大数定律和中心极限定理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 大数定律和中心极限定理,关键词：,契比雪夫不等式,大数定律,中心极限定理,人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是,大数定律,要解决的问题。,长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响中所起的作用都很微小，则这种量通常都服从或近似服从正态分布。这个结论的理论依据就是,中心极限定理,。,1,.,大数定律,在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,定义,1,：,设 是随机变量序列，是一个常数；,若对任意 ，有,:,则称 依概率收敛于 ，记为 。,定义,2,：,定理,1,：,由切比雪夫不等式得：,由定理,2,有,此定理说明了频率的稳定性,。,注：,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,2,.,中心极限定理,定理,1,定理,2,（李雅普诺夫定理）,(,Liapunov,定理,),由定理,1,有结论成立。,定理,3,（德莫佛,-,拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数为,n,p(0p1),的二项分布,(De,Moivre,-,Laplace,),推论：,设随机变量 服从参数为,n,p(0p1),的二项分布,当,n,充分大时有：,说明：,这个公式给出了,n,较大时二项分布的概率 计算方法。,例,1,某车间有,200,台车床，它们独立地工作着，开工率为,0.6,开工时耗电各为,1,千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以,99.9%,的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,设至少要供给这个车间,r,千瓦电才能以,99.9%,的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：,即供给,141,千瓦电就能以,99.9%,的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,第一类问题,是已知 求概率,第二类问题,是要使,，,问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的,n,第三类问题,是已知,例,2.,现有一批种子，其中良种占,1/6,。今任取,6000,粒，问能以,0.99,的概率保证在这,6000,粒种子中良种所占的比例与,1/6,的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛,-,拉普拉斯定理,故近似地有,良种粒数,X,的范围为,例3,设一个系统由,100,个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为,0.1,。为了使整个系统正常工作，至少必须有,85,个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：,设,X,是损坏的部件数，则,XB(100,0.1),。,则整个系统能正常工作当且仅当,X 15.,由德莫佛,-,拉普拉斯定理有,返回主目录,例,4,某单位有,200,台电话分机，每台分机有,5%,的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以,90%,以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：,设有,X,部分机同时使用外线，则有,设有,N,条外线。由题意有,由德莫佛,-,拉普拉斯定理有,例,5,一加法器同时收到,20,个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间,(0,10),上服从均匀分布，记,1,引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意,义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解,契比雪夫大数定律。,2,阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要,掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛,-,拉普,拉斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际,应用问题。,第五章,小 结,