合工大电磁场与电磁波第6章答案

第6章习题答案6-1在 匕=1、7=4、仃=0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是jiE(z,t) = Em sin( t - kz )3若已知f =150 MHz ,波在任意点的平均功率流密度为0.265 w/m2,试求:(1)该电磁波的波数 k =?相速v0 =?波长九=?波阻抗n = ? p(2) t =0, z = 0 的电场 E(0,0) =?(3)时间经过0.1八之后电场E(0,0)值在什么地方？(4)时间在t =0时刻之前0.1is,电场E(0,0)值在什么地方？2 二f斛：(1) k =8寸 N名=J 薪=2n (rad/m)c 、vp =c/ . ；r =1.5 108 (m/s)2 二 ，、=1 (m)kfp-n = 120n =60n (Q)；r.12126(2) Sav = -Em =| Em =0.265 10q220；0；rEm =1.00 101V/m)3E(Q0) =EmSin =8.66 10 (V/m) 3(3)往右移 z7. = v it =15 mp(4)在O点左边15 m处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是E =10ei20定ex +10 %j(A加ey 伏 / 米试求：(1)电磁波的传播方向？(2)电磁波的相速vp =?波长儿=?频率f =? p(3)磁场强度H =?(4)沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？解：(1)电磁波沿Z方向传播。(2)自由空间电磁波的相速 Vd=c=3 108m/s p=2- =2 =0.i(m)k 20 二cok = =20 二 c=20 二 c，f =10c = 3 109Hz2 二17 -4(20 Z 二)i20 7(3) H =1ez xE =2.65x10(e 2 ex +e20ey)(A/m)*1* E E- - 一 ii 八2、(4)Sav =2Re(EH ) = 2n ez=2.65xl0J11ez(w/m2)6-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在E =E0e*zez的均匀平面电磁波。证守E =jkE0ekZ #0,即不满足Maxwell方程不可能存在E =06*%2的均匀平面电磁波。6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m ,试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国 家标准，人暴露在微波下的限制量为10 2W/m2不超过6分钟，我国的暂彳T标准规定每8小时连续照射，不超过 3.8X 10 2w/m2） 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密 度为_E：1=2Sav =2.65父10 W/m2 377可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。6-5在自由空间中，有一波长为 12cm的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时， 其波长变为8cm,且此时，E = 31.41V / m , H | = 0.125A / m。求平面波的频率以及无损 耗媒质的二和r。解：因为九=%/，叫斗，所以 叫牛=（12/8）2 =9/4E 姆 叱E、2又因为 一 =120n JL，所以一 = =0.4443H 、年 ?1120叫）5=1,第=2.256-6若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度V运动，同时一个均匀平面波也沿V的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。解：设v沿z轴方向，均匀平面波电场为 E ,则磁场为1H =ez E0电荷受到的电场力为Fe = qE其中q为点电荷电量，受到的磁场力为Fm= qv B =qvez H - - q-v E - -qv E0/ec故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm _ VFeC6-7 一个频率为f =3GHz , ey方向极化的均匀平面波在 。=2.5,损耗角正切值为 102的非磁性媒质中，沿正 ex方向传播。(1)求波的振幅衰减一半时，传播的距离；(2)求媒质的波阻抗，波的相速和波长；(3)设在x =0处白E E =50sin 6n ：黑10、十ey ,写出H (x,t)的表示式。13；解：(1) tan =fl=10、，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为二10 10 2 二 3 1092.5=，J ； =8 = 0.4972、223 108因为 e& =1/2 ,所以 l =1n2=1.40mCt(2)对低损耗媒质，刈为4可1 = 126 /J25 =238.4 Q8相速 v - -1= 3 10 =1.90 108m/s一；.2.5波长 =v/f =0.0632(m) =6.32(cm)屋髀底=609 ?羡=99.33 108H (x,t) = 50e_0.5xsin(67： 109t - x 一)ez3_0 5x _ 一97L= 0.21esin 10 t _99.3x)ez (A/m)36-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数r =40(1 0.3j)。求：(1)微波传入牛排的穿透深度 6,在牛排内8mm处的微波场强是表面处的百分之几？(2)微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数r =1.03(1-j0.3x 10)。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。1后11LFcT2 J 2 ccccc CC C解：(1) d =- = 1|1+ I -1= 0.0208m = 20.8mma 8 氏切名)_8/20.8、-e= 68%(2)发泡聚苯乙烯的穿透深度3= 1.28 10 (m)2 3 1082 二 2.45 109 0.3 104 .1.03可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。6-9已知海水的灯=4S/m , f =10kHz的平面电磁波时，试求：哥=81,叱=1 ,在其中分别传播f = 100MHz或 :-? -?vp =？二？解：当 f1 =100MHz 时，=8.88当f2=10kHz 时，3=8.8父104 co故f2 = 10kHz时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式1 ,a & P & J 仍口仃2而f1 =100MHz时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。(1)当 f1=100MHz 时(二)2 一 1 = 37.5(Nep/m)ma.1 ()21 =42.0(rad/m)2 :； pl= 0.149 108 (m/s)一11 =Q149(m) . 1(2)当 f2=10kHz 时：2 ： , 1 k- -0.397,2：2 ： 0.397(Nep/m)-2 ： 0.397(rad/m)5，、p2 = -j- =1.58 10 (m/s)一 2= 15.8(m)6-10证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减54.54dB。证：在良导体中，豆定P,故儿=等=P a_2 tT|因为 E 二Eoe- = E0e-所以经过一个波长衰减-20lg = -20lg(e二)=54.57(dB)Eo6-11为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波 长，即d =2 二、式中6是穿透深度。试计算(1)收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。(2)电源变压器铁屏蔽罩的厚度。(3)若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？(铝：仃=3.72 M107S/m ,1=1,叫=1;铁：cr=107S/m,片=1,叱=104,f= 465kHz。)解:(1)铝屏蔽罩厚度为.3277 = 7.60 10“(m) =0.76(mm),2二 465 10 4二 103.72 10(2)铁屏蔽罩厚度为d =2二231.41 10 (m) =1.41(mm)2 二 50 4二 10104 107(3)d铁=2几21.47 10(m) =14.7(m)2 二 465 103 4 二 10，104 107d铝2冗q2冗父50M41r父1037 =7.33 101m) = 73(mm)3.72 107用铝屏蔽50Hz的电源变压器需屏蔽层厚 73mm,太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器 需屏蔽层厚14.7 Mm ,故可以选用作屏蔽材料。6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的证：设N股纱包中每小股线的半径为 单股线的半径为R ,则nR2二 单股线的高频电阻为Nnr2,即 RNrRi =二 2 二R、其中仃为电导率，6为趋肤深度。N股纱包线的高频电阻为二 2 二 rN、RnR 、NrR1rNrN6-13已知群速与相速的关系是vg=vp.:也d：式中P是相移常数，证明下式也成立vg=vpdvp d ,证：由 P =得 dB = 2nd() =2d九2 二vg =vp dvp)d,=vpdvp d 6-14判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1) E = jEiejkzex jEiejkzey(2) H =Hiekxey+Hze,kxe (HiH2#。)(3) E =E0e&ex -jEoe%y(4) E =e*z(Eoex +AEej%y) ( A为常数，中 #0,土兀)(5) H =(Emekyex jEme/)(6) E (z,t)= Em sin( t -kz)ex Em cos( t -kz)ey(7) E (z,t) = Em sin( t -kz )ex Em cos( t -kz - -)ey 44解：(1) z方向，直线极化。(2) +x方向，直线极化。(3) + z方向，右旋圆极化。(4) + z方向，椭圆极化。(5) +y方向，右旋圆极化。(6) + z方向，左旋圆极化。(7) + z方向，直线极化。6-15证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。证：设沿z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为8,则 E = E1(cos(tex +sin(tey)e-j=E1(ey)e,Nj-e-u e 2j_且/ j1. ji 、叫.且/ 刊.ji 、jz(e ex -je ey)e (e ex je ey)e 22=E右圆十七左圆6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。证：设沿z方向传播的圆极化波为71E (z,t) = Emcos( t -kz)ex Emcos( t -kz)ey则坡印廷矢量瞬时值S =E HezE ezEm2 cos2 i，. t - kz Emm cos2 t -kz=:InEmez6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：(1)如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？(2)如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化?(3)如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？解：(1)设 Ei =Eo(ex ijey)ejfte4kzE2 =E(ex -jey)ej 2ekz则 E =E1 E= Eo3 _jey)(ej 1 ej 2)ekz故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。(2)设匕=E。x+jey)ejq?emE2 =E(ex -jey)ej 1ekz贝 U E = E1 E2= 2Eexej 1ekz故合成波是线极化波。(3)设 E1 =E10(ex jey)ejtpe4kzE2 =E20(ex - jey)ej 1ekz则 E E2 =(E10E20)-jey)ej 1ejz故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场E = EeTkz( ex j e y)垂直入射到z = 0处的理想导体平面。试求：(1)反射波电场、磁场表达式；(2)合成波电场、磁场表达式；(3)合成波沿z方向传播的平均功率流密度。解：(1)根据边界条件(Ei Er) = 0故反射电场为Er =-E0(ex jey)ejzHr =1 (-e z) 乂 Er = E0ej 口(j exey) E =Ei +E r = -2jEoSin(Pz(ex+jey), ,1 l 12Eo ： ,H =ez Ei (-ez) Er =cosz(-jex ey)1,(3) Sa =Re(E MH)21 -2E0cos：Z/.=2 Re-2jE0Sin( Z)(exJey)(Jex ey)=06-19当均匀平面波由空气向理想介质( 叫=1,仃=0)垂直入射时，有 84%的入射 功率输入此介质，试求介质的相对介电常数5i2解：因为R = 2 - 11 .所以R 1；r 1又因为R =1 -84% =0.16,故 R =0.41 +0.49= =5.441-0.4；6-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，若媒质波阻抗“2n1 ,证明分界面处为电场波腹点；若 “2 ”1 ,则R A0 , R的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电 场波腹点；若 n1,则R1、& 1、。= 0 ）时，其布儒斯特角应满足下列关系而对于平行极化波则满足关系证：（1）tan2 %tan2 加(，- ；r)；r L -12cos% 1cos。R 二2COSM1COSrt当d=/时，R = 02COS-BCOS时由折射定律k1sin % = k2sin Ao .o .1, o可求出cos 工=1-sin ut =1-(sinuB).J,丁(1)(2)代入方程（1）得cos2 B =1 一 sin2B r2.(1 -sin2%) =1；rr - r-sin2%rsin21cos2 -Btan2 %-1L 1r ；rr；r -1Hr -；r)；，r -1r(r 一r)2 -1r(2)1cos-2costR =(3)1c0sli2 cos ?t1cos2cosUtsin 苑=J-r% sin -(2) (3)式联立RTcosQB = I cos6t,vr与垂直极化相比较， ，与；r互换tan2% , ；(一r)；rr -16-30设z 0区域中理想介质参数为得2 =9、匕2 =1。若入射波的电场强度为E =e6 z (ex e、- . 3ez)试求：(1)平面波的频率；(2)反射角和折射角；(3)反射波和折射波。解：(1)入射面为xz面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即j6( .3x z)Ei _ = ee y16(.73x z)Ei| - e(ex _ 3ez)已知 k (xsin Q + zcosQ)= 6(V3x + z 腐k1 =12f =-k= = 287MHz2二1 ；i -3sin -i =2=60 = r,sinik23 r由i-=可得sink121 - .osin -t _ ?t = 35.3 , k2 = 183cos-i -；2 / ；1 -sin2 WR i21J = 0.420(3)-cos“ 一 .1 % / 1 -sin2-i=0.5802 cos 入cos i -三2 / ；1 - sin 2 X（；2 / 1） cos-i - 、 ；2 / ；1 - sin/R| = 2i一:= 0.0425（；2 / ；1）cos，.；2 / ；1 -sin2 入2 ；2 / ；1 cosT|匚-0.638（；2 / ；1） cos一:二2 / ；1 - sin -i因此，反射波的电场强度为Er =E+E川，其中E r =-0.420e6( eyEr| 二0.0425e6(.飞x/)( -ex -ez . 3)折射波的电场强度为Et =Et_L +Et1 ,其中= 1.276x 28（F 3z）Et_ = 0.580e33 ey，呜榜)Et| 二0.638f8（3塔z）Ne2m o6-31当一个f = 300 MHz的均匀平面波在电子密度N = 1014 1/米3并有恒定磁场B0=5M10 3ez特斯拉的等离子体内传播，试求(1)该等离子体的张量介电常数 .=?(2)如果这个均匀平面波是往 z方向传播的右旋圆极化波，其相速 丫口 p(3)如果这个波是往z方向传播的左旋圆极化波，其相速 Vd =?p1 j G 0 1解：（1）wr = j821000%-9 214_17-3.177 1017（1.6 10 ）10_31 _ _12.491.6 10-319.1 105 10、=8.79 1089.1 108.854 102- -p；i =1 2 =0.866g2P g=-0.0532p；3 =1 - T =0.9100.866- j0.0530备=j0.0530.8660_ 000.91(2)3 108,0.866-0.053= 3.33x108 (m/s)3 108.0.866 0.053= 3.13x108 (m/s)6-32在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆极化波同时向z方向传播，一个右旋圆极化E 1 = Eme-j /(ex - jey)另一个是左旋圆极化E 2 = Eme j _2z (ex - jey)式中国 A网 ,试求(1) Z =0处合成电场的方向和极化形式。(2) Z = l处合成电成的方向和极化形式。解：(1) E= E1+ E2= 2Emex合成场指向ex方向，是线极化波。(3) E = E1 + E2j(e2Z-e1Z)ey-j 2z-j 2 -z j 2 -：1ze 2)exj(e 2-e 2)ey= Em(ez+e-%exj 1 . 2 z j -2 - 1 z= Eme 2 (e 2z%一1= 2EmecoS(z)exsin(z)ey电场两分量相位差等于零 合成场是线极化波p2 扎sin( 2 2 1 z)二 tan一、cos(2一 z)，：2 一 ：1故当z = i时合成电场与x轴夹角为e =一-i26-33设在z20的半空间是电子密度为N = 1014 1/米3的等离子体，并有恒定磁场B o =5M102ez特斯拉，在z0半空间为真空。有一频率为300MHz的正圆极化波沿正 z方 向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为（备+% ）的介质，其中旗、在与6-31题相同，故2 22.；1；22.0.866 -0.053T = = 94.8%2 - 11. ；1；21.0.866 -0.0536-34我们知道，当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时，将产生极化面连续偏转的法拉第旋转效应。若已知 7 =1及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是0.8 -j0.5 0W=j0.50.80-01_平面波在自由空间的相位常数是P。=2n rad/m,其磁场强度在 z = 0处是H =2H。ex。试问(1)该铁氧体中任一点的 H =?(2)在z =0.2m处H与x轴的夹角日=?(3)该平面波在铁氧体中的传播速度Vd =?p解：(1) H可分解成正负圆极化波向前传播H .二6-jey)H0e- ：zH_ =缸 jey)HoeT -式中0.二丁 =飞二口2)=2二.,0.3B-0 ； ；一 ：0r(1 -)=2二.1.34M zp_-p+p_-p+H =H+H_=2H0e 2 (coszex +sinze v)一22y= 2H0eT5.3z Cos(1.86z)ex sin(1.86z)ey 1e 口 P -P+2n(d.3 f 0.3) vo8=1 = M0.2=0.372(rad)=21.322(3)“0c2cvp-P-TTK - A3+很1-18c226-35 一个频率f =3GHz、磁场强度是 H =H0e邛(ex +jey)的平面电磁波，在沿波的 传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播，磁导率是1.2-j0.3 0W=j0.31.20001相对介电常数备=16。试求(1)电磁波在该铁氧体中的相速vp =?波长儿=?p(2)波阻抗n =?电场强度e =?解：(1)因为H是一个左旋圆极化波Vp= ： =7-7= =一c=6.1210 7(m/s)Pp0.山斗J16MJ1.2 + 0.3Vp ,一，、p =2.04 101m) =2.04(cm)。后八。J12 =115.4(Q)_1E = v Hj ；二；H ez= 115.4HoeT308z(jex -ey)-=308(rad/m)2.04 106-36无界均匀铁氧体由恒定磁场B0 = B0ez饱和磁化，磁导率是0.8 -j0.5 0Nr=j0.50.80001相对介电常数1=16。试问(1)磁场是H = Hoe-jaez的平面波在其中传播的相速Vp =?(2)电场是e uEoeez的平面波在其中传播的相速Vp =?解：传播方向垂直磁化方向，是横向波(1)因为H沿y方向传播，只有ez分量 所以是寻常波，故相速为vp =c/二J =0.75 108(m/s)(2)因为平面波向y方向传播，且 Ez #0,所以是非寻常波，故相速为160.82 -0.520.8= 1.07 1 08(m/s)