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返回,后页,前页,在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中,的,确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则、致密性定理,.,这几个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为,完备性,.,而有理数集是不具备这种性质的,.,在本章中,将着重介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用,.,这些定理是数学分析理论的基石,.,1,关于实数集完备性的基本定理,返回,一、,区间套定理,二、聚点定理与有限覆盖定理,三、实数完备性基本定理的等价性,定义,1,定义,1,中的条件,1,实际上等价于条件,一、,区间套定理,定理,7.1,(,区间套定理,),或者,则任给,0,存在,N,当,n,N,时,推论,设,a,n,b,n,是一个区间套,注,1,该推论有着很强的应用价值,请大家务,必,牢记,.,注,2,区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结,论不一定成立,.,例如对于开区间列,显然,但是定理,1,中的,是不存在的,这是因为,例,1.,用区间套定理证明,连续函数根的存在性定理,定义,2,设,S,为数轴上的非空点集,为直线上的,一个定点,(,当然可以属于,S,也可以不属于,S,).,若对,于任意正数,在,(,+,),中含有,S,的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理,则称,是,S,的一个,聚点,.,即,为了便于应用,下面介绍两个与定义,2,等价的定义,.,定义,2,定义,2,若存在各项互异的收敛数列,下面简单叙述一下这三个定义的等价性,.,若设,S,是,0,1中的无理数全体,则,S,的聚点,集合,为闭区间,0,1.,定义,2,定义,2,由定义直接得到,.,定义,2,定义,2,因为,那么,互异,并且,定义,2,定义,2,由极限的定义可知这是显然的,.,定理,7.2,(,魏尔斯特拉斯,Weierstrass,聚点定理,),实数轴上的任意有界无限点集,S,必有聚点,.,我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必,证,因为,S,为有界点集,所以存在正数,M,使,现将,a,1,b,1,等分为两个子区间,a,1,c,1,c,1,b,1,中至少有一,个区间,含有,S,的无限多个点,.,记该区间为,a,2,b,2,.,要注意在区间套的构成中所建立的性质,(iii),.,再将,a,2,b,2,等分为两个子区间,.,同样至少有一个子,区,间含有,S,的无限多个点,将这个区间记为,a,3,b,3,.,(iii),每个闭区间,a,n,b,n,均含,S,的无限多个点,.,无限重复这个过程,就可得到一列闭区间,所以由所建立的性质,(iii),这就证明了,是,S,的一个聚点.,定理,7.2,有一个非常重要的推论,(,致密性定理,).,该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃,.,证,设,x,n,为有界数列,若,x,n,中有无限项相等,取,这些相等的项可成一个子列,.,该子列显然是收敛,若数列,x,n,不含有无限多个相等的项,则,x,n,作为,点集是,有界无限点集,.,由聚点原理,可设,是,x,n,的一个,推论,(,致密性定理,),有界数列必有收敛子列,.,的,.,一个各项互异的子列 收敛于,.,聚点,那么再由定义,2,可知,x,n,中有,定义,3,设,S,为数轴上的一个点集,H,为一些开区间,则称,H,是,S,的一个,开覆盖,.,若,H,是,S,的一个开覆盖,并且,H,中的元素,(,开区,间,),仅有有限个,则称,H,是,S,的一个,有限开覆盖,.,一个开覆盖,.,定理,7.3,(,海涅博雷尔有限覆盖定理,),设,H,是闭区间,a,b,的一个开覆盖,则从,H,中可选,海涅,(Heine,H.E.,1821-1881,德国,),博雷尔,(Borel,E.1871-1956,法国,),出,有限个开区间,构成闭区间,a,b,的一个子覆盖,.,证明：,本定理证明方法,多种，这里采用,区间套定理。,若定理不成立,也就是说,a,b,不能,被,H,中任何,再将,a,1,b,1,等分成两个子区间,其中至少有一个,有限个开区间所覆盖,.,将区间,a,b,等分成两个子,区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被,H,中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,a,1,b,1,.,不能被,H,中有限个开区间所覆盖,.,设该区间为,显然有,(iii),对每一个闭区间,a,n,b,n,都不能被,H,中有限个,满足下列三个性质,:,a,2,b,2,.,同样有,将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间,这就是说,a,N,b,N,被,H,中的一个开区间所覆盖,开,区间所覆盖,.,矛,盾,.,区间,(0,1).,很明显,H,中的任何有限个开区间均不,注,定理,7.3,中的闭区间不可以改为开区,间,.,能覆盖,(0,1).,例,2,：,用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的,有界性定理。,我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它,三、实数完备性定理的等价性,确界定理 单调有界定理 区间套定理,下面证明这六个定理是等价的,.,们是,:,聚点定理,（致密性定理）,有限覆盖定理 柯西收敛准则,柯西收敛准则,区间套定理,聚点定理,确界定理,有限覆盖定理,单调有界定理,6,5,4,3,2,1,例,3,用有限覆盖定理证明聚点定理,.,证,设,S,是无限有界点集,则存在,M,0,使得,在上图的等价性关系中,仅 和 尚未证,明,.,这里,4,6,给出 的证明,请大家自己阅读教材,.,4,6,很明显,H,覆盖了闭区间,M,M,.,根据有限覆盖,设开区间集,由,H,的构造,所以,矛盾,.,定理,存在,H,中的有限子覆盖,覆盖,-M,M,，进而覆盖,S.,
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