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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章,排列、组合、,二项式定理和概率,两个计数原理,第 讲,1,考 点,搜 索,分类计数原理的特点和算法,分步计数原理的特点和算法,高 考,猜 想,利用分类计数原理和分步计数原理求方法数,2,1.,完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法，在第,2,类办法中有,m,2,种不同的方法，在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,=,_,种不同的方法,.,3,2.,完成一件事，需要分成,n,个步骤，做第,1,步有,m,1,种不同的方法，做第,2,步有,m,2,种不同的方法，做第,n,步有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,=_,种不同的方法,.,3.,如果完成一件事有,n,类办法，其中第一类办法中的,_,都能完成这件事，求完成这件事的方法种数就用,_,原理，它可用物理中的“并联”电路来理解，是一种加法原理,.,任一种方法,分类计数,4,4.,如果完成一件事需要分成,n,个步骤，其中每一步均,_,这件事，只有依次完成所有步骤才能完成这件事，求完成这件事的方法种数就用,_,原理，它可用物理中的“串联”电路来理解，是一种乘法原理,.,不能完成,分步计数,5,1.,十字路口来往的车辆，如果不允回头，共有种行车路线（,）,A.24 B.16,C.12 D.10,解：,起点有,C,4,1,种可能，终点有,C,3,1,种可能，因此，行车路线共有,C,4,1,C,3,1,=12,种,.,C,6,2.,从正方体的,6,个面中选取,3,个面，其中有,2,个面不相邻的选法共有,(),A.8,种,B.12,种,C.16,种,D.20,种,解：,有,2,个面不相邻即有一组对面，所以选法为,12,种,.,B,7,3.,某城市的电话号码，由六位升为七位,(,首位数字均不为零,),，则该城市可增加的电话部数是,(),A.9876543 B.89,6,C.910,6,D.8110,5,解：,电话号码是六位数字时，该城市可,安装电话,910,5,部，同理升为七位时为,910,6,，所以可增加的电话部数是,910,6,-910,5,=8110,5,.,D,8,题型,1,利用分类计数原理求方法数,1.,某中学高三年级有三个班，,01,班有学生,50,人，其中男生,30,人；,02,班有学生,60,人，其中男生,30,人；,03,班有学生,55,人，其中男生,35,人,.,(1),从这三个班中选一名学生任学生会主席，求共有多少种不同的选法？,(2),从,01,班或,02,班的男生中，或从,03,班的女生中选一名学生任学生会学习部长，求共有多少种不同的选法？,9,解：,(1),分三类：从,01,班选,1,名有,50,种；从,02,班选,1,名有,60,种；从,03,班选,1,名有,55,种,.,由分类计数原理，共有不同的选法,50,60,55,165(,种,).,(2),分三类：从,01,班男生中选,1,名有,30,种；从,02,班男生中选,1,名有,30,种；从,03,班女生中选,1,名有,20,种,.,由分类计数原理，共有不同的选法,30,30,20,80(,种,).,10,点评：,利用分类进行计数时，主要是找到一个分类的标准,.,有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“不重不漏”，求得的各类方法数的和就是最后的方法总数,.,11,在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,解：,根据题意，将十位数上的数字分别为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有,8,个，,7,个，,6,个，,5,个，,4,个，,3,个，,2,个，,1,个.由分类计数原理知，符合题意的两位数共有,8,7,+,6,+,5,+,4,+,3,+,2,+,1,36个.,12,2.,用,5,种不同的颜色给图中,A,、,B,、,C,、,D,四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？,题型,2,利用分步计数原理求方法数,13,解：,分四步：涂,A,有,5,种方法；,涂,B,有种方法；涂,C,有,3,种方法；,涂,D,有,3,种方法,(,D,与,A,可以同色,).,由分步计数原理，共有,5433=180(,种,).,点评：,分步计数就是把一件复杂的事件划分,成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连,续性，只有当全部步骤完成了，整个事件才,算完成，这是分步的基础，也是关键,.,从计数,上来看，各步的方法数的积就是事件的方法数,.,14,(1),将,4,封信投入,3,个邮箱，有多少种不同的投法？,(2)3,位旅客到,4,个旅店住宿，有多少种不同的住宿方法？,(3)4,人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，四张贺卡共有多少种不同的分配方式,？,解：,(1),分四步：每一封信都有,3,种不同的投法，由分步计数原理，共有,3333,81(,种,).,15,(2),分三步：每位旅客都有,4,种不同的住宿方法,由分步计数原理,共有,444=64(,种,).,(3),分四步：四个人中的任意一人先取,1,张，有,3,种取法；由前一人取走的贺卡的供卡人取张，有,3,种取法；由余下的两人中的任一人取，只有一种取法；最后一人取，只有一种取法,.,由分步计数原理，共有,3311,9(,种,).,16,3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.(用数字作答).,题型,3,两个计数原理的综合应用,17,解法,1,：,从题意来看，,6,部分种,4,种颜色的花，,又从图形看，知必有,2,组同颜色的花，,从同颜色的花入手分类求,.,(1),与同色，则也同色或也同色，,所以共有,N,1,=43221=48,种；,(2),与同色，则或同色，,所以共有,N,2,=43221=48,种；,(3),与且与同色，,所以共有,N,3,=4321=24,种,.,所以，共有,N,=,N,1,+,N,2,+,N,3,=48+48+24=120,种,.,18,解法,2,：,记颜色为,A,、,B,、,C,、,D,四色，先安排,1,、,2,、,3,有,432,种不同的栽法，不妨设,1,、,2,、,3,已分别栽种,A,、,B,、,C,，则,4,、,5,、,6,栽种方法共,5,种，由以下树状图清晰可见,.,根据分步计数原理，不同的栽种方法有,N,=4325=120,种,.,19,点评：,解法,1,是常规解法，解法,2,安排,4,、,5,、,6,时又用了分类和列举的方法,.,复杂事件的计数问题需要用到两种计数原理，一般采用的是先分类，后分步，各步中又可能涉及到分类，注意两个计数原理的综合应用,.,20,21,22,1.,将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有,5,种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方案,?,解,:,记四棱锥为,S-ABCD,，五种颜色的编号为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,分两步：第一步，对,S,、,A,、,B,三点染色，共有,543=60,种方法,23,第二步：对,C,、,D,两点染色当,S,、,A,、,B,已染好色时，不妨设其颜色分别为,1,，,2,，,3,，则,C,点可染,2,、,4,、,5,号色中的一种，分为三类,24,若,C,染,2,号色，则,D,点可染,3,、,4,、,5,号色,中的任一种，有,3,种方法；若,C,染,4,号色，,则点,D,可染,3,、,5,号色中的任一种，,有,2,种方法；若,C,染,5,号色，,则点,D,可染,3,、,4,号色中的任一种，,有,2,种方法由两个计数原理，,共有,60(3+2+2)=420,种,25,2.,在任意两个正整数,m,和,n,间定义某种运算，用 表示运算符号，并规定：当,m,和,n,都为奇数或都为偶数时,m,n=,m+n,；当,m,和,n,中有一个为奇数，另一个为偶数时，,m,n,=,mn,.,设集合,M,=(,a,b,)|,a,b,=36,，,a,、,b,N,*,，求集合,M,中共有多少个元素？,解：,分两类：,当,a,、,b,都为正奇数或正偶数时,a,b,=,a,+,b,=36.,26,所以,a,=1,，,b,=35;,或,a,=2,，,b,=34,或,a,=35,，,b,=1,，共有,35,个元素,.,当,a,、,b,中有一个为正奇数，,另一个为正偶数时，,a,b,=,ab,=36.,所以,a=1,，,b,=36;,或,a,=3,，,b,=12;,或,a,=4,，,b,=9;,或,a,=36,，,b,=1;,或,a,=12,，,b,=3;,或,a,=9,，,b,=4,，,共有个元素,.,由分类计数原理知,共有,35+6,41,个元素,.,27,3.,若,m,，,n,x,|,x,=,a,2,10,2,+,a,1,10+,a,0,，其中,a,i,(,i,=0,，,1,，,2)1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，并且,m,+,n,=606,，则实数对,(,m,，,n,),表示平面上不同点的个数为,(),A.32 B.30,C.62 D.60,D,28,解：,由,m,+,n,=606,，其个位数字为,6,，,所以,a,0,可有,(1,、,5),，,(5,、,1),，,(2,、,4),，,(4,、,2),，,(3,、,3),共,5,种组成方法；,十位数字为,0,，可有,(4,、,6),，,(6,、,4),、,(5,、,5),共,3,种组成方法；百位数字为,6,，,可由十位进上来,1,，余下,5,可有,(1,、,4),，,(4,、,1),，,(2,、,3),，,(3,、,2),共,4,种组成方法；,由分步计数原理，实数对,(,m,，,n,),的,个数为,534,60,，故选,D.,29,1,利用两个计数原理解决实际问题时，先要弄清这是做一件什么事，这件事是怎么做的，再将“事件”进行分类或分步，然后分别计算各类或各步中的方法数，最后结合相应的原理得出结论,2,分类和分步的标准不是唯一的，不同的标准对应不同的解法，但在同一种解法中，必须采用同一个标准进行分类或分步，否则就会出现重复、遗漏、跳步、缺步等现象，从而产生错误结论,30,3,对既要分类又要分步的计数问题，一般先分类，将每一类问题看作一个“事件”，再通过分步来计算这一类的方法数；如果反面情况较简单，则可用间接法求解，即去掉不合要求的方法数，剩下的就是符合要求的方法数,4,对某些较简单的计数问题也可直接列举“事件”的各种可能情形，再数出方法种数,.,31,
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