0.4+0,2,0.3+1,2,0.3=0.7,X,P,-1 0 1,0.4 0.3 0.3,Ch4-15例3 设随机变量X的概率分布律如表，Y=X2,Ch4-,16,解,例,4,已知,X,U,(,1),Y=X,2,求,E(Y),Ch4-16解例4 已知 X U(,1),Y,Ch4-,17,设离散,r.v.(,X,Y,),的概率分布为,Z=g,(,X,Y,),绝对收敛,则,若级数,二维,Ch4-17 设离散 r.v.(X,Y)的概率分布为,Ch4-,18,设连续,r.v.(,X,Y,),的联合,d.f.,为,f,(,x,y,),，Z=g,(,X,Y,),绝对收敛,则,若广义积分,Ch4-18 设连续 r.v.(X,Y)的联合 d.f,Ch4-,19,例,设(,X,Y,),N,(0,1;0,1;0),求,的数学期望.,解,例3,Ch4-19例 设(X,Y)N(0,1;,Ch4-,20,E,(,C,)=,C,E,(,aX,)=,a E,(,X,),E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),当,X,Y,独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,数学期望的性质,常数,期望性质,Ch4-20 E(C)=C E(aX)=a,Ch4-,21,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,反例见附录 1,注,Ch4-21性质 4 的逆命题不成立，即若E(X Y),Ch4-,22,例,设二维,r.v.(,X,Y,),的,d.f.,为,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,X,+,Y,),E,(,X Y,),E,(,Y/X,),解,例,5,Ch4-22例 设二维 r.v.(X,Y)的 d.,Ch4-,23,由数学期望性质,X,Y,独立,Ch4-23由数学期望性质X,Y 独立,Ch4-,24,数学期望的应用,应用,Ch4-24数学期望的应用应用,Ch4-,25,据统计65岁的人在10年内正常死亡,解,应用1,的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险,公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳,保险费100元,.若10 年内,因事故死亡公司赔偿,a,元,应如何定,a,才能使公司可期望获益;,若有1000人投保,公司期望总获益多少?,设,X,i,表示公司从第,i,个投保者身上所得,的收益,i,=11000.,则,X,i,0.98 0.02,100 100,应用1,Ch4-25据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率,Ch4-,26,由题设,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望,总获益40000元.,Ch4-26由题设 公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获,Ch4-,27,为普查某种疾病,n,个人需验血.验血方,案有如下两种：,分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,分组化验,k,个人的血混在一起化验,若,结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则,对,k,个人的血逐个化验,找出有病者,此时,k,个人的血需化验,k+,1,次.,设每人血液化验呈阳性的概率为,p,且,每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪,一方案较经济.,验血方案的选择,应用2,应用2,Ch4-27 为普查某种疾病,n 个人需验血,Ch4-,28,解,只须计算方案(2)所需化验次数的期望.,为简单计,不妨设,n,是,k,的倍数，共分成,n/k,组.,设第,i,组需化验的次数为,X,i,，,则,X,i,P,1,k+,1,Ch4-28解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望.设第,Ch4-,29,若,则,E,(,X,),n,例如,当,时,选择方案(2)较经济.,Ch4-29若则E(X)n例如,当,Ch4-,30,市场上对某种产品每年需求量为,X,吨，,X U,2000,4000,每出售一吨可赚,3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1,万元，问应该生产这种商品多少吨,才能,使平均利润最大？,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,显然，2000,y,4000,应用3,应用3,Ch4-30 市场上对某种产品每年需求量为,Ch4-,31,Ch4-31,Ch4-,32,显然，,故,y=,3500,时,E,(,Y,),最大,E,(,Y,)=8250,万元,Ch4-32显然，故 y=3500 时,E(Y)最大,Ch4-,33,设由自动线加工的某种零件的内径,X,(,mm,),N,(,1,).,已知销售每个零件的利润,T,(,元)与销售零件的内径,X,有如下的关系：,问平均直径,为何值时,销售一个零件的,平均利润最大？,应用4,应用4,Ch4-33 设由自动线加工的某种零件,Ch4-,34,解,Ch4-34解,Ch4-,35,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,故,时,销售一个,Ch4-35即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一,Ch4-,36,柯西,Augustin-Louis,Cauchy,1789-1857,柯西,法国数学家,Ch4-36柯西 Augustin-Louis,Ch4-,37,柯 西,简介,法国数学家 27岁当选法国科学院院士,早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.,在概率论中他给出了有名的柯西分,布.然而他一生中最重要的数学贡献在,另外三个领域：微积分学、复变函数和,微分方程.,Ch4-37柯 西 简介法国数学家 27岁当选法国科,Ch4-,38,柯西在代数学、几何学、误差理论以及,天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色,的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数,学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.,在这三个领域中我们常常能见到以柯西,名字命名的定理、公式和方程等:,柯西积分定理;,柯西积分公式;,柯西-黎曼方程;,柯西判别法则;,柯西不等式;,柯西初值问题,Ch4-38 柯西在代数学、几何学、误差理论以,微积分在几何上的应用 1826 年,柯西的著作大多是急就章，但都朴实无,华，有思想,有创见.他所发现和创立的定理,和公式,往往是一些最简单、最基本的事实.,因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.,柯西是一位多产的数学家，一生共发表,论文 800 余篇，著书7本.柯西全集共有,27卷，其中最重要的为：,分析教程 1821 年,无穷小分析教程概论 1823 年,Ch4-,39,微积分在几何上的应用 1826 年 柯西的,Ch4-,40,若,X,服从柯西(,Cauchy),分布,其,p.d.f.,为,简记,X,C(),分布,Ch4-40若 X 服从柯西(Cauchy)分布,简记,Ch4-,41,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,反例 1,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p,j,p,i,附录,附录,Ch4-41性质 4 的逆命题不成立，即若E(X Y),Ch4-,42,X Y,P,-1 0 1,但,Ch4-42X Y P-1 0,Ch4-,43,反例2,Ch4-43反例2,Ch4-,44,但,Ch4-44但,
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