资源描述
,#,/,14,数学试卷,第,1,页（共,6,页）,绝,密,启,用,前,2020,年普通高等学,校,招生全国,统,一考试,全,国,卷,理科,数学,注意事项：,1,.,答题前,，,考生务必将自,己,的,姓,名、准考证号填写在答题,卡,上,.,2,.,回答选,择,题时,，,选出每小题,答,案后,，,用铅笔把,答,题卡上对应,题,目的答案标号涂黑.,如需改动,，,用橡皮,擦,干净后,，,再,选涂其他答案标号,.,回答,非,选,择,题时,，,将答案写在,答,题卡,上。写在本试卷上无,效,.,3,.,考试结束,后,，将本试卷,和,答,题,卡一并交回,.,一,、,选择题,：,本题共,12,小题,，,每,小题,5,分,，,共,60,分,.,在每小题,给,出的四个选项中,，,只有,一项是符合题目要求的,.,1,.已知,集,合,A,x,，,y,x,，,y,N,*,，,y,x,，,B,x,，,y,x,y,8,，,则,A,B,中元素的个,数为,A,.,2,(,),D,.,6,B,.,3,C,.,4,1,1,3i,2,.复数的虚部是,(,),1,0,A,.,3,1,0,B,.,1,C,.,1,D,.,3,1010,4,i,1,1,234,i,3,.,在一,组,样本数据中,，,1,，,2,，,3,，,4,出现的频,率,分别为,p,，,p,，,p,，,p,，,且,p,1,，,则下面四种情形中，对应,样,本,的,标准差最大的一组是,A,.,p,1,p,4,0.1,，,p,2,p,3,0.4,B,.,p,1,p,4,0.4,，,p,2,p,3,0.1,C,.,p,1,p,4,0.2,，,p,2,p,3,0.3,(,),D,.,p,p,0.3,，,p,p,0.2,1423,4,.,Logistic,模型,是,常用数学模,型,之一,，,可应用于流,行,病学领域,.,有学者根据公布数据建立,了某地区新冠肺炎累计确,诊,病例,数,I,t,（,t,的单位：天）,的,Logistic,模型,：,K,I,t,1,e,0,.,2,3,t,5,3,，,其中,K,为最大确诊病例,数,.当,I,t,0.9,5,K,时,，,标志着已初步遏,制疫情，,则,t,约为（,ln19,3,）,A,.,60B,.,63C,.,66,(,),D,.,69,5,.,设,O,为坐标,原,点,，,直,线,x,2,与,抛,物,线,C,:,y,2,2,px,p,0,交,于,D,，,E,两点，若,OD,OE,，,则,C,的焦点坐标为,(,),4,2,A,.,1,，,0,B,.,1,，,0,C,.,1,，,0,D,.,2,，,0,6,.,已知,向,量,a,，,b,满足,a,5,，,b,6,，,a,b,6,，,则,cos,a,，,a,b,(,),A,.,31,B,.,19,35,35,C,.,1,7,D,.,19,35,35,3,7,.,在,ABC,中，,cos,C,2,，,AC,4,，,BC,3,，,则,cos,B,(,),A,.,9,1,1,B,.,3,C,.,1,2,D,.,2,3,8,.,下图,为,某几何体的三视,图,，,则,该几何体的表面积是,(,),A,.,6,4,2,C,.,6,2 3,B,.,4,4,2,D,.,4,2 3,4,9,.,已,知,2,tan,tan,7,，,则,tan,(,),A,.,2,B,.,1,C,.,1,D,.,2,5,10,.,若直,线,l,与曲线,y,x,和圆,x,2,y,2,1,都相切，,则,l,的方程为,(,),2,A,.,y,2,x,1,B,.,y,2,x,1,2,22,数学试卷,第,2,页（共,6,页）,C,.,y,1,x,1,D,.,y,1,x,1,毕业学校,姓名,考,生,号,在,此,卷,上,答,题,无,效,数学试卷 第 1 页（共 6 页）绝密启用前2020 年普,1,/,14,数学试卷,第,3,页（共,6,页）,数学试卷,第,4,页（共,6,页）,x,2,y,2,11,.,设,双曲,线,C,:,1,a,0,，,b,0,的左,、,右焦点分别为,F,1,，,F,2,，,离心率为,5,.,a,2,b,2,P,是,C,上一点，且,F,1,P,F,2,P,.,若,PF,1,F,2,的面积为,4,，,则,a,(,),A,.,1,B,.,2,C,.,4,D,.,8,(,),58,13,12,.,已,知,5,5,8,4,，,13,4,8,5,.,设,a,log,3,，,b,log,5,，,c,log,8,，则,A,.,a,b,c,C,.,b,c,a,B,.,b,a,c,D,.,c,a,b,13,.,若,x,，,y,满足约束条,件,二、填空题：本题共,4,小,题,，,每,小题,5,分，共,20,分.,x,y,0,，,x,1,，,2,x,y,0,，,则,z,3,x,2,y,的最大,值,为,.,2,6,14,.,x,2,的展开式中常数项,是,（用数字作答,）.,x,15,.,已知圆锥的,底,面半径为,1,，,母,线长为,3,，,则该圆锥内,半,径最,大,的球的体积为,.,16,.,关于函数,f,x,sin,x,1,有如下四个命题：,sin,x,f,x,的图像关于,y,轴对,称.,f,x,的图像关于原点对,称,.,f,x,的图像关于直线,x,对,称.,2,f,x,的最小值为,2,.,其中所有真命题的序号是,.,三、解答题：共,70,分,.,解答应,写,出文字说明、证明过程或,演,算,步,骤,.,第,1721,题为必考 题，每个试题考生都必须,作,答,.,第,22,、,23,题为选考题，考生,根,据要求作答,.,（一）必考题：共,60,分,.,17,.(,12,分,),设数,列,a,n,满,足,a,1,3,，,a,n,1,3,a,n,4,n,.,（,1,）计,算,a,2,，,a,3,，猜,想,a,n,的通项公式并加以证明；,n,n,n,（,2,）求数列,2,a,的前,n,项和,S,.,18,.（,12,分）,某学生兴趣小组随机调查,了某,市,100,天,中每天的空气质,量等,级和当天到某公园锻炼 的人次，整理数据得到下,表,（,单,位：天,）：,锻炼人次,空气质量等级,0,，,200,200,，,400,400,，,600,1,（,优）,2,16,25,2,（,良）,5,10,12,3,（,轻度污染）,6,7,8,4,（,中度污染）,7,2,0,分别估计,该,市一天的空,气,质量等级为,1,，,2,，,3,，,4,的概,率,；,求一天中到该公,园,锻炼,的,平均人次的估计,值,（同一组中,的,数据用该组区间的中 点值为代表,）；,若某天的空气,质,量等级为,1,或,2,，,则称这,天,“,空,气质量好,”；,若某天的空气质量,等级为,3,或,4,，,则,称,这,天,“空,气,质量不好,”.,根据所给数据,，,完,成,下面,的,2,2,列联表,，,并 根据列联表,，,判断是否,有,95%,的把,握,认为一天中到该公园锻炼,的,人,次,与该市当天的空气 质量有关？,人,次,400,人,次,400,空气质量好,空气质量不好,附：,K,2,n,a,d,b,c,2,a,b,c,d,a,c,b,d,，,.,数学试卷 第 3 页（共 6 页）数学试卷 第 4 页（共,2,/,14,数学试卷,第,5,页（共,6,页）,数学试卷,第,6,页（共,6,页）,19,.（,12,分）,如图,，,在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,，,点,E,，,F,分别在棱,DD,1,，,BB,1,上,，,且,2,DE,ED,1,，,BF,2,FB,1,.,（,1,）证明：,点,C,在平面,AEF,内；,1,（,2,）若,AB,2,，,AD,1,，,AA,1,3,，求二面角,A,EF,A,1,的正弦值,.,x,2,y,2,20,.（,12,分）,已知椭,圆,C,:,25,m,1,0,m,5,的离心率为,2,15,4,，,A,，,B,分别,为,C,的左,、,右顶,点.,求,C,的方程；,若点,P,在,C,上，,点,Q,在直线,x,6,上，且,BP,BQ,，,BP,BQ,，求,APQ,的,面,积,.,21,.（,12,分）,2,2,设函数,f,x,x,3,bx,c,，曲线,y,f,x,在,点,1,，,f,1,处的切线与,y,轴重直,.,求,b,；,若,f,x,有一个绝对值不大于,1,的零点,，,证明：,f,x,所有零点的绝对值都不大,于,1,.,（二）选考,题,：共,10,分,.,请考生在第,22,、,23,题中任选一题作,答,.,如果多做，则按所,做,的 第一题计分,.,22,.,选,修,4,4,：,坐,标,系与参数,方,程（,10,分）,在直角坐标系,xOy,中,，,曲,线,C,的参数方程为,2,y,2,3,t,t,x,2,t,t,2,，,（,t,为参数,且,t,1,），,C,与坐标轴交于,A,，,B,两点,.,求,AB,；,以坐标原点,为,极点,，,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系,，,求,直线,AB,的极坐标方程,.,23,.,选,修,4,5,：,不,等,式选,讲（,10,分）,设,a,，,b,，,c,R,，,a,b,c,0,，,abc,1,.,证明：,ab,bc,ca,0,；,用,m,a,x,a,，,b,，,c,表示,a,，,b,，,c,的最大值，,证,明：,m,a,x,a,，,b,，,c,3,4,.,毕业学校,姓名,考,生,号,在,此,卷,上,答,题,无,效,数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共,3,/,14,2020,年普通高等学校招,生,全国,统,一考试,全国,卷,理,科数,学,答,案,解析,一、,选,择题,1,.【,答,案,】,C,x,y,8,y,x,【解析】采,用,列举法列举出,A,B,中元素的即可,.,由题意，,A,B,中的元素满足，且,x,，,y,N,*,，,由,x,y,8,2,x,，,得,x,4,，,所,以,满,足,x,y,8,的,有,1,，,7,，,2,，,6,，,3,，,5,，,4,，,4,，,故,A,B,中,元,素,的,个,数,为,4,.,故,选,：,C,.,【考,点,】,集,合,的,交,集,运,算,，交,集,定,义,的,理,解,2,.,【,答,案,】,D,【解析】利用复,数,的除法运算求出,z,即可,.,因为,z,1,1,3,i,1010,1,3,i,1,1,3,i,1,3,i,3,i,，所以复数,z,1,1,3,i,的,虚部为,3,.,故,选,：,D,.,10,【考,点,】,复,数,的,除,法,运,算,，复,数,的,虚,部,的,定义,3,.,【,答,案,】,B,【解,析,】,计,算,出,四,个,选,项,中对,应,数,据,的,平,均,数,和,方,差,，,由,此,可,得,出,标,准,差,最,大的,一,组.,对,于,A,选,项,，,该,组,数,据,的,平均,数,为,x,A,1,4,0.1,2,3,0.4,2.5,，,2222,2,A,方差为,s,1,2.5,0.1,2,2.5,0.4,3,2.5,0.4,4,2.5,0.1,0.65,；,对,于,B,选,项,，,该,组,数,据,的,平均,数,为,x,B,1,4,0.4,2,3,0.1,2.5,，,2222,2,B,方差为,s,1,2.5,0.4,2,2.5,0.1,3,2.5,0.1,4,2.5,0.4,1.85,；,对,于,C,选,项,，,该,组,数,据,的,平均,数,为,x,C,1,4,0.2,2,3,0.3,2.5,，,2222,2,C,方差为,s,1,2.5,0.2,2,2.5,0.3,3,2.5,0.3,4,2.5,0.2,1.05,；,对,于,D,选,项,，,该,组,数,据,的,平均,数,为,x,D,1,4,0.3,2,3,0.2,2.5,，,2222,2,D,方差为,s,1,2.5,0.3,2,2.5,0.2,3,2.5,0.2,4,2.5,0.3,1.45,.,因此,，,B,选,项,这,一,组,的,标,准差,最,大,.,故,选,：,B,.,【考,点,】,标,准,差,的,大,小,比,较，,方,差,公,式,的,应用,4,.,【,答,案,】,C,【解,析,】,将,t,t,代入,函,数,I,t,K,1,e,0.23,t,53,K,1,e,0.23,t,53,1,/,14,结合,I,t,0,.9,5,K,求,得,t,即可得解.,I,t,，所,2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一、选择题,1,e,0.,2,3,t,5,3,e,以,I,t,K,0.,9,5,K,，,则,0,.,2,3,t,*,5,3,19,53,66,.,0,.23,，,所,以,，,0.,2,3,t,5,3,l,n,1,9,3,，,解,得,t,3,故选,：,C,.,【考,点,】,对,数,的,运,算,，,指,数与,对,数,的,互化,5,.,【,答,案,】,B,【解析】根据题中所给,的,条,件,OD,OE,，结合抛物线的对称性，可,知,DOx,EOx,，从而可以确定,4,出,点,D,的坐标,，,代入方程求,得,p,的值,，,进而求得其焦点坐标,，,得到结果,.,因为直,线,x,2,与,抛物,线,4,y,2,2,px,p,0,交于,E,，,D,两点,，,且,OD,OE,，,根据,抛,物线,的,对,称,性,可,以,确,定,DOx,EOx,，,所以,D,2,，,2,，代,入,抛,物,线,方,程,4,4,p,p,1,，求得，所,以,其,焦,点,坐,标为,1,2,，,0,，,故,选,：,B,.,【考,点,】,圆,锥,曲,线,，,直,线,与抛,物,线,的,交,点,，,抛,物,线,的对,称,性,，,点,在,抛,物,线,上,的条,件,，,抛,物,线,的,焦,点,坐,标,6,.,【,答,案,】,D,【解,析,】,计,算,出,a,a,b,、,a,b,的,值,，,利,用平,面,向,量,数,量,积,可,计,算,出,cos,a,，,a,b,的,值,.,，,a,5,b,6,，,a,b,6,，,a,a,b,2,2,2,2,a,a,b,5,2,6,19,.,a,b,a,b,a,2,a,b,b,25,2,6,36,7,，,因此，,cos,a,，,a,b,19,1,9,a,a,b,a,a,b,5,7,3,5,.,故,选,：,D,.,【考,点,】,平,面,向,量,夹,角,余,弦值,的,计,算,，,平,面,向,量,数,量积,的,计,算,，,向,量,模,的,计,算,7,.,【,答,案,】,A,【,解析,】,根据已,知,条件结,合,余弦,定,理求,得,AB,，,再根,据,cos,B,AB,2,BC,2,AC,2,2,AB,BC,，,即,可求,得,答,案,.,在,3,ABC,中，,cos,C,2,，,AC,4,，,BC,3,.,根,据,余,弦,定,理,：,AB,2,AC,2,BC,2,2,AC,BC,cos,C,，,222,AB,4,3,2,4,3,2,3,AB,2,BC,2,AC,2,9,9,16,1,2,AB,BC,2,3,39,，可得,AB,2,9,，即,AB,3,.,由,cos,B,，,故,cos,B,1,.,故,选：,A,.,9,【考,点,】,余,弦,定,理,解,三,角,形,2,/,14,1 e0.23t 53e以 I t ,8,.,【,答,案,】,C,【解,析,】,根,据,三,视,图,特征,，,在正,方,体,中,截,取,出,符,合,题,意的,立,体,图形,，,求,出,每个,面的,面积,，,即,可,求,得,其表,面,积.,根据,三,视,图,特,征,，,在,正,方,体中,截,取,出,符,合,题,意,的,立,体图形,2,根据,立,体,图,形,可,得,：,S,ABC,S,ADC,S,CDB,1,2,2,2,根据,勾股,定,理,可,得：,AB,AD,DB,2,2,ADB,是边,长,为,2,2,的等,边,三,角,形,根,据三,角,形,面,积,公,式,可,得,：,222,ADB,S,1,A,B,AD,sin,6,0,1,2,2,2,3,2,3,，,该,几,何,体,的,表,面,积,是：,3,2,2,3,6,2,3,.,故选,：,C,.,【考,点,】,根,据,三,视,图,求,立,体图,形,的,表,面,积,，,根,据,三,视图,画,出,立,体,图,形,9,.,【,答,案,】,D,【解,析,】,利,用,两,角,和,的,正,切,公,式,，,结,合,换,元,法,，,解,一,元,二次,方程,，,即,可,得,出,答案,.,4,2,tan,tan,7,，,2,tan,tan,1,7,，,令,t,tan,，,t,1,，,则,2,t,1,t,7,，,整理,得,t,2,4,t,4,0,，,解,得,t,2,，,即,tan,2,.,1,tan,1,t,故选,：,D,.,【考,点,】,利,用,两,角,和,的,正,切公,式,化,简,求值,10,.,【,答,案】,D,【解,析,】,根,据,导,数,的,几,何,意义,设,出,直,线,l,的方,程,，,再,由直,线,与,圆,相,切,的,性,质,，,即可,得,出,答,案,.,设,直,线,l,在,曲,线,y,x,上的,切,点为,00,0,x,，,x,，,则,x,0,2,x,0,2,x,，,函数,y,x,的,导,数为,y,1,，,则,直,线,l,的斜,率,k,1,，,设,直,线,l,的,方,程,为,y,0,0,0,1,2,x,x,00,x,x,，,即,x,2,5,x,y,x,0,，,由,于直,线,l,与,圆,x,2,y,2,1,相,切,，,则,x,0,1,0,1,4,x,5,00,0,0,5,，两边平方,并,整理,得,5,x,2,4,x,1,0,，解,得,x,1,，,x,1,（舍,），,则直,线,l,的方程,为,x,2,y,1,0,，即,y,1,x,1,.,故,选,：,D,.,22,3,/,14,8.【答案】C2根据立体图形可得： SABC S A,【考,点,】,导,数,的,几,何,意,义,的应,用,，,直,线,与,圆,的,位,置,的应用,11,.,【,答,案】,A,【解析】,根,据双曲,线,的,定,义，三角,形,面积公,式,，,勾,股定理，,结,合离心,率,公,式,，即可得,出,答案,.,c,5,，,a,1,c,5,a,，根,据,双,曲,线,的,定,义,可得,PF,12,2,PF,2,a,，,S,1,PF,PF,2,PF,1,F,2,4,，即,PF,1,PF,2,8,，,F,1,P,F,2,P,2,2,2,1,，,PF,2,P,F,2,4,c,2,，,即,a,2,5,a,2,4,0,，解得,1,2,2,c,，,1,2,2,PF,PF,PF,PF,a,1,，故,选,：,A,.,【考,点,】,双,曲,线,的,性,质,以,及定,义,的,应,用,，,勾,股,定,理,，三,角,形,面,积,公,式,的,应用,12,.,【,答,案】,A,【解,析,】,由,题,意,可,得,a,、,b,、,c,0,，,1,，,利用,作,商,法,以,及,基,本,不,等,式可,得,出,a,、,b,的大,小,关,系,，,由,b,log,8,5,，,1,3,55,得,8,b,5,，,结,合,5,5,8,4,可,得,出,b,4,，,由,c,log,8,，,得,13,c,8,，,结,合,13,4,8,5,，,可,得,出,c,4,，,综,合,可,得,出,a,、,b,、,c,的,大,小,关,系,.,由,题,意,可,知,a,、,b,、,c,0,，,1,，,8,2,a,log,3,lg,3,lg,8,b,log,5,lg,5,lg,5,1,lg,3,lg,8,2,lg,3,lg,8,2,lg,24,2,lg,5,2,5,2,lg,5,lg,25,1,，,a,b,；,由,b,log,8,5,，,得,8,b,5,，,5,1,3,由,5,5,8,4,，,得,8,5,b,8,4,，,5,b,4,，,可,得,b,4,；,由,c,log 8,，,得,13,c,8,，,由,13,4,8,5,，,得,13,4,13,5,c,，,5,c,4,，,可,得,c,4,.,综,上,所,述,，,a,b,c,.,故选,：,A,.,5,【考,点,】,对,数,式,的,大,小,比,较，,基,本,不,等,式,、,对,数,式,与指,数,式,的,互,化,，,指,数,函,数单,调,性,的,应用,二,、,填空题,13,.,【,答,案,】,7,【,解,析,】,作,出,可,行域,，,利,用,截,距,的,几,何,意,义解,决,.,不,等,式,组,所,表,示,的可,行,域,如图,.,因,为,z,3,x,2,y,，所,以,y,3,x,z,，,易,知,截,距,z,越大,，,则,z,越,大,，,平,移,直,线,y,3,x,，,当,y,3,x,z,经过,A,点,时,截距,最大,，,此,时,222222,4,/,14,x,1,y,2,m,a,x,z,最大,，,由,y,2,x,，,得,x,1,，,A,1,，,2,，,所,以,z,3,1,2,2,7,.,故,答案,为,：,7,.,【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用1c ,【考,点,】,简,单,线,性,规,划,的,应用,，,求,线,性,目,标,函,数,的,最大值,14,.,【,答,案,】,240,2,6,【,解,析,】,写,出,x,2,x,2,6,x,二项式展,开,通项,，,即可,求,得常,数,项,.,x,2,其二项,式,展开通项,：,6,6,r,r,2,6,r,r,1,6,2,r,r,r,1,2,2,r,r,r,12,3,r,C,x,2,x,C,2,x,，,当,1,2,T,C,x,x,3,r,0,，,解,得,r,4,，,6,2,2,x,x,的,展,开,式中,常,数,项,是,：,C,4,2,4,C,2,16,15,16,240,.,故,答,案为,：,240,.,66,【考,点,】,二,项,式,定,理,，,利,用通,项,公,式,求,二,项,展,开,式,中的,指,定项,15,.,【,答,案,】,2,3,【解,析,】,与,球,有,关,的,组,合,体问,题,，,一,种,是,内,切,，,一,种是,外,接,.,解,题,时,要,认,真分,析图,形,，,明,确,切,点,和,接,点,的,位置,，,确,定,有,关,元,素,间,的,数量,关,系,，,并,作,出,合,适,的,截面,图,，,如,球,内,切,于,正,方,体,，,切,点,为,正,方,体,各,个,面,的中,心，,正,方,体,的,棱,长,等,于,球,的直,径,；,球,外,接,于,正,方,体,，正,方,体,的,顶,点,均,在,球,面,上,，,正,方,体,的,体,对,角,线,长,等于,球的,直,径,.,将,原,问,题,转,化为,求解,圆,锥,内,切,球,的,问,题,，,然后,结,合,截,面,确,定,其,半,径,即可,确,定,体,积,的,值,.,易,知半,径 最大,球,为,圆,锥,的,内,切,球,，,球与,圆,锥,内,切,时,的,轴,截,面,如图,所,示,，,其中,BC,2,，,AB,AC,3,，且点,M,为,BC,边上,的,中,点,，,设,内,切,圆,的,圆心,为,O,，,由于,AM,3,2,1,2,2,2,A,B,C,2,，故,S,1,2,2,2,2,2,，设,内,切,圆,半,径,为,r,，,则,：,5,/,14,【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值2 ,1,AB,r,1,BC,r,1,AC,r,1,3,3,2,r,2,2222,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,2,，解,得,：,r,2,，其,体,积,：,V,4,r,3,2,.,故,答,案,为,：,2,.,2333,16,.,【,答,案,】,【解,析,】,利,用,特殊,值,法,可,判断,命,题,的,正,误,；,利,用,函数,奇,偶,性,的,定,义,可,判,断,命,题,的,正误,；,利,用,对,称性的,定,义,可,判断命,题,的正误,；,取,x,0,可判断,命,题,的,正,误,.,综,合可得,出,结,论,.,对于,命,题,，,f,1,2,2,6,5,1,22,，,f,2,6,5,2,，,则,f,f,6,6,y,，,所,以,，,函数,f,x,的,图,象,不,关于,轴对,称,，,命题,错,误,；,对,于,命,题,，,函数,f,x,的,定,义,域,为,x,x,k,，,k,Z,，定,义,域关,于,原,点,对,称,，,f,x,sin,x,sin,x,sin,x,sin,x,sin,x,111,sin,x,f,x,，所,以,，,函,数,f,x,的图,象,关,于,原点,对称,，,命,题,正,确,；,对,于,命题,，,1,1,cos,x,2,2,cos,x,，,sin,x,2,f,x,sin,x,1,1,f,x,sin,x,cos,x,2,2,sin,x,2,cos,x,，则,f,x,f,x,2,2,，所,以,，,函,数,f,x,的图象,2,1,6,/,14,sin,x,关于,直,线,x,对称,，,命,题,正,确,；,对,于,命,题,，,当,x,0,时，,sin,x,0,，,f,x,sin,x,0,2,，,命题,错,误,.,故,答,案,为,：.,【考,点,】,正,弦,型,函,数,的,奇,偶性,、,对,称,性,，,最,值,的,求,解,三、解答题,17,.,【,答案,】,（,1,）,a,2,5,，,a,3,7,，,a,n,2,n,1,，,当,n,1,时，,a,1,3,成立,；,假,设,n,k,时，,a,k,2,k,1,成,立,.,那,么,n,k,1,时，,a,k,1,3,a,k,4,k,3,2,k,1,4,k,2,k,3,2,k,1,1,也成,立,.,则,对,任意,的,n,N,*,，,都,有,a,n,2,n,1,成立,.,（,2,）,S,n,2,n,1,2,2,n,1,【解,析,】,（,1,）,利,用,递,推,公,式得,出,a,2,，,a,3,，猜,想,得,出,a,n,的,通,项公,式,，,利,用,数,学,归,纳,法,证明,即,可,.,由,题,意可,得,a,2,3,a,1,4,9,4,5,，,a,3,3,a,2,8,1,5,8,7,，由,数,列,a,n,的前,三,项,可,猜想,数,列,a,n,是以,3,为,首,项，,2,为,公,差,的,等,差,数,列,，,即,a,n,2,n,1,，证,明,如,下,：,当,n,1,时，,a,1,3,成,立,；假,设,n,k,时，,a,k,2,k,1,成,立,.,那,么,n,k,1,时，,a,k,1,3,a,k,4,k,3,2,k,1,4,k,2,k,3,2,k,1,1,也成,立,.,则,对,任意,的,n,N,*,，,都,有,a,n,2,n,1,成立；, 1 AB r 1 BC r 1,（,2,）,由,错,位,相,减,法,求,解即,可.,由,（,1,）,可,知,，,a,n,2,2,n,1,2,，,nn,S,n,3,2,5,2,7,2,2,n,1,2,2,n,1,2,，,23,n,1,n,2,S,n,3,2,5,2,7,2,2,n,1,2,2,n,1,2,，,由,得：,234,n,n,1,n,2,2,1,2,n,1,1,2,S,6,2,2,2,2,3,2,n,2,n,1,2,n,1,6,2,2,n,1,2,n,1,1,2,n,2,n,1,2,，,即,S,n,2,n,1,2,2,.,n,1,【考,点,】,求,等,差,数,列,的,通,项公,式,，,利,用,错,位,相,减,法,求数,列,的和,18,.,【,答案,】,（,1,）,该,市,一天,的空,气,质,量,等,级,分,别,为,1,、,2,、,3,、,4,的,概,率,分,别为,0.43,、,0.27,、,0.21,、,0.09,（,2,）,350,（,3,）,有，,2,2,列,联,表,如,下：,人,次,400,人,次,400,空气,质,量,不,好,33,37,空气,质,量好,22,8,1,0,0,3,3,8,37,2,2,2,K,2,55,45,70,30,5.820,3.841,，,因,此,，,有,95%,的把,握,认,为一,天中,到,该,公,园,锻,炼,的,人,次,与该市,当天,的,空,气,质,量,有,关,.,【解,析,】,（,1,）,根,据,频,数,分,布表,可,计,算,出,该,市,一,天,的,空气,质,量,等,级,分别,为,1,、,2,、,3,、,4,的,概,率,.,由,频,数,分,布表,可,知,，,该,市,一,天,的,空,气,质量,等,级,为,1,的,概,率,为,2,16,25,0.43,，,等级,为,2,的,概,率,为,5,10,12,0.27,，,等,级,100100,为,3,的,概,率,为,6,7,8,0.21,，等,级,为,4,的概,率,为,7,2,0,0.09,.,100100,利,用,每,组,的,中,点,值乘,以频,数,，,相,加,后除,以,100,可得,结,果,.,由,频,数,分,布,表可,知，,一,天,中,到,该,公,园,锻,炼,的,人次,的,平,均,数,为,100,20,300,35,500,45,350,.,100,根,据,表,格,中,的,数,据完,善,2,2,列,联,表,，,计,算,出,K,2,的观,测,值，,再,结,合,临,界,值,表,可,得,结,论.,2,2,列,联,表如 下：,7,/,14,人,次,400,人,次,400,空气,质,量,不,好,33,37,空气,质,量好,22,8,（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知， an 2 ,1,0,0,3,3,8,37,2,2,2,K,2,55,45,70,30,5.820,3.841,，,因,此,，,有,95%,的把,握,认,为一,天中,到,该,公,园,锻,炼,的,人,次,与该市,当天,的,空,气,质,量,有,关,.,【考,点,】,利,用,频,数,分,布,表,计算,频,率,和,平,均,数,，,独,立,性检,验,的,应,用,2,1,1,1,1,19,.,【,答案,】,（,1,）,在,棱,CC,上,取,点,G,，,使,得,C,G,1,CG,，连接,DG,、,FG,、,C,E,、,C,F,，,1 1,1,11111,1,2,在,长方体,ABCD,A,B,C,D,中，,AD,BC,且,AD,BC,，,BB,CC,且,BB,CC,，,C,G,1,CG,1,1,1,33,BF,2,FB,，,CG,2,CC,2,BB,BF,且,CG,BF,，所,以,，,四,边形,BCGF,为,平,行,四边,形,，则,AF,DG,且,AF,DG,，,同,理,可,证,四,边形,DEC,1,G,为,平,行四,边,形,，,C,1,E,DG,且,C,1,E,DG,，,C,1,E,AF,且,C,1,E,AF,，则,四,边形,AEC,1,F,为,平,行,四,边,形,，因,此,，,点,C,1,在,平,面,AEF,内,.,（,2,）,42,7,【解,析,】,（,1,）,连,接,C,1,E,、,C,1,F,，,证,明出,四,边形,AEC,1,F,为,平,行,四,边,形,，进,而,可,证,得,点,C,1,在,平,面,AEF,内,.,在,2,1,1,1,1,棱,CC,上,取,点,G,，使,得,C,G,1,CG,，,连,接,DG,、,FG,、,C,E,、,C,F,，,8,/,14,100 33 8 37 222K 2 5,1 1,1,1,1,1,1,1,1,2,在,长方体,ABCD,A,B,C,D,中，,AD,BC,且,AD,BC,，,BB,CC,且,BB,CC,，,C,G,1,CG,1,1,1,33,BF,2,FB,，,CG,2,CC,2,BB,BF,且,CG,BF,，所,以,，,四,边形,BCGF,为,平,行,四边,形,，则,AF,DG,且,AF,DG,，,同,理,可,证,四,边形,DEC,1,G,为,平,行四,边,形,，,C,1,E,DG,且,C,1,E,DG,，,C,1,E,AF,且,C,1,E,AF,，则,四,边形,AEC,1,F,为,平,行,四,边,形,，因,此,，,点,C,1,在,平,面,AEF,内；,（,2,）,以,点,C,1,为,坐,标,原,点,，,C,1,D,1,、,C,1,B,1,、,C,1,C,所,在,直,线,分,别,为,x,、,y,、,z,轴建立,空,间,直,角,坐,标系,C,1,xyz,，利,用,空,间,向,量,法,可,计,算,出二,面,角,A,EF,A,1,的余,弦,值,，,进,而,可求,得,二,面,角,A,EF,A,1,的正弦,值,.,以,点,C,1,为坐,标,原,点,，,C,1,D,1,、,C,1,B,1,、,C,1,C,所在,直,线,分,别为,x,、,y,、,z,轴,建,立如,下,图,所,示,的,空,间,直,角,坐标,系,C,1,xyz,，则,A,2,，,1,，,3,、,A,1,2,，,1,，,0,、,E,2,，,0,，,2,、,F,0,，,1,，,1,，,AE,0,，,1,，,1,，,AF,2,，,0,，,2,，,m,AF,0,m,AE,0,A,1,E,0,，,1,，,2,，,A,1,F,2,，,0,，,1,，,设,平面,AEF,的,法,向,量,为,m,x,1,，,y,1,，,z,1,，,由,，得,y,1,z,1,0,2,x,11,2,z,0,取,z,1,1,，得,x,1,y,1,1,，,则,m,1,，,1,，,1,，,设,平面,A,1,EF,的,法,向量,为,n,x,2,，,y,2,，,z,2,，,n,A,1,F,0,0,122,22,n,A,E,y,2,z,0,由,，,得,2,x,z,0,2,，取,z,22,2,，得,x,1,，,y,4,，,则,n,1,，,4,，,2,，,3,7,7,3,21,m,n,m,n,cos,m,，,n,7,7,，设,二,面角,A,EF,A,1,的,平,面,角,为,，则,cos,，,7,sin,1,cos,2,1,42,.,因,此,，,二,面角,A,EF,A,的,正,弦,值,为,7,42,.,9,/,14,1 1 1 1111112在长,【考,点,】,点,在,平,面,的,证,明,，利,用,空,间,向,量,法,求,解,二,面角,1,2525,x
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