数值分析-误差分析和解的精度改进(共40张PPT)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数值分析,数值分析,第四节 误差分析和解的精度改进,一、解的误差分析基本问题解的稳定性,三,、数值稳定性及解的精度改进,第1页，共40页。,一、解的误差分析基本问题解的稳定性,第2页，共40页。,第3页，共40页。,数学稳定性:,对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是,病态问题,，否则称为,良态问题,。,数值方法的稳定性:,一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。,第4页，共40页。,第5页，共40页。,第6页，共40页。,第7页，共40页。,第8页，共40页。,第9页，共40页。,第10页，共40页。,第11页，共40页。,第12页，共40页。,第13页，共40页。,证闭,第14页，共40页。,第15页，共40页。,这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界,第16页，共40页。,第17页，共40页。,第18页，共40页。,第19页，共40页。,第20页，共40页。,第21页，共40页。,在正交变换下，误差不增长,第22页，共40页。,一、解的误差分析基本问题解的稳定性,（2）（行）比例增减改善,这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界,1、在第一步消元前，计算,3、对换 Ek Er ,sk sr,要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。,方程组,这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界,在正交变换下，误差不增长,三、数值稳定性及解的精度改进,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。,列主元法求解x1=x2=1,三、数值稳定性及解的精度改进,（2）（行）比例增减改善,第23页，共40页。,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。,列主元法求解,x,1,=,x,2,=1,按行比例,消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。,（2）（行）比例增减改善,第24页，共40页。,例4,应用按比例消元法求解,方程组,2、在第k步消元前，选主元指标r使,3、对换 E,k,E,r,s,k,s,r,4、消元,具体步骤如下：,1、在第一步消元前，计算,第25页，共40页。,第26页，共40页。,算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组,Ax=b,第27页，共40页。,第28页，共40页。,第29页，共40页。,迭代改善的计算格式：,第30页，共40页。,第31页，共40页。,第32页，共40页。,|,|,|,|,第33页，共40页。,病态严重：,1:正交分解,2:,A,的奇异值分解。,轻度病态：,1:双精度改善,2:比例增减改善,3:迭代改善。,2.解的精度改进,第34页，共40页。,在正交变换下，误差不增长,要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。,在正交变换下，误差不增长,三、数值稳定性及解的精度改进,例4 应用按比例消元法求解,算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b,当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。,在正交变换下，误差不增长,三、数值稳定性及解的精度改进,3、对换 Ek Er ,sk sr,3、对换 Ek Er ,sk sr,二版习题 P116-24,26,28,证明,：,病态的程度。,接近奇异,的大小可作为度量矩阵,最小的奇异值,分解,的,n,n,T,T,n,A,A,A,A,A,cond,diag,V,U,A,SVD,A,s,s,s,l,l,s,s,s,1,min,max,2,2,1,),(,),(,),(,),.,(,),1,(,=,=,=,S,S,=,奇异值分解的应用,第35页，共40页。,第36页，共40页。,第37页，共40页。,要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。,第38页，共40页。,培养“数觉”：,当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。设计计算需要充分理解运算的意义，解释结果需要会判断机器输出的某个结果正确与否，如果有错，错误是来自数据输入、运算的选择或是机器的运行。,第39页，共40页。,二版习题,P116-24,26,28,三版习题,P138-14,16,18,第40页，共40页。,