几何的五大模型课件

,2018/7/28,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,几何问题,-,五大模型,风子编辑,几何问题风子编辑,1,概念,1,、等积变换模型,1,）等底等高的两个三角形面积相等,2,）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比,两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比,如图,1,S1,：,S2=a,：,b,3,）夹在一组平行线之间的等积变形，如图,2 S,ACD,=S,BCD,反之，如果,S,ACD,=S,BCD,，则有直线,AB/CD,S1,S2,a,b,A,B,C,D,图,1,图,2,概念1、等积变换模型1）等底等高的两个三角形面积相等S1S2,2,概念,2,、鸟头定理（共角定理）模型,1,）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形,2,）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,如图，在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,上的点，或,D,是,BA,延长线上，,E,在,AC,上，则有,S,ABC,：,S,ADE,=(ABAC),：,(ADAE),思考：怎样用等积变换模型来证明这个模型,A,B,C,D,E,概念2、鸟头定理（共角定理）模型1）两个三角形中有一个角相等,3,概念,3,、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）,1,）不规则四边形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1,：,S2=S4,：,S3,AO,：,OC=(S1+S2),：,(S3+S4),1,）梯形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1,：,S3=a,2,：,b,2,S1,：,S3,：,S2,：,S4=S3=a,2,：,b,2,：,ab,：,ab,S,梯形,的对应份数为（,a+b,）,2,概念3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）1）不规则四边,4,概念,4,、相似模型,A,B,C,D,E,金字塔模型,沙漏模型,F,G,E,F,D,A,B,G,C,1,）相似三角形线段关系,AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG,2,）相似三角形面积关系,S,ADE,：,S,ABC,=AF,2,：,AG,2,概念4、相似模型ABCDE金字塔模型沙漏模型FGEFDABG,5,概念：,A,B,C,G,D,E,F,S,ABG,：,S,ACG,=S,BGE,：,S,CGE,=BE:CE,S,BGA,：,S,BGC,=S,GAF,：,S,GCF,=AF:CF,S,AGC,：,S,BGC,=S,AGD,：,S,BGD,=AD:BD,5,、,燕尾定理模型,1,）翅膀之比等于尾巴之比,2,）翅膀面积之和：尾巴面积,=,翅骨：尾骨,（,S,ABG,+S,ACG,）：,S,BGC,=AG:GE,3,）,概念：ABCGDEFSABG：SACG=SBGE：,6,例题：等积变换,例题,1,：一个长方形分成,4,个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形,面积的,15%,，黄色三角形面积是,21cm,2,。问：长方形的面积是,多少平方厘米？,红,黄,绿,红,分析：,S,黄,+S,绿,=S,长方形,2,（,=,宽,长,2,）,黄色三角形面积,21cm,2,，占长方形面积比例,50%-15%=35%,因此，长方形面积,=2135%=60cm,2,例题：等积变换例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三,7,例题：等积变换,例题,2,：图中,ABCD,是个直角梯形，以,AD,为一边向外作长方形,ADEF,，,其面积为,6.36,平方厘米，连接,BE,交,AD,于,P,，再连接,PC,，则图,中阴影部分的面积是多少平方厘米？,A,B,C,D,E,F,P,分析：,1,、连接,AE,、,BD,，作两条平行线,2,、,PD/BC,，根据等积变换模型,S,PBD,=,S,PCD,AB/ED,根据等积变换模型,S,AEP,=,S,PDB,3,、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形,ADE,相等，即：,S,阴影,=S,ADEF,2=3.18,思考：几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。,例题：等积变换例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边,8,例题：一半模型,例题,3,：如图,ABFE,和,CDEF,都是矩形，,AB,的长是,4,厘米，,BC,的长是,3,厘,米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。,A,B,C,D,E,F,分析：阴影部分是一个个三角形，矩形,CDEF,中阴影,部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩,形宽相等，根据面积公式可知,S,阴影,=S,EDCF,2,思考：一半模型是什么意思？,例题：一半模型例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的,9,例题：燕尾定理模型,例题,4,：如图,E,在,AD,上，,AD,BC,，,AD=12cm,，,DE=3cm,，求,S,ABC,是,S,EBC,的几倍？,E,A,B,C,D,分析：,翅膀,尾巴,根据燕尾定理模型，,S,翅膀,：,S,尾巴,=AE:ED,S,ABC,=S,翅膀,+S,尾巴,S,EBC,=S,尾巴,S,EBC,S,EBC,=123=4,例题,5,：如图，,A,、,B,、,C,都是正方形边的中点，,COD,比,AOB,大,15,平方厘米的面积，,AOB,的面积是多少平方厘米。,A,E,B,D,C,O,ABD,的高是,CBD,的一半，而底边相同,S,COD,-S,AOB,=S,CBD,-S,ABD,=S,ABD,=15cm,2,S,AOB,=S,ABD,2=7.5cm,2,分析：,例题：燕尾定理模型例题4：如图E在AD上，ADBC，AD=,10,例题：等积变换模型,例题,4,：图中的,E,、,F,、,G,分别是正方形,ABCD,三条边的三等分点，如果正,方形的边长是,12,，那么阴影部分的面积是多少？,A,B,C,D,E,F,G,H,分析：,从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型,6,5,1,2,3,4,正方形的各条边边长相等，都为,12,，,E,、,F,、,G,为,三等分点，想想？可,采用什么模型,怎么变换呢？先画几条符合该模型的辅助线,想想？,HBE,与,HAB,、,HBF,与,HBC,、,HDG,与,HCD,之间的比例关系,都存在,1:3,的关系,所以：,S,阴影,是,S,正,的三分之一，即,S,阴影,=12123=48,例题：等积变换模型例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABC,11,例题：鸟头（共角）模型,例题,4,：如图，已知三角形,ABC,面积为,1,，延长至,D,，使,BD=AB,，延长,BC,至,E,，使,CE=2BC,，延长至,F,，使,AF=3AC,，求三角形,DEF,的面积,A,B,C,D,E,F,分析：,1,、,想想？,ACB,与,FCE,、,CAB,与,FAD,、,ABC,与,DBC,是什么关系,2,、互补。在共角模型中，共角三角形的面,积比等于对应交（相等或互补角）两夹边,的乘积之比,3,、,S,ABC,：,S,FCE,=BCCA,：,CEAF,S,FCE,=8 S,ABC,=8,同理可知：,S,FAD,=6,，,S,DBE,=3,所以：,S,FDE,=18,思考？共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试,关键点：添加辅助线,例题：鸟头（共角）模型例题4：如图，已知三角形ABC面积为1,12,例题：梯形蝴蝶定理模型,例题,4,：如图，面积为,12,平方厘米的正方形,ABCD,中，,E,、,F,是,DC,边上的,三等分点，求阴影部分的面积。,A,D,B,C,O,E,F,S1,S2,S4,S3,1,、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型,分析：,2,、,S2=S4,，,S1,：,S3=a,2,：,b,2,S1,：,S3,：,S2,：,S4=S3=a,2,：,b,2,：,ab,：,ab,a,b,3,、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们,可以假设最小的三角形面积为,1,份。,想想？,其它各部分所占的份数,4,、,a,：,b=3:1,，,S2=S4=3,份，,S1=9,份,5,、,想想？,正方形,ABCD,中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系,6,、,S,ADE,=S2+S3,，,S,BCF,=S4+S3,想想？,为什么，用了什么模型,7,、正方形,ABCD,被分成了,24,份,S,阴影,=S2+S4=62412=3cm,2,例题：梯形蝴蝶定理模型例题4：如图，面积为12平方厘米的正方,13,例题：相似模型,例题,4,：如图，长方形,ABCD,中，,E,为,AD,的中点，,AF,与,BE,、,BD,分别交于,G,、,H,，,OE,垂直,AD,于,E,，交,AF,于,O,，已知,AH=5cm,，,HF=3cm,，,求,AG,A,B,C,D,E,O,G,H,F,分析：,1,、根据题目意思，是要找到线段间的关系，,而图形中存在著多的相似三角形,2,、我们先来看看图中与,AG,、,AH,、,HF,相关,的相似图形,3,、共找到三对相关的相似图形,AB:FD=AH:HF=5,：,3,OE:FD=1,：,2,AB,：,OE=10,：,3,AO=AF/2=4cm,AG=41013=40/13,（,cm,）,例题：相似模型例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD的中点,14,例题：,例题,4,：正六边形,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,的面积是,2009,平方厘米，,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,分别是正六边形个边的中点，那么图中阴影六边形的面积是多少,平方厘米。,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,B,1,B,2,B,3,B,6,B,5,B,6,O,分析：,1,、阴影部分的面积等于正六边形,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,面积减去空白部分,面积,2,、找规律，空白部分由,6,个,A,2,OA,3,组成,例题：例题4：正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是200,15,