线性代数行列式习题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012/10/27 Sat,#,线性代数,行列式,习题课,性质,1,：,行列式与它的转置行列式相等。,推论：,如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。,性质,2,：,互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论,2,：,若行列式中某一行,(,列,),的元素全为零，则此行,列式等于零。,性质,5,：,若行列式的某一行（列）的元素都是两数,之和,则,此行列式等于两个行列式之和。,性质,3,：,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同,一数,k,，等于用数,k,乘此行列式。,性质,4,：,若行列式中有两行,(,列,),成比例,则此行列式等于零。,推论,1,：,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可,以提到行列式符号的外边。,温故而知新：行列式的性质,性质,6,：,把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，,然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变,.,熟记行列式按行（列）展开定理,行列式的计算方法,*,用定义直接计算,*,用三角法计算,*,用降阶法和递推法计算,例,计算,分析：,能否利用主对角线的,1,，分别将其下方的,x,都消去？,后续步骤很难进行！,能否利用各列中的,x,，分别将其余的,x,都消去？,已经可以按第一列展开了，但后续步骤仍难进行！,技巧,能否再将尽量多的,1,消去？,此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已是简单的行列式了。,通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式,-,递推关系式，然后由递推关系式求解其值。,按第一列展开,递推法：,例,范德蒙（,Vandermonde,）行列式,证明思路：,用递推法结合数学归纳法；祥见教材第,18,页。,说明：,范德蒙（,Vandermonde,）行列式的结论是个重要结论，以后可以直接运用之；,高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家在练习中不断总结、积累经验。,第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否推广至四元、五元,乃至,n,元的线性方程组的求解？,一、问题的提出：,根据此模式可否推出,n,个未知数,n,个方程的线性方程组解的情形,?,2,、由三元线性方程组所作的讨论可知,若线性方程,组的系数行列式 则解可表示为,7,克拉默,(Cramer),法则,二、,含有,n,个未知量,n,个方程的线性方程组,(1),系数行列式记为,D,（略）,与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用,n,阶行列式表示,!,是,D,中第,j,列元素换成常数项所得,.,【,定理,1.4】,若线性方程组,(1),的系数行列式,则存在唯一解,.,即,证明思想：,用,D,中第,j,列的各元素的代数余子式,依次乘方程组,(1),的第,1,、,第,2,、,第,n,个方程,再将等式两端相加、整理，有：,用行列式展开法则可得到什么样的结论,?,即,例,1,解线性方程组,解,:,按 列展开,=27,利用公式,同理可求,:,印象,:,克拉默法则只适用于,包含,n,个未知量,n,个方程,并且系数,行列式不为零,的线性方程组,.,用克,拉默,法则求解线性方程组,在一般情况下,要计算,n,+1,个,n,阶行列式,计算量很大,.,关于齐次线性方程组的说明,:,当线性方程组右端的常数项 不全为,0,时,线性方程组,(1),叫做,非齐次线性方程组,.,(1),当线性方程组右端的常数项 全为,0,时,线性方程组,(2),叫做,齐次线性方程组,.,(2),一定是,(2),的解,这个解叫做齐次线性方程组,(2),的,零解,.,如果一组不全为零的数是,(2),的解,则这个解叫做齐次线性方程组,(2),的,非零解,.,方程组（,2,）一定有零解，但不一定有非零解！,【,定理,1.5】,若齐次线性方程组,(2),的系数行列式,则该齐次线性方程组,(2),没有非零解，即只有零解,.,等价命题,:,如果齐次线性方程组,(2),有非零解，则该齐次线性方程组的系数行列式必为零。,例,2,问,为何值时，齐次线性方程组,有非零解,?,分析,:,如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式,D,=0,。,由,D,=0,不难验证：将,2,，,5,，,8,代入齐次线性方程组确有非零解,例,3,已知三次曲线,通过四点,其中 互不相同，求该曲线的方程,解,:,将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于,的非齐次线性方程组。,系数行列式是范德蒙行列式，根据克拉默法则，可求得三次曲线方程的系数！,？,三,、问题与思考,1,、,如果线性方程组（,1,）无解或有多个不同 的解，则它的系数行列式一定为零吗？,2,、,定理（,1.5,）说明系数行列式,D,=0,是齐次线性方程组有非零解的必要条件，是否也是充分条件呢？,3,、在一般情况下，用法则求,n,元线性方程组要计算,n+1,个,n,阶行列式，计算量很大，可否有更简便的计算方法求解？,问题与思考答案,:,1,、如果线性方程组（,1,）无解或有多个不同的解，则它的系数行列式一定为零,.,此结论是克拉默法则的逆否定理。,2,、定理（,1.5,）说明系数行列式,D=0,是齐次线性方程组有非零解的必要条件，也是充分条件。,3,、在一般情况下，用法则求,n,元线性方程组要计算,n,+1,个,n,阶行列式，计算量很大，在第四章有更简便的计算方法。,四、,小结,克拉默法则,（未知数个数,=,方程个数,）,【1】,若线性方程组,(1),的系数行列式,则存在唯一解,.,【2】,若线性方程组,(1),无解或有多个不同的解，,则系数行列式,【3】,若齐次线性方程组,(2),的系数行列式,则存在唯一零解,.,【4】,若齐次线性方程组,(2),有非零解，,则系数行列式,五,、,练习题,1,、用克拉默法则解下列方程组,:,2,、问 为何值时,齐次线性方程组有非零解,?,3,、求一个二次多项式,f,(,x,),使,f,(1)=,-,1,f,(,-,1)=9,f,(2)=,-,3.,练习题答案,1,、,2,、,3,、,第一章 行列式,习题课,逆序数,奇偶排列,性质,1,、,2,、,3,n,阶行列式,性质,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,性质,7,克拉默法则,一、知识网络图,展开定理,推论,一、逆序数,2,、定理：,A,、对换改变排列的奇偶性。,1,、定义：排列的逆序总和称为该排列的逆序数。,C,、任意一个,n,级排列经过一系列对换,变成自然排列，并且所作对换次数的,奇偶性与这个排列的奇偶性相同。,B,、,N,级全排列中（,n,2,），奇偶各占一半,二、,n,阶行列式的定义,二、基本理论,性质,1,：,行列式与它的转置行列式相等。,推论：,如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零,性质,2,：,互换行列式的两行（列），行列式变号。,返回,性质,4,：,若行列式中某一行,(,列,),的元素全为零，则此行,列式等于零。,性质,3,：,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同,一数,k,，等于用数,K,乘此行列式。,推论,2,：,若行列式中有两行,(,列,),成比例,则此行列式,等于零。,推论,1,：,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可,以提到行列式符号的外边。,三、行列式的性质,性质,6,：,把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，,然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变,.,展开定理及推论：,1,、三角行列式（上三角、下三角、逆三角）,2,、,重要行列式,:,D=,3,、范德蒙行列式,四、克拉默法则,（未知数个数,=,方程个数,）,【1】,若线性方程组,(1),的系数行列式,则存在唯一解,.,【2】,若线性方程组,(1),无解或有多个不同的解，,则系数行列式,【3】,若齐次线性方程组,(2),的系数行列式,则存在唯一零解,.,【4】,若齐次线性方程组,(2),有非零解，,则系数行列式,三、行列式的计算,三角法：,根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。,降阶法：,利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。,递推法：,通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式,-,递推关系式，然后由递推关系式求解其值。,三种常用方法,定义法,展开式中,有几项含,x,3,？它们是哪几个元素的乘积？,例,1,解,:,分析,：,观察此行列式的特点，其中,3,特别多，而第三行,都是,3,，所以我们何不用第三行去减其它行呢，这样我们,就可以得到很多零，不妨一试。,例,2,计算,n,(,n,3),阶行列式,各行减第三行,各列减第三列,解,:,例,3,求 的值。,解：,技巧,:,当行列式的各列,(,行,),的所有元素之和相等时,可将各列,(,行,),的元素都加到第一列,(,行,),的元素上去,.,例,4,求 的值。,分析：,我们将行列式按第五列展开得,y,3,的系数即为原行列式的值，由范德蒙行列式我们也得到,y,3,的系数而两系数应对应相等,.,此行列式非常像我们的范德蒙行列式，但又少了点东西，,少了？,补上！,我们可以试试补成范德蒙行列式,解：,因为,由范德蒙行列式展开,按第,5,列展开,例,5,a,为何值时，方程组有非零解？,解,此方程组是否有非零解，取决于其系数行列式是否为,零,。而,？,所以当,a,=4,或,a,=3,或,a,=2,时，方程组有非零解。,范德蒙行列式！,证：,第一列乘以,100,，第二列乘以,10,都加到第三列，得：,由行列式的定义知，此行列式的每一项均含有,222,，,407,，,185,中的某一个数，,而由已知条件知,222,，,407,，,185,三个数都可以被,37,整除，,也可以被,37,整除,.,故行列式,:,已知,222,，,407,，,185,三个数都可以被,37,整除，不求行列,式的值，证明：,也可以被,37,整除,.,例,6,，其中,P27-8-6,本章重点是行列式的计算，有关行列式的计算方法,很多，咱们只学习了最基本的几种，但是这些方法,归结起来是源于行列式的,定义及性质,，只要我们理解,好定义及性质再加上大量的练习，我们就能掌握的很,好。,（注意方法的归纳）,四、小结,作业：,P28,、,10(1),，,11,，,12,及,CH1,大作业,下节内容：,CH2 1,、,2,请大家做好预习！,