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自动控制原理,8.4,离散系统的数学模型,一、差分方程及其求解,1.,差分方程,导出系统的差分方程,输出信号的瞬时值为,例,8-17,求上图所示系统的差分方程，其中 。,解：,或：,例,8-18,若上例中的 ，试求系统的差分方程。,解：,描述了离散控制系统当连续部分是积分环节和惯性环节串联的差分方程,若,离散系统其连续部分是一个,n,阶的线性环节，则其对应的差分方程也是,n,阶的线性差分方程，其中一般包含有,n,个,过去采样瞬时的输出值。,差分方程给出了沿时间顺序输出量的若干个采样瞬时值和输入量在采样瞬时的值的关系，描述离散系统的动力学特性。,2.,应用,Z,变换求解差分方程,已知外输入和初始条件时，可以用迭代解法求出在任一采样时刻的输出值，但输出在采样时刻的一般表达式却很难得到。但利用,Z,变换可以实现。,利用,Z,变换的超前定理,将差分方程 代数方程,解：对差分方程两边取,Z,变换,例,8-19,用,Z,变换法解二阶差分方程,代入初始条件化简得,查,附录,得,解：由,Z,变换定义：,例,8-20,用,Z,变换法解二阶差分方程,代入初始条件 整理,由附录,查不到,对差分方程两边取,Z,变换,但由,Z,变换的性质，有,对本题,故,二、脉冲传递函数,1.,定义,在零初始条件下,说明：,（,1,）,G,（,s,）,一个线性环节的传递函数,G,（,z,）,是线性环节与采样开关相串联的离散系统的脉冲传递函数,（,2,）用,G,（,z,）,只能得出输出信号的采样序列,C,（,z,），,为了强调这一点，往往在输出端画上一个假想的同步采样开关。,2.,开环系统（或环节）的脉冲传递函数,按定义：连续系统的传递函数,G(s),脉冲响应函数,g(t),按采样周期离散化,g,*,(t),变换,G(z),Z,变换表,事实上：,G(s)G(z),例,8-21,求图示系统的脉冲传递函数。,解：,查,附录,，得,例,8-22,求图示系统的脉冲传递函数。,解：,查,Z,变换表,，得,3.,环节串联时的脉冲传递函数,（,1,）典型情况之一,结论：被理想采样开关隔开的,n,个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积,（,2,）典型情况之二,例,8-24,设,求：,解：,4.,带有零阶保持器,的开环系统的脉冲传递函数,上式第二项可以写为,采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为,例,8-25,采样控制系统如图所示,，,试求其脉冲传递函数。,解：,系统脉冲传递函数为,5.,离散控制系统的闭环脉冲传递函数,由于系统采样开关配置的多样性，故系统无唯一结构形式。,（,1,）离散系统的典型结构,G(s),H(s),闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数：,应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的,Z,变换直接得到。,例,8-26,已知离散控制系统结构如上图所示，前向传递函数 ，反馈传递函数,，,试计算系统的闭环脉冲传递函数。,解：,（,2,）数字控制系统的典型结构,解：,例,8-27,已知离散控制系统结构如图所示，,，,试计算系统的闭环脉冲传递函数。,离散控制系统中，某些采样开关的配置可使系统不存在闭环脉冲传递函数，但若已知外输入信号，可得输出信号的,Z,变换表达式。,例,8-28,二、差分方程与脉冲传递函数的关系,差分方程,解：,脉冲传递函数,已知,求解,求解,已知,例,8-29,设初始条件为,0,，已知差分方程 ，试求脉冲传递函数 。,解：,例,8-31,已知脉冲传递函数 ，试求差分方程。,8.5,离散系统的稳定性分析,一、离散系统稳定的充分必要条件,设系统为零初始状态，则在单位理想脉冲信号作用下输出的,z,变换为,当 无重根时（如果有重根，结论相同）,为 的单极点，也是闭环脉冲传递函数的极点,典型离散系统,结论：系统稳定的充分必要条件是 的所有极点位于,z,平面上的以原点为圆心的单位圆内。,若：，系统稳定,有一极点 ，系统不稳定,有一极点 ，系统临界稳定,G(s),H(s),如果系统稳定，则 ，所有极点位于,s,左平面,令 ，则,位于左半复平面,即：的所有极点位于,s,平面左半部,的所有极点位于,z,平面上的以原点为圆心的单位圆内,可见，,s,平面与,z,平面有如下映射关系：,系统稳定的充分必要条件：,离散特征方程的全部特征根均位于,z,平面上以原点为圆心的单位圆内,二、离散系统的劳斯判据,1.W,变换与劳斯稳定判据,令,w,复,平面上的复数,z,复平面上的复数,单位圆外,单位圆上,单位圆内,特征方程,2.,应用劳斯稳定判据判别离散系统稳定性的步骤,的根在,w,平面左半部，则 的根在,z,平面上以原点为圆心的单位圆内。,（,1,）求离散系统的特征方程,（,2,）将 得,（,3,）应用劳斯稳定判据,离散系统稳定的的充分必要条件是,的根均在,w,平面左半部,3.,应用,例,8-32,设 ，试判断系统稳定否。,解：将 代入,化简后，,w,3,w,2,w,1,w,0,1 2 0,2 40,-18 0,40 0,第一列元素符号改变两次，不稳定,有,2,个根位于,w,平面左半部，,z,平面上以原点为圆心的单位圆外。,例,8-33,试确定图示系统稳定的 的取值范围。,解：,由于 ,将 代入,系统稳定的充分必要条件是,8.6,离散系统的稳定误差分析,由,z,变换的终值定理，系统的稳态误差为,一、采样瞬时的稳态误差,与输入信号和 有关,二、离散控制系统的无差度,1.,三种典型信号的稳态误差,离散系统的型别根据开环脉冲传递函数,G,(z,),中,z=1,的极点个数来确定。,分别称为,0,型、,型、,型等等。,（,1,）单位阶跃输入时的稳态误差,0,型系统,型及以上的系统,令 位置误差系数,（,2,）单位斜坡输入时的稳态误差,令 速度误差系数,0,型系统,型及以上系统,型系统,系统稳态误差为有限值。,（,2,）单位抛物线输入时的稳态误差,令 加速度误差系数,0,型和,型系统,型及以上系统,型系统,系统稳态误差为有限值。,2.,的极点和 极点的关系,（,1,）的极点数量,=,的极点数量,（,2,）的零值极点数量,=,中 的极点数量,（,3,）与连续系统一样 中所含积分环节个数 表征系统的无差度 是有差系统，是一阶无差系统，是二阶无差系统,（,4,）采样瞬时的 与采样周期 有关，,例,8-37,求图示系统的速度误差系数。,解：,系统是一阶无差系统,解：,系统引入积分校正，系统在阶跃输入作用下的稳态误差为,0,例,8-38,若例,8-27,中 （单位阶跃输入），求,
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