知识讲解 独立重复试验与二项分布(理)(提高)

独立重复试验与二项分布 【学习目标】1理解n次独立重复试验模型及二项分布 2能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题【要点梳理】要点一、n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。要点诠释：在次独立重复试验中，一定要抓住四点：每次试验在同样的条件下进行；每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生； 每次试验中，某事件发生的概率是相同的；各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：（k=0，1，2，n）令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。要点诠释：1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便要点三、n次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1. 定义：在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是，（）于是得到离散型随机变量的概率分布如下：01knP由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。2如何求有关的二项分布（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；（3）用表格形式列出随机变量的分布列。【典型例题】类型一、独立重复试验的概率 例 1某气象站天气预报的准确率为80，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率； （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验利用独立重复试验公式即可【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为 （2）5次预报中至少有2次准确的概率为 （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为 【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值举一反三：【变式1】甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算： （1）有5次获利的概率； （2）6次都获利的概率； （3）至少5次获利的概率【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且 ， （1）他5次获利的概率约等于0.39 （2）他6次都获利的概率约等于0.26 （3）X5表示他至少5次获利，且X5=X=5X=6 由于事件X=5和X=6互斥，所以 P（X5）=P（X=5）+P（X=6）0.39+0.26=0.65 故他至少5次获利的概率约等于0.65【变式2】若，则等于（ ）A B C D【答案】D；。【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，直到停9次从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大例2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局 （1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？ （2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？ 【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜（2）中用同样的方法分类 【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则 （2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则【总结升华】 本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜 举一反三：【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：记事件A1=“甲连胜四局”，所以甲打完四局就获胜的概率为：；记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，所以甲打完五局才获胜的概率为：；记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，所以甲打完六局才获胜的概率为：；记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，所以甲打完七局才获胜的概率为：。（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，故离散型随机变量X的分布列为X4567P类型二、离散型随机变量的二项分布例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。 （）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率； （）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。【解析】（）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则 （）由题意，的可能取值为3456。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为 的分布列为3456P 【总结升华】本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布【答案】依题意，随机变量B(2，5%)所以，P(=0)=(95%)=0.9025，P(=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025因此，次品数的概率分布是012P0.90250.0950.0025【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解：（1）B(5, )，的分布列为P(=k)=，k=0，1，2，3，4，5； （2）的分布列为P(=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(=5)=P(5个均为绿灯)=；（3）所求概率=P(1)=1P(=0)=10.8683.【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k1）次取得9次红球X的分布列为（k=10，11，）， （表格略） 【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布 【答案】错解： X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8； ； 所以X的概率分布列为X1234P0.80.320.0960.0256 错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k1）次试验中都出现 正解 X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.20.8=0.16； P（X=3）=0.220.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008所以X的概率分布列为X1234P0.80.160.0320.008类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。举一反三：【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；(1)要使，,必须，即射击次数必须不小于次.(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；（2）其中恰有3次击中目标的概率；（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。【答案】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为；（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。故所求概率为；法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为；（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。故所求概率为。【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列.【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为6分（2）的可能值为0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123P例5在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 （1）求油罐被引爆的概率； （2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布【思路点拨】 从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次而利用对立事件去分析更好理解【解析】 （1）解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5 X=2表明第一次击中，第二次也击中， ； X=3表明前2次击中一次，第3次击中， ； X=4表明前3次击中一次，第4次击中， ； X=5表明前4次击中一次，第5次击中， 所以， 解法二：利用油罐没有引爆的情况有两种：射击五次，都没击中；射击五次，只击中一次 所以（2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2所以X的概率分布为X2345P【总结升华】 要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验举一反三：【变式1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1p，且各发动机互不影响如果至少50的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全？【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为 ， 二发动机飞机成功飞行的概率为 要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要，化简整理，得当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。 （I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。 （）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。【答案】（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，则（）的可能取值为0，1，2，所以的概率分布为012例6某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一大批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布【思路点拨】由于产品数量较大，从中任意连续抽取2件产品，相当于是2次独立重复试验。抽取的次品件数服从二项分布，即B(2，0.05)，算出相应的概率即可得其概率分布。【解析】依题意，随机变量B(2，5%)所以，P()=(95%)=0.9025，P()=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025因此，次品数的概率分布是012P0.90250.0950.0025【总结升华】从产品中有放回地抽取是独立事件；从小数量的产品中无放回地抽取不是独立事件，只能用等可能事件计算；从大批量的产品中任意地连续取出n件产品可近似地看成是n次独立重复试验。举一反三：【变式】在某批很大数量的产品中，有20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率。【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于2次独立重复试验，抽出的二等品的件数，所以取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率：。第12页 共12页