留数定理计算积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。,留数定理的应用-,-积分的计算:,（,2,）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；,（,3,）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学,。,利用留数计算积分的特点：,（,1,）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,1,思想方法,:,封闭路线的积分,.,两个重要工作:,1),积分区域的转化,2),被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,2,当,历经变程,时,的,正方向绕行一周.,z,沿单位圆周,z,的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周,内的诸孤立奇点.,注,:,3,例,1,解,故积分有意义.,4,5,因此,6,注,:,此时,例2,计算积分,解,则,7,8,由留数定理,例,3,计算,解,9,由留数定理,10,注,:,例,4,计算积分,解,11,12,在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如,数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,13,1引理6.1,证明,因为,于是有,14,于是有,15,2定理6.7,16,证明,由条件(1),(2)及数学分析的结论,知,x,.,.,根据留数定理得:,17,或写成,因为,18,解,例,5,19,20,解,例,6,21,22,引理6.2,x,y,.,.,23,证明,于是就有,于是由Jordan不等式,24,将(6.13)化为,应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得,25,2定理6.8,则有,注:,将(6.14)分开实虚部,就可得到形如,的积分.,26,证明,x,.,.,根据留数定理得:,27,或写成,因为,28,例,7,计算积分,解,且在上半平面只有二级极点,29,注意,以上两型积分中被积函数中的,R,(,x,)在实轴,上无孤立奇点.,30,四 计算积分路径上有奇点的积分,引理6.3,证明,因为,于是有,31,于是有,32,例,8,计算积分,解,即,33,由引理6.2知,由引理6.3知,34,解,五 杂例,例,9,它是一个整函数,则,35,而,36,比较两端实部与虚部即得,弗莱聂尔(frensnel)积分,即,37,本节结束,谢谢,！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,38,