2021高考数学(文)一轮复习优化讲解《两直线的位置关系》

2021高考数学（文）一轮复习优化讲解两直线的位置关系第2讲两直线的仪置关系最新考纲考向预测1,二悔411二的力力以痂用条n戊仅便冠大家2 ,鸵川忖方如的方正双用条知我的文木小棺.1，桃网木蔺的印青公A.上到11线俯。离公K. 求同F liil及W的立客.金片1355as多出内容wegi us及冈r线的平竹、看n 的到才或用陶有嵯中行与十不求二叔佰王安敏曾枇俯 也可.rh找的殳士及启用八魂的所筑.exauiiff 8.填左冠为士,属丁中他代理核心 #U也也象敢学123M丹实心斯知出.白领知识，回顾:走进教材一.知识梳理的公共上的坐标。力&绡 4.RjaC产仇的解一一对成争T方枳钮无解1.两直线的平行、垂直与文斜率的关系条件两直线位署关系斜率的关系两条不重合的直线人,% 斜率分别为木，B平行An=ibh与后都不存在垂比k小一前与6 个为零、另个不存在2两条直线的交点直线牛4产.Rj4=0|方祖组行唯“f3.三种距需点点距点尸心1，力)，P2,力)之间的距离|APj| =5 工l) + (好 nJ ,点线距点尸Un,阿利rr线/：加+砂+。=0的距离1彷号1 Q线线距两条平彳线疝+为卜U0与上+为+ G 0间的距离d=4、卬+却常用结论1 .会用两个充要条件(1)西直我平行或重合的充要全件直线小小x+3iy+Q=0与直连Z /hx + %y+G=O平行或重合的充要条件是力历 -1231=0.(2)两豆或圭立的充要条件直或小 山二十5+G = 0与直及 丘4153+酊-04炉+5”+0的交点的直线系方程为-1 + 5夏+ Ci + ；C).(2)点(工)关于工轴的对将点为“ /).关于j箱的对怀点为(一、 y).(3)点(i )关于卫线y=的对环点为(yX).关于卫线y=一五的对称点为(一片一女).(4)点(1),)矢直线二。物对称点为(2a、).夫于直线y=6的对怀点为(、, 2by).(5)点(x,)关于点(。杨的对称点为(2。- 2b-y).(6)点(r )关于富线i+y=%的对称点为伏一小k-x).美干直及二一-4的对称点为“ +y. xk).二、习题改编1 .(必修2PllOBt0Tl改编)两订线4k+ 3/一10 4 2x-)-l0的交点坐标为.答案：(4. -2)2 .泌修2P110B组T2改编)已知点2地0)到直线八、一+3 = 0的距离为1,则4等于答案：啦-13 .(必修2Pli4A组T5改编)已知直线八：av+3v+l=0r /： 2x+(n +1及+1=0互相 平行，则实数。的值是.a Q+1) =2X3,解析，由直线人与八平行.可得，解得=-3aXl2,答案：一3一、思考辨析判断正快(正确的打“ J”,错误的打X” )(1)当百战h和4的斜率都存在时,一定有女1=&=/3()(2)如果两条直找7】与72垂直,则它们的符率之枳一定等J -1.()(3)?；两直找的方程组成的方程组有唯一解 则两直找相交.()(4)知直线小ax+5+G-0息.如+9h+。20(.41跳，G,炎，处，G为常数%若直线，七Ma闻46版一0.()(5)直线外一点与直线上一点的更离的及小也就是点到直找的距离.()答案：(DX (2)x (3)J (4)V (5)V二、易培纠偏篇见误区(1)求平行线间跑离忽视卜的系数相U：(2)判断两条白线的位罟关系忽视斜率不存在的情况.1.两条平行直线3/ + 4y 12 = 0，6工+8丁+11 =。之间的距离为()C. 7B卫10D.-2解析：itD.jL找3x+4y12=0可化为6.丫+9-24=0,所以两平行直,之间的距离为111 + 241 7他6+64 22.已知直纹小a+y4 0凡2+”+1 0若则。一答案：0。考点T目信剖析裁戈向自击/筑您.考点两条内线平行，垂比(师三共研)姗】J (一题多解)已知宜线A； a、+2y+6 0和直线乙；x+(aDy+屏一1一0(D当八心时,求。的伍：(2)当4_L，2时，求。的值.【解】(1)法，当0=1时,k+2j + 6=0.h： x=09八不平行于/:当 a=0 时，7): v=3,x-y1=0,八不平行于当 a#l JL。/0 时，西直我方管可化为h : = -X-3 . /：:、=一工一(。+1),由人办可仔 21a工 解得。=一1.一3工一(n+1).综上可知，a= l.)山一一力1=0, 41cmi工。(a (。-1) -1X2=0,fa2a-2=09即2a由 71 /2 /J J-= - 1=4 = 1。3法二：因为/iJJ所以zii/h十方】历=0，即。+2(-1)=0,得(1)两直饯平行, 垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在.河直线平行0西直坡的斜率相等且在坐标加上的截距不等.两直线垂直0而直度的斜率之积等于一 1.提醒1判断两条直或位置关系应注意：(O注意斜率不存在的特殊情况.(2注意x, y的系数不能同升为零这一隐含条件.(2)由两条直域平行与垂亘求参数的值的解题策略并解这类问题时.一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能 擀.是否需要分情况讨论：“后想”就是在解题后.检验答窣的IF稀性.看是否出现增艇或 焉解.1 .已知直线4x+叼，-6=0与直线5X一2)，+ = 0垂直，垂足为(九1).则力的值为()A. 7B. 9C. 11D. -7解析：选A.由直线4工+四-6 = 0与直线5x2了+n-0垂直得，20 2j=0. w=10. 直找 4x+lQy6 = 0 迂点(八 1) 所以 4f+106 = 0. 7= 1 .点(-1, 1)又在直线 负一2y+ =0 上，所以-5 - 2 + =0，n = 7.2 .求满足下列条件的直线方程.(1)过点三一1. 3)0.平行丁直线工一功+3=0:(2)己知孙2), 8(，1),线段的垂直平分线.解：(】)设宜伐方程为、一2丁+6=0,纪尸(一八3)代入直线方程得e=7所以直线,方样为x-2y+7=0.(ii 2n 卜，n(2)的中点为I 2 2 J,即1一”，A AB 的斜率 1-32故故段,姐垂直平分线的斜率彳=2,所以其方程为y：=2(刀-2),即4工-2y5=0.考点两条百线的交点与距离向超(多维探究)角度一两直线的交点与直线过定点懒112-1对于任给的实数”1,在线(小一l)x+Qm1一加一5都遁过一定点，则该定 点的坐标为()A. (9, -4)B. (-9, -4)C. (9. 4)D. (9. 4)径过两比线八1-2+4=0和N什)-2=0的交点产.且与直向包3X-4好5= 0库克的直线7的方程为.【解析】(1)。一l)x+(2加-1=M -5 即为K1 + 2J1)+(一K+5)=0.故此克线(r+2v- 1 =0.(2)由方程组一2j+4=O k+y2 = 0,+5 0得定点的坐标为(9, 4).故 选Ay=O.-4得印尸(0, 2).因为IUh所以支线/的斜率后=一二尸2,3所以立饯1的方程为y-2=x,即4.v+?y-6=0.【答案】(DA (2)4x + 3r-6=0角度二三种距商问题缴2-2 (1)已知点 P(1, -1), .4(1, 0), B(0, 1),则 A.的 的面积为.(2)若两平行直线A： x 2y-f 7/i = 00r/O),i /：以+小一6=0之间的距离是也,则H 【解析】(1)因为/(I，0)，3(0, 1),所以必直线，8的方程为x+y-l=o, 则忐R-1. - 1)到直战.15的距高d=,所以A的 的面枳为:xSx泉=：(2)因为/.，2平行，所以 1X，7=2X( - 2), 1X(6)2X，.解用 =-% 加于-3.所以互找A：x-2),-3 = 0.又儿之可的距离是水,所以里包=近，耳肌=2或加=-8(舍”飞1+4去).所以加+”=-2【答案】(1)| (2)-2Wil两种距离的求解思路（1）点到直线的距离的求法可直接利用点到直找的距福公式来求，但法注意此叶直线方桎必须为一般式.（2）两平行直线间的距前的求法利用“转化法”将两条平行线间的距置转化为一条直线上任意一点到另一条百战的距 高：利用两平行线间的距商公式（利用公式前霁把两平行线方号Qx.y的系数化为知同的 形式）.1 .与直线Z 3/ + 2丁一60和直线& 6“如一3 0等曲离的直线方程是. 解析：h： 6K+4y3 = 0 化为 3x+2y1=0,所以八与V平行.设与 人右等距勒的直我）的方趣为力+ 2）+=0.财 |c+6|=|c+二, 解得c一空，4所以/的方程为12x+8y-15=0答案：12x+8y-15=02 . h, /2是分别经过（1，1），5（0, 一1）两点的两条平行白线，当八，八问的距离最大 时，直线人的方程足.解析：当两条平行直线与4 3两点连发垂山时，两条平行直线间的距段故大.又上5=_=2所以两条平行直找的斜乍为=一：所以直线人的方银是了一】=一?K-1）,0 122叩 k+2v-3=0答案；x+2j-3=0考点对称何题（其例运力）阑3已知宜线/： 2x-3y+l=0,点（一】，一2）求:（1）点X关于直线/的对称点的坐标；（2）在线m； 3x-2y-6=0关于在线/的对称自线加的方程.【解】（D设/&，川，由已知得(2)在宜线加上取一点.如V(2. 0).J：v(2, 0)关于贪我/的对称点ar必在直我川上.设 A/S，b),则2X-3Xi2+l = 0t解得9次直线加与直支/的文点为N、(23v+l=0r则由得M4, 3).pv2j6=0又因力“经过点M4，3),所以由用点式仔直线”的方杼为9x-46v +102 = 0.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求直线/关于点(一1，-2)对称的直线/，的 方程.解：设P(k, y)为上任奇一息，则尸(工.历关于点盘一I, 一2)的对称点为P(一2 X, 4p.囚为尸在直线/上，所以 2(2力一3(4-)+1=0,即 2a-3j-9=0国反四 种 第 见 对 称 问 就 的 求 解 方 法点关十点妁对林：求点P关十点的对存： 点Q晌切J8.主委饮出”是蛇&P。的中京.ff ：r40 -2o，%+加 2S 求爵直战关于点的对春：求直线从氐*(川的才称： jfiar的何聂，主艮侬揖rj的任一点关于； 修好.2的对称点7，(2r.7)必在直线!上： G买手工反而麻；彳?初鼠7；二，主芋尼7 姆亶线hyfcr”的对打点13.九)的空餐,-! “方法是侬樵凄也段4的乘宜平分段.列出： 关于心.八的方便圮.由直得一方程.也!：平分得一方程直我美于宣战的HW：此类向超殷转化为点： _ 关千方或晌林东M次.有两件情况：一是巴！ 知直度与叶募款相交,二是已知直歧与对称轴： :.平行：变京训练】1 .与直线3%一“，+5 = 0关于不地对林的直线方程为解析：设(%, y)为所求立战上的任愈一点，财.r(x, V)在直线,3x4p+5=0上，即3x4()+5=0,故所求直烷方隹为3工+4/ + 5 = 0.答案：3x+4y+50解析：由题总得及收.4J3的中点卜9 4在直线j=h +3上.故x i= -1.1解得- 4+6=2, 72 .已知点H(l. 3)关于白线yh+b这称的点是3(2. 1),则白线)-h+b在x地 上的假距足.=-1t=，所以n块方程为尸一1十工令尸o,即一当+2=0,解得尸2，故直线y 2424246=fcv+b在x轴上的彼距为上 6答案:76历想素养,。目培优思想方法系列13妙用白线条求内线方程一、平行自线系由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,四此两直线平行时,它们的次项系数。常故项有必然的城系.m 求与直线力+ 4 + 1 0平行H过点(1, 2)的直线，的方程.【解】 依题蔻,设所求直线方程为3x + 4) + G=0(CiW1)，因为直线过点(1.2).所以 3X1+4X2 + G=O.解得=因此,所求有线方隹为3x+4i11=0国髭团因先设与直段ax+ C=0平行的直块,系方程为Wr+为+Ci = O(CiHG，再由其他条件 求G.二、垂直直线系由于直线,4n + By+Q=0与.七x+BgH G=0垂直的充要条件为九七+ 8诩=0.因此, 当两直线垂直时.它门的一次项系数有必然的联系,可以考出用立战系方程求解.3厦2求经过.4(2, 1),旦与直线2x+)-10=0垂直的直线，的方程.【解】 因为所成立线与血战2x+y-10=0垂立，所以设该立线方程为x-2y+Ci = Q, 又在跳过点(2, 1).所以4 22X1 + G = O,帮得G=0,所以所求立线方位力、一与二0.E3QB先设与直设.心+为+(7=0垂直的百战系方程为比一心+ Ci=0,再由其他条件求出G. 三、过直线交点的直线系恻3：求经过直线八；3x+9 1=0和餐51+2厂H=0的交点，II垂直于直线A： 3X - 5y+6=0的百线/的方程.【解】 法一：将立坡小上的方隹承立,r V + 25 1-0(5x+2)*+l=O解得E即直线人力的交点为(一12).由我意祥直线4的叶卒为之，又立找LL4,所以直.找，的料单为一:则立我，的方程是y-2= 至丫+1),即 5x+3j-1=0.法二：由于/Us,所以可设立线/的方卷走5x+3y+C=O,将直缓小的方程JK立.“3】+ 2二】=0,l5.r+2v+l=0.y解得，一 印克线J1. /2的爻点为(一12).内2，则点(一1. 2)在直线，上.所以5X( l)+3X2 + C=0,解得C一】所以直线/的方程为51 + 3)，-1=0法三：谩互找J的方桎为1y+2v-1 +x(5x + 2y+1)=0.整理得(3 + 5Qx+(2+2；)y+(1+书=0.由于/_!_，所以 3(3 + 52)-5(2+20=0,解导/.=5所以直线1的方程为51+3)- 1=0推升华本题叩的解法二州法三均是利用直线系设出直线，的方程.而解法三是利用相交直线 系设出方程，避免了求直线人与人的交点坐标，万便筒提，是最优解法.5fc9E3B3B亘纹/匕x+j4=0与x+2=0的交点为尸，直找八2xy-l =0.过P与/平行的直线方程为:(2)过P与/垂直的立线方程为.仅+y-4=0.(r=l.解析：由| )得上一y+2=0(p=3,所以/1与的交点为(3 3).(1)谓直线方程为2av + r=O.则 2 3+。=0,所以c=l.所以所求直找方代为2x-y+l = 0.(2)设与直线2i) 1=0垂直的直线方程为 + 2 +c=O.则l + 2X3+r=O.所以c=-7.所以所求直线方程为x+2-7 = 0.答案：(1)2a-+1=0 (2)x+2y-7 = Q基础题组综1.已知直线内+2+2=0与3x-2=0平行，叫系数。一( )A.-3B. 6D1解析，选R由直线,at+2y+2=0与成线3xJ2 = 0平行知.一旦=3. = 6 2.已知点4(5, 1), B(m, m), C(2, 3),若乙VC为直角三角形且dC边最长，则性数次的值为()A. 4B. 3C. 2D, 1解析：选D.由忽总得N3 = 90 ,印.S_L5C, Q hc=-b办一川+1 3 -w所以=1.卅一5 2 - m解得加=1或m=工,故如数m的值为1,故选D23. （2020安庆模拟）着直线八；x+3y+初=0（7心0）与直线/：； 2+6一则加=（）A. 7btC. 14D. 17解析：选B直线九：x+3y+刖=0。0% 即2x+6y+2刖=0,因为工 3=0的距离为4而，所以华空工=衽5,求得“=旦.山+ 3624.已知点尸（4, n）到直线4工一31=0的距离不大于3,则a的取A. -10, 10B. -10, 5C. -5, 5D. 0, 10解析：选D,由题意得，点尸到直线的距离为|4X4-3X-1|15-3 + 50B. 31一2+5=0D. 2x-3y+5-0解析；选BiiUGo, ”），依葩点可得悭西+1=0.1二解哦二3f S1).设力.6（2, - D到直慢的距禺为力 当d=.O|时取存最大值，此时苴线J2金苴于交税始,K=-,所以直线的方衽为y-l=%v+l），即3x-2+5=O.k.ts 226 .过两直线，i： 1-3+4=0和& 2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.解析：过西直线交点的直线系方程为x-3y+4+2x+y+5）=0,代入原点坐标，求得 4=一,故所求近线方程为x3y+4一削+y+5）=0.即3i+l力=0答案：3jr + 19y=07 .已知点(3, 2)和5(1, 4)到宜线心+y+l=O的距离相等，则4的值为解析：由点到直线的距商公式可得|3。+2+1-。+4 + 1|7#+1解得a=1或 =42答案：挑一48 .已知点水1. 3), 3(5. 2).在工输上有点尸.若|/1?|一万尸|鼠人,则上点坐标 为.解析；作出d点关于x绿的对称点(1, 一3),则工N所在立找方位为、一4)-13 = 0. 令y=0存x=13,所以点尸的坐标为(13, 0).答案:(13, 0)9 .已知两直线小G 一如+4=0和&(4 l*+y+b=O,求满足下列条件的办的 值.(1-JJ2,且直线人过点(一3, -1)：(2)/1 /2, 11坐标原点到这两条宜线的地国相等.解：(1)因为人工人所以仪。-1)一。=0义因为直线Ji过点(-3, -1),所以- 3。+6 + 4=0if a1. b=Z(2)因为直线的斜半存在，71/772.所以直线人的斜率存在,所以色=1 一。 b又国为生标原点到这两条直线的距离相当,所以/】，/?在j轴上的微距互为相反咏，即，=6.(冷 b联立可殍 a=2, b=-2b=210 .已知的顶点H(5, 1), as边上的中线CM所在苴线的方程为2X-J 5=0, .4C边上的高5H所在直线的方程为1-2)5=0,求直线BC的方程.解：依题急知无必=-2, X(5, 1),所以直线.9的方程为2x+-11=0,朕立立线JC和立线CA1的方衽，丹，ir+y-ll=0,所以。(4, 3).猿+、.+1设B(xo,汕，.面的中点“为I 2 2 J，1 =06所以3( 1. -3).所以所以SC的方丝为一卬一勾刈-5 二 0.54) .印 6y5-9=0综合题组练1 .已知直线z工一下一1=0.一直线：曲-1X+皿+3=0(R),则卜刖结论中止遮的是()存在上使彻右的帧赳角为90, 而任意的*, /】与都疔公共点 对任意的M /】与都不走合 对任意的上/)与都小垂直BC.族D （2XS）解析：逵A对于幼宜找A:收+1*+如+2=0GWR),当2=0时.料率不存在.，项斟角为90 ,故正确；由方程组f ,-11，可得Qk+l)x = 0,对任意的上 此I (女+1) x+A=0,方程有科,可仔人与，2行交点,枚正瑞：因为当k= 一工时 也=上=j-成立.此时211 -1h与h支合,故误：由于育线儿、一)一】=o的斜率为1,动立短的斜率力也=一1 一;中一1,故对任 -k k意的七八与/?都不垂直，故正胸.2 .设析CR,过定点.4的动且或*。0 0和过定点方的功白线必-y九+ 3 -0交J点尸J).则0411PBi的最大值是.解析：弓知定点工(0.0). 3(1. 3).且无论以何值两在线难克.所以之论尸与48 W合与否.均有方4? +陷|?=以3|2=10(尸在以为A径的画上).所以火升 |P5|W*|B 小+|P5P)=5.当也仅引尸尸5 =南时等号成立.答案；53 .已知宜线/：、一) + 3=0求点1(2.1)关于口线7： *-+3=0的对称点4：(2)求直线八：丫-2)，-6=0美于有线I的对称在线“的方程.解，武点力，所以一(一2, 5).(2)在直线上取一点,如A60), H A/(6. 0)关于直线/的对称点”必在上.设讨珞点为&r(。，力，则6-0解得ar(3, 9).谩八与，的交点为N,则由Xl = -1. a6(ry+3=0.得M- 12, -9).又因为刀经辽点 州一12一9)所以有线七的方程为p2)-6=Ot9+9J-9=3,2(x+3).即 2x-y+l5=04 .己知方程(2+2 (1+幺2(3+)=0与点尸(一2, 2).(1)证明对任苴的实数3该方程阴及小白线.11这些直线都经过同定点，并求出这定点的生标:(2)证明：该方程表示的百战H点P的35离d小于4s.解：(D显然2+久与一(1+力不可就同时为空,故对任意的实效儿 该方程也表示互线.因为方程可变班为2v-y-64-z(x-4)=0,故直线及江的定点为M2-2).(2)证明：4点、?作五线的至城段段由叁淡段小干斜线段如产当1L仅当p 与“重合时.PQ=PM.此11对应的更奴方位是+2=-2.印x-J-4=0但直汽东方程噌独不能表示直伐克一)-4=0.所以“与不可能更合.印|门=4比.所以尸piWL故所证成全.