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第,2,章 四边形,2.5.1,矩形的性质,学习目标,1.,理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别,与,联系,.,（重点）,2.,会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问,题,.,（,重点、,难点）,3.,掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用,.,（重点）,观察下面图形,长方形,在,生活中无处不在,.,情景引入,思考,长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？,你还能举出其他的例子吗？,矩形的性质,一,活动,1,：,利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察,.,矩形,平行四边形,矩形,有一个角,是直角,矩形是特殊的平行四边形,.,定义：,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,.,归纳总结,平行四边形不一定是矩形,.,思考,因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？,可以从边，角，对角线等方面来考虑,.,活动,2,：,准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等,.,（,1,）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果,.,A,B,C,D,O,AB,AD,AC,BD,BAD,ADC,AOD,AOB,橡皮擦,课本,桌子,物体,测量,（实物）,（形象图）,（,2,）,根据测量的结果,你有什么猜想？,猜想,1,矩形的四个角都是直角,.,猜想,2,矩形的对角线相等,.,你能证明吗？,证明：由定义，矩形必有一个角是直角，,设,A,=90,ABDC,，,A,D,B,C,，,B,=,C,=,D,=90.,（两直线平行，同旁内角互补）,即矩形,ABCD,的四个角都是直角,.,已知,矩形,ABCD,.,求证,：,A,=,B,=,C,=,D,=90,.,A,B,C,D,证一证,证明：,四边形,ABCD,是矩形,AB,=,DC,ABC,=,DCB,=90,在,ABC,和,DCB,中,AB,=,DC,ABC,=,DCB,BC,=,CB,ABC,DCB,.,AC,=,DB,.,A,B,C,D,O,如图,四边形,ABCD,是矩形,ABC,=90,对角线,AC,与,DB,相交于点,O,.,求证,：,AC,=,DB,.,矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有：,矩形的四个角都是直角,.,矩形的对角线相等,.,归纳总结,几何语言描述：,在矩形,ABCD,中，,对角线,AC,与,DB,相交于点,O,.,ABC,=,BCD,=,CDA,=,DAB,=90,，,AC,=,DB,.,A,B,C,D,O,例,1,如图,在矩形,ABCD,中,两条对角线,AC,BD,相交于点,O,AOB,=60,AB,=4,求矩形对角线的长,.,解：四边形,ABCD,是矩形,.,AC,=,BD,，,OA,=,OC,=,AC,OB,=,OD,=,BD,OA,=,OB,.,又,AOB,=60,OAB,是等边三角形，,OA,=,AB,=4,，,AC,=,BD,=2,OA,=8.,A,B,C,D,O,典例精析,矩形的对角线相等且互相平分,例,2,如图,在矩形,ABCD,中,E,是,BC,上一点,AE,=,AD,DF,AE,垂足为,F,.,求证：,DF,=,DC,.,A,B,C,D,E,F,证明：连接,DE,.,AD,=,AE,AED,=,ADE,.,四边形,ABCD,是矩形,ADBC,C,=90.,ADE,=,DEC,DEC,=,AED,.,又,DF,AE,DFE,=,C,=90.,又,DE,=,DE,DFE,DCE,DF,=,DC,.,例,3,如图，将矩形,ABCD,沿着直线,BD,折叠，使点,C,落在,C,处，,BC,交,AD,于点,E,，,AD,8,，,AB,4,，求,BED,的面积,解：,四边形,ABCD,是矩形，,AD,BC,，,A,90,，,2,3.,又由折叠知,1,2,，,1,3,，,BE,DE,.,设,BE,DE,x,，则,AE,8,x,.,在,Rt,ABE,中，,AB,2,AE,2,BE,2,，,4,2,(8,x,),2,x,2,，,解得,x,5,，即,DE,5.,S,BED,DE,AB,54,10.,矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查,思考：,矩形是不是中心对称图形,?,如果是,那么对称中心是什么？,矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,由于矩形是平行四边形，因此,O,做一做,请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考,.,矩形是不是轴对称图形,?,如果是,那么对称轴有几条,?,矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴,.,练一练,1.,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,交于点,O,，,下列说法错误的是 （）,A,AB,DC,B,AC,=,BD,C,AC,BD,D,OA,=,OB,A,B,C,D,O,C,2.,如图，,EF,过矩形,ABCD,对角线的交点,O,，且分别交,AB,、,CD,于,E,、,F,，那么阴影部分的面积是矩形,ABCD,面积的,_.,3.,如图，在矩形,ABCD,中，,AE,BD,于,E,，,DAE,：,BAE,3,：,1,，求,BAE,和,EAO,的度数,解：,四边形,ABCD,是矩形，,DAB,90,，,AO,AC,，,BO,BD,，,AC,BD,，,BAE,DAE,90,，,AO,BO,.,又,DAE,：,BAE,3,：,1,，,BAE,22.5,，,DAE,67.5.,AE,BD,，,ABE,90,BAE,90,22.5,67.5,，,OAB,ABE,67.5,EAO,67.5,22.5,45.,1.,矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是,(),A.,对角线相等,B.,对边相等,C.,对角相等,D.,对角线互相平分,2.,若矩形的一条对角线与一边的夹角为,40,则两条对角线相交的锐角是,(),A.20 B.40 C.80 D.10,A,C,3.,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，点,E,、,F,分别是,AO,、,AD,的中点，若,AB,=6cm，,BC,=8cm，则,EF,=,_,cm,2.5,4.,如图,四边形,ABCD,是矩形,对角线,AC,BD,相交于点,O,BEAC,交,DC,的延长线于点,E,.,（,1,）求证：,BD,=,BE,（,2,）若,DBC,=30,BO,=4,求四边形,ABED,的面积,.,A,B,C,D,O,E,(1),证明：四边形,ABCD,是矩形,AC,=,BD,ABCD,.,又,BEAC,四边形,ABEC,是平行四边形,AC,=,BE,BD,=,BE,.,(2),解：,在矩形,ABCD,中,BO,=4,BD,=2,BO,=24=8.,DBC,=30,CD,=,BD,=8=4,AB,=,CD,=4,DE,=,CD,+,CE,=,CD,+,AB,=8.,在,Rt,BCD,中,BC,=,四边形,ABED,的面积,=(4+8)=.,A,B,C,D,O,E,5.,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,=6，,AD,=8，,P,是,AD,上的动点，,PE,AC,于,E,，,PF,BD,于,F,，求,PE,+,PF,的值,.,解：连接,OP,.,四边形,ABCD,是矩形，,DAB,=90，,OA,=,OD,=,OC,=,OB,，,S,AOD,=,S,DOC,=,S,AOB,=,S,BOC,=,S,矩形,ABCD,=68=12,.,在Rt,BAD,中，由勾股定理得,BD,=10，,AO,=,OD,=5，,S,APO,+,S,DPO,=,S,AOD,，,AO,PE,+,DO,PF,=12，即5,PE,+5,PF,=24，,PE,+,PF,=,.,能力提升：,矩形的相关概念及性质,四个内角都是直角，对边相等,两条对角线互相平分且相等,轴对称图形,有两条对称轴,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心,
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