课件321几类不同增长的函数模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.2,函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型,通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性,学习目标,互动交流,探求新知,例,1,、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,回报的累积值,方案二,：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多 回报,10,元；,方案三,：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前 一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,1.,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么,?,想一想：,方案一,：每天回报,40,元；,我来说,思考,投资方案选择原则：,投入资金相同，回报量多者为优,比较三种方案每天回报量,(2),比较三种方案一段时间内的总回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。,想一想：,2.,本题中涉及哪些数量关系,?,如何利用函数描述这些数量关系,?,我来说,设第,x,天所得回报是,y,元,则方案一可用函数,y=40(x,N*),进行描述,;,方案二可以用函数,y=10 x(,x,N*),进行描述,;,方案三可以用函数,进行描述。,想一想：,3.,怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢,?,要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：,我来说,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第,x,天所得回报为,y,元，则,方案一：每天回报,40,元；,y=40 (xN*),方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回 报,10,元；,y=10 x(xN*),方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前一天翻一番。,y=0.42,x-1,(xN*),x/,天,方案一,方案二,方案三,y/,元,增,加,量/元,y/,元,增,加,量/元,y/,元,增,加,量/元,1,40,10,0.4,2,40,20,0.8,3,40,30,1.6,4,40,40,3.2,5,40,50,6.4,6,40,60,12.8,7,40,70,25.6,8,40,80,51.2,9,40,90,102.4,30,40,300,214748364.8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,10,10,10,10,10,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,107374182.4,我想问,根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识,?,我来说,方案一每天的回报不变,;,方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随,x,的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。,我想问,作出三个方案的图象看看,?,图,112-1,图,112-1,从每天的回报量来看：,第,14,天，方案一最多：每,58,天，方案二最多：第,9,天以后，方案三最多；,有人认为投资,14,天选择方案一；,58,天选择方案二；,9,天以后选择方案三？,画,图,我想问,根据以上分析,你认为该作出何种选择,?,从问题,1,可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值,.,你能把前,11,天回报的累积值算出来吗,?,累计回报表,天数,方案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,一,40,80,120,160,200,240,280,320,360,400,440,二,10,30,60,100,150,210,280,360,450,550,660,三,0.4,1.2,2.8,6,12.4,25.2,50.8,102,204.4,409.2,818.8,我想问,结论:,投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。,解决实际问题的一般步骤是什么?,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,例,2,、某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y(,单位：万元,),随着销售利润,x(,单位：万元,),的增加而增加，但奖金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y=0.25x,，,y=log,7,x+1,，,y=1.002,x,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,我想问,本题中涉及了哪几类函数模型,?,实质是什么,?,本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。,我来说,我再问,怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢,?,我来说,要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出,5,万元,以及奖励比例是否超过,25%,进行分析,才能做出正确选择。,解,:,借助计算机作出三个函数的图象如下,:,对于模型,y=0.25x,它在区间,10,1000,上递增,当,x,(20,1000),时,y5,因此该模型不符合要求。,对于模型,由函数图象,并利用计算器,可知在区间,(805,806),内有一个点 满足,由于它在,10,1000,上递增,因此当,时,y5,因此该模型也不符合要求。,对于模型,它在区间,10,1000,上递增,而且当,x=1000,时,所以它符合奖金总数不超过,5,万元的要求。,再计算按模型 奖励时,奖金是否不超过利润的,25%,即当,x,10,1000,时,是否有,成立。,令,x,10,1000,利用计算机作出函数,f(x),的图象,由图可知它是减函数,因此,f(x)f(10),-0.31671),和幂函数,y=x,n,(n0),，通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围内，,a,x,会小,x,n,，但由于,a,x,的增长快于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就会有,a,x,x,n,.,结论,2,：,一般地，对于对数函数,y=log,a,x(a1),和幂函数,y=x,n,(n0),，通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，随着,x,的增大，,log,a,x,增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样。尽管在,x,的一定范围内，,log,a,x,可能会大于,x,n,，但由于,log,a,x,的增长慢于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就会有,log,a,x1),，,y=log,a,x(a1),和,y=x,n,(n0),都是增函数。,(2),、随着,x,的增大，,y=a,x,(a1),的增长速度越来越快，会远远大于,y=x,n,(n0),的增长速度。,(3),、随着,x,的增大，,y=log,a,x(a1),的增长速度越来越慢，会远远小于,y=x,n,(n0),的增长速度。,总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就有,log,a,xx,n,a,x,探究：你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函数,.,指数函数,.,对数函数,在区间,(0,+,),上的增长差异,?,结论,一般地,对于指数函数 和幂函数,通过探索可以发现,在区间,(0,+,),上,无论,n,比,a,大多少,尽管在,x,的一定变化范围内,会小于,但由于 的增长快于 的增长,因此,总存在一个,当 时,就会有,同样地,对于对数函数 和幂函数,在区间,(0,+,),上,随着,x,的增大,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样,尽管在,x,的一定变化范围内,可能会大于,但由于 的增长慢于 的增长,因此,总存在一个,当 时,就会有,综上所述,在区间,(0,+,),上,尽管,和 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个,档次,上,随着,x,的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的 增长速度,而,的增长速度则越来越慢,.,因此,总会存在一个,当 时,就有,随堂练习,:P101,练习,小结,实际,问题,读懂问题,将问题,抽象化,数学,模型,解决,问题,基础,过程,关键,目的,几种常见函数的增长情况：,常数函数,一次函数,指数函数,没有增长,直线上升,指数爆炸,