圆的内接四边形

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二,.,圆内接四边形的性质与判定定理,C,O,D,B,A,圆周角定理：,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆心角定理,：,圆心角的度数等于它所对弧的度数,推论,：在,同圆或等圆中，,同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等,推论,：,半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，,的圆周角所对的弦是直径,例,2,如图，,AB,与,CD,相交于圆内一点,P,求证：,的度数与 的度数和的一半等于,APD,的度数,D,A,B,P,C,E,分析：由于,APD,既不是,圆心角,，也不是,圆周角,，为此我们需要构造一个与,APD,相等的圆心角或圆周角，以便利用定理,证明：如图，过点,C,作,CE/AB,交圆于,E,，则有,APD,C.,O,A,C,D,E,B,A,B,C,O,O,C,A,B,D,A,B,C,F,E,D,O,定义：,如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做,圆内接多边形,这个圆叫做,多边形的外接圆,.,一 定理的探究,思考,:,探究：,观察下图，这组图中的四边形都内接于圆,你能发现这些四边形的共同特征吗？,特殊到一般的方法,!,（,1,）任意三角形都有外接圆吗？,那么任意四边形有外接圆吗,?,（,3,）任意矩形是否有外接圆,?,（,2,）一般地,任意四边形都有外接圆吗,?,C,O,D,B,A,1.,如图：圆内接四边形,ABCD,中，,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的,和,是周角,.,A,C,180,同理,B,D,180,2,圆内接四边形的性质定理,圆内接四边形的,性质定理,：,圆的内接四边形的对角互补,2.,圆内接四边形的性质定理,C,O.,D,B,A,E,圆内接四边形的,性质定理,2,：,圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,圆内接四边形的,性质定理,：,圆的内接四边形的对角互补,圆内接四边形的,性质定理,2,：,圆内接四边形的外角等于,它的内角的对角,3,四边形存在外接圆的判定定理,O,C,A,B,D,E,已知,：四边形,ABCD,中，,B+D=180,求证,：,A,、,B,、,C,、,D,在同一圆周上（简称四点共圆）,.,O,C,A,B,D,分析：,不在同一直线上的三点确定一个圆,经过,A,、,B,、,C,三点作,O,，,如果能够由条件得到,O,过点,D,，那么就证明了命题,显然，,O,与点,D,有且只有三种位置关系,:,(1),点,D,在圆外；,(2),点,D,在圆内；,(3),点,D,在圆上,只要证明在假设条件下只有,(3),成立，也就证明了命题,O,C,A,B,D,O,C,A,B,D,分类讨论思想,反证法,3,四边形存在外接圆的判定定理,圆内接四边形,判定定理,：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆,说明：,在此判定定理的证明中，用到了,分类讨论的思想,和,反证法,又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为,穷举法,于是,圆内接四边形判定定理的,推论,：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,A,B,C,D,O,E,O,C,A,B,D,应用格式：,在四边形,ABCD,中，,A+C=180,四点,A,B,C,D,共圆,应用格式：,在四边形,ABCD,中，,A=,DCE,四点,A,B,C,D,共圆,3,四边形存在外接圆的判定定理,1,、如图，四边形,ABCD,为,O,的,内接四边形，已知,BOD=100,则,BAD=,BCD=,.,练习：,A,B,C,D,O,2,、圆内接四边形,ABCD,中,A:B:C=2:3:4,则,A=B=C=D=,50,130,60,90,120,90,3,、如图，四边形,ABCD,内接于,O,，,DCE=75,，则,BOD=,150,A,B,C,D,O,E,设,A=2x,则,C=4x,.A+C=,180,x=30.,二 定理的应用,