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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有很大的局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理,:,所有的人都是要死的； 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。,这个苏格拉底三段论是我们公认的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为,p,，,q,，,r,，将推理的形式结构符号化为,(pq)r,由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。,在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并,1,个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨论这三个要素。,个体词,是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。例如，小王，小李，中国，,3,等都可以作为个体词。将表示具体或特定的客体的个体词称作,个体常项,，一般用小写英文字母,a,，,b,，,c,表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为,个体变项,，常用,x,，,y,，,z,表示。称个体变项的取值范围为,个体域,(,或称论域,),。个体域可以是有穷集合，例如，,1,，,2,，,3,，,a,，,b,，,c,，,d,，,a,，,b,，,c,，,，,x,，,y,，,z,，,；也可以是无穷集合，例如，自然数集合,N,=0,，,1,，,2,，,，实数集合,R,=x|x,是实数,。有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为,全总个体域,。本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。,个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨,2,谓词,是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。,同个体词一样，谓词也有常项和变项之分。表示具体性质或关系的谓词称为,谓词常项,，表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为,谓词变项,。无论是谓词常项或变项都用大写英文字母,F,，,G,，,H,，,表示，可根据上下文区分。,是无理数。,是个体常项，“,是无理数”是谓词，记为,F,，并用,F( ),表示该命题。,用,P(x1,x2,xn),表示含,n(n1),个命题变项的,n,元谓词。,问：它是不是命题？,要想使它成为命题，必须用谓词常项取代,P,，用个体常项,a1,a2,an,取代,x1,x2,xn,，得,P(a1,a2,an),是命题。,谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。,3,有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量关系的词为,量词,。量词可分两种,:,日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，将它们符号化为“,”。并用,x,，,y,等表示个体域里的所有个体，而用,xF(x),，,yG(y),等分别表示个体域里所有个体都有性质,F,和都有性质,G,。,日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，将它们都符号化为“,”。并用,x,，,y,等表示个体域里有的个体，而用,xF(x),，,yG(y),等分别表示个体域里存在个体具有性质,F,和存在个体具有性质,G,等。,有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，,4,例,4.2,在个体域分别限制为,(a),和,(b),条件时，将下面两个命题符号化,: (1),凡人都呼吸。,(2),有的人用左手写字。,其中,:(a),个体域,D1,为人类集合；,(b),个体域,D2,为全总个体域。,解,(a),令,F(x):x,呼吸。,G(x):x,用左手写字。,(1),在,D1,中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为,xF(x) (4.1),(2),在,D1,中的有些个体,(,人,),用左手写字，因而“有的人用左手写字”符号化为,xG(x) (4.2),例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个,5,(b) D2,中除了有人外，还有万物，因而在,(1),，,(2),符号化时，必须考虑将人分离出来。令,M(x):x,是人。在,D2,中，,(1),，,(2),可以分别重述如下,:(1),对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。,(2),在宇宙间存在着用左手写字的人。,于是,(1),，,(2),的符号化形式分别为,x(M(x)F(x) (4.3),和,x(M(x)G(x) (4.4),其中,F(x),与,G(x),的含义同,(a),中。,命题,(1),，,(2),在不同的个体域,D1,和,D2,中符号化的形式不一样。主要区别在于，在使用个体域,D2,时，要将人与其他事物区分开来。为此引进了谓词,M(x),，像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定要正确使用特性谓词。,问,:,(a),能否将,(1),符号化为,x(M(x)F(x),？,(b),能否将,(2),符号化为,x(M(x)G(x),？,(b) D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(,6,问：,1.,在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。,2.,同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。,问：,7,注意,1.,一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。例如，考虑个体域为实数集，,H(x,，,y),表示,x+y=10,，则命题“对于任意的,x,，都存在,y,，使得,x+y=10”,的符号化形式为,x,yH(x,y) (4.17),所给命题显然为真命题。但是如果改变两个量词的顺序，得,y,xH(x,y) (4.18) (4.18),已经不表示原命题，而且它所表示的命题是假命题。,2.,有些命题的符号化形式可不止一种。,由于引进了个体词，谓词和量词的概念，现在可以将本章开始时讨论的推理在一阶逻辑中符号化为如下形式,:,x(F(x)G(x)F(a)G(a) (4.21),其中，,F(x):x,是人，,G(x):x,是要死的，,a:,苏格拉底,.,注意 1. 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随,8,定义,4.5,在公式,xA,和,xA,中，称,x,为,指导变元,，,A,为相应量词的,辖域,。在,x,和,x,的辖域中，,x,的所有出现都称为约束出现。,A,中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的。,定义,4.6,设,A,是任意的公式，若,A,中不含有自由出现的个体变项，则称,A,为,封闭的公式,，简称,闭式,。,定义4.5 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应,9,例,4.7,将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题,: (1),x(F(x)G(x) (4.25),解,(1),指定个体变项的变化范围，并且指定谓词,F,，,G,的含义，下面给出两种指定法,:,(a),令个体域,D1,为全总个体域，,F(x),为,x,是人，,G(x),为,x,是黄种人，则,(4.25),表达的命题为“所有人都是黄种人”，这是假命题。,(b),令个体域,D2,为实数集合,R,，,F(x),为,x,是自然数，,G(x),为,x,是整数，则,(4.25),表达的命题为“自然数都是整数”，这是真命题。,我们还可以给出其他各种不同指定，使,(4.25),表达各种不同形式的命题。,例4.7 将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题:,10,定义,4.8,设,A,为一个公式，若,A,在任何解释下均为真，则称,A,为,永真式,(,或称逻辑有效式,),。若,A,在任何解释下均为假，则称,A,为,矛盾式,(,或永假式,),。若至少存在一个解释使,A,为真，则称,A,为,可满足式,。,定义,4.9,设,A0,是含有命题变项,p1,p2,pn,的命题公式，,A1,A2,An,是,n,个谓词公式，用,Ai(1in),处处代替,A0,中的,pi,，所得公式,A,称为,A0,的,代换实例,。,例如，,F(x)G(x),，,xF(x),yG(y),等都是,pq,的代换实例。,问：,x(F(x)G(x),是,不是,pq,的代换实例,？,定理,4.2,重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。,定义4.8 设A为一个公式，若A在任何解释下均为真，则称A为,11,主要内容,3.,量词,全称量词,存在量词,4.,一阶逻辑中命题符号化,5.,一阶逻辑公式,原子公式,合式公式（或公式）,闭式,6.,解释,7.,一阶逻辑公式的分类,逻辑有效式（或永真式）,矛盾式（或永假式）,可满足式,1.,个体词,个体常项,个体变项,个体域,全总个体域,2.,谓词,谓词常项,谓词变项,n(n1),元谓词,特性谓词,主要内容 3. 量词全称量词存在量词4. 一阶逻辑,12,学习要求,要求准确地将给出的命题符号化：,当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化,当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化,在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。,深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。,记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。,对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。,学习要求 要求准确地将给出的命题符号化：当给定个体域时，,13,
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