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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/6/7,#,线段的垂直平分线的性质,（第二课时）,线段的垂直平分线的性质（第二课时）,1,图示,性质,定理,角平分线,A,C,B,P,M,N,角平分线上的点到角两边的距离相等,PC,平分,ACB,，,PM,AC,，,PN,BC,，,PM,=,PN,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,PM,AC,，,PN,BC,，,PM,=,PN,，,PC,平分,ACB,复习回顾,图示性质定理角平分线ACBPMN角平分线上的点到角两边的距离,2,根据小东设计的尺规作图过程，,OA=OB，OA=OC,角平分线上的点到角两边的距离相等,AC的垂直平分线是ON，,证明：AD为BAC的平分线,证明：取AB中点C，作直线PC,如图，已知PA=PB，,证明：AB=_，AC=_，,（）（填推理的依据）,如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，A=C，BE=DE,分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，,下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.,DEAB，DFAC，,ACP+BCP=180，,定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,求证：点P在AB的垂直平分线上.,ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，,（2）完成下面的证明,PC是AB的垂直平分线，,ADEADF（AAS）,（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧，两弧相交于点E；,ADEADF（AAS）,根据小东设计的尺规作图过程，,例 如图，AD为BAC的平分线，DE AB于E，DFAC于F，求证：AD是EF的垂直平分线,线段的垂直平分线的性质（第二课时）,也就是要证AE=AF，DE=DF,AC的垂直平分线是ON，,AB的垂直平分线是OM，,ADEADF（AAS）,证明：取AB中点C，作直线PC,如图，已知PA=PB，,AD是EF的垂直平分线,证明：（2）连接OA，OB，OC，,PACPBC(SSS),例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm,求证：点P在AB的垂直平分线上.,BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=5 cm,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,点P在线段AB的垂直平分线上,AED=AFD=90,点A和点D都在EF的垂直平分线上,AD是EF的垂直平分线,（2）三角形三边的垂直平分线交于一点,ACP+BCP=180，,图示,性质,线段的垂直平分线,A,B,l,C,P,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,直线,l,是线段,AB,的垂直平分线,，,PA,=,PB,猜想,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,复习回顾,PA,=,PB,，,点,P,在,线段,AB,的垂直平分线,上,根据小东设计的尺规作图过程，根据小东设计的尺规作图过程，图示,3,如图，已知,PA,=,PB,，,求证：点,P,在,AB,的垂直平分线上,.,l,C,B,A,P,分析：要证点,P,在,AB,的垂直平分线上，,只需证点,P,和,AB,的中点,C,所连直线,PC,是,AB,的垂直平分线，即,PC,AB,只需证,PAC,PBC,（,SSS,）,取中点，证垂直,如图，已知PA=PB，lCBAP分析：要证点P在AB的垂直平,4,如图，已知,PA,=,PB,，,求证：点,P,在,AB,的垂直平分线上,.,l,C,B,A,P,证明：取,AB,中点,C,，作直线,PC,AC,=,CB,在,PAC,和,PBC,中，,ACP,+,BCP,=180,，,ACP,=,BCP,=90,PC,AB,PC,是,AB,的垂直平分线，,即点,P,在,AB,的垂直平分线上,PAC,PBC,(SSS),ACP,=,BCP,如图，已知PA=PB，lCBAP证明：取AB中点C，作直线P,5,【小结】,此方法可以称为,“,取中点，证垂直,”,，也可以,“,作垂直，证中点,”,，,留给同学们自主完成,l,C,B,A,P,如图，已知,PA,=,PB,，,求证：点,P,在,AB,的垂直平分线上,.,定理：,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,【小结】lCBAP如图，已知PA=PB，定理：与线段两个端点,6,例,如图，,AD,为,BAC,的平分线，,DE,AB,于,E,，,DF,AC,于,F,，求证：,AD,是,EF,的垂直平分线,分析：要证,AD,是,EF,的垂直平分线，只需证点,A,和点,D,都在,EF,的垂直平分线上，,也就是要证,AE,=,AF,，,DE,=,DF,A,B,C,D,E,F,例 如图，AD为BAC的平分线，DE AB于E，DF,7,证明：,AD,为,BAC,的平分线,DAE,=,DAF,DE,AB,，,DF,AC,，,AED,=,AFD,=90,在,ADE,和,ADF,中，,AE,=,AF,，,DE,=,DF,点,A,和点,D,都在,EF,的垂直平分线上,AD,是,EF,的垂直平分线,ADE,ADF,（,AAS,）,A,B,C,D,E,F,证明：AD为BAC的平分线AE=AF，DE=DF,8,例,如图，在,ABC,中，边,AB,的垂直平分线,OM,与边,AC,的垂直平分线,ON,交于点,O,，分别交,BC,于点,D,E,，已知,ADE,的周长为,5 cm,（,1,）求,BC,的长；,（,2,）求证：点,O,在,BC,的垂直平分线上,解：（,1,）,AB,的垂直平分线是,OM,，,AC,的垂直平分线是,ON,，,AD,=,BD,，,AE,=,CE,ADE,的周长为,AD,+,DE,+,AE,=5 cm,，,BC,=,BD,+,DE,+,CE,=,AD,+,DE,+,AE,=5 cm,例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直,9,也就是要证AE=AF，DE=DF,例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,AB的垂直平分线是OM，,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,分析：要证点P在AB的垂直平分线上，,定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,如图，已知PA=PB，,PACPBC(SSS),证明：（2）连接OA，OB，OC，,如图，已知PA=PB，,求证：点P在AB的垂直平分线上.,（2）完成下面的证明,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,ADEADF（AAS）,OA=OB，OA=OC,证明：AB=_，AC=_，,（）（填推理的依据）,分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，,也就是要证AE=AF，DE=DF,证明：AB=_，AC=_，,分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，,证明,：,（,2,）连接,OA,，,OB,，,OC,，,AB,的垂直平分线是,OM,，,AC,的垂直平分线是,ON,，,OA,=,OB,，,OA,=,OC,OB,=,OC,点,O,在,BC,的垂直平分线上,例,如图，在,ABC,中，边,AB,的垂直平分线,OM,与边,AC,的垂直平分线,ON,交于点,O,，分别交,BC,于点,D,E,，已知,ADE,的周长为,5 cm,（,1,）求,BC,的长；,（,2,）求证：点,O,在,BC,的垂直平分线上,也就是要证AE=AF，DE=DF证明：（2）连接OA，OB,10,小结,：,（,1,）常见的辅助线：连接,要证的,垂直平分线上的点到线段两端点的距离；,（,2,）三角形三边的垂直平分线交于一点,小结：,11,定理：,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,A,B,P,l,C,A,B,P,l,C,课堂小结,定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上A,12,例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm,解：（1）AB的垂直平分线是OM，,PACPBC(SSS),ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，,直线BC是线段AE的垂直平分线,（）（填推理的依据）,如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，A=C，BE=DE,（2）完成下面的证明,证明：（2）连接OA，OB，OC，,也就是要证AE=AF，DE=DF,如图，已知PA=PB，,如图，已知PA=PB，,证明：取AB中点C，作直线PC,ADEADF（AAS）,求证：点P在AB的垂直平分线上.,（1）常见的辅助线：连接要证的垂直平分线上的点到线段两端点的距离；,（）（填推理的依据）,（2）完成下面的证明,（2）求证：点O在BC的垂直平分线上,（2）三角形三边的垂直平分线交于一点,ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，,AD=BD，AE=CE,1.,如图，,AD,与,BC,相交于点,O,，,OA,=,OC,，,A,=,C,，,BE,=,DE,求证：,OE,垂直平分,BD,作 业,例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直,13,2.,下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程,.,已知：,ABC,.,求作：,ABC,的边,BC,上的高,AD,.,作法：如图，,（,1,）分别以点,B,和点,C,为圆心，,BA,CA,为半径作弧，两弧相交于点,E,；,（,2,）作直线,AE,交,BC,边于点,D.,所以线段,AD,就是所求作的高,.,A,B,C,2.下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.,14,根据小东设计的尺规作图过程，,（,1,）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）,（,2,）完成下面的证明,证明：,AB,=_,，,AC,=_,，,点,B,C,都在线段,AE,的垂直平分线上,（,）（填推理的依据）,直线,BC,是线段,AE,的垂直平分线,（,）（填推理的依据）,AD,BC,，即,AD,是,ABC,的边,BC,上的高,根据小东设计的尺规作图过程，,15,同学们，再见！,同学们，再见！,16,
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