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第1节任意角的三角函数一、课题：任意角的三角函数二、教学目标：1掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示， 2掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式三、教学重点：与角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用四、教学过程：（一）主要知识：1角的概念的推广；象限角、轴线角；与角终边相同的角为； 2角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式、扇形面积公式；3任意角的三角函数（二）主要方法：1本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法.另外还需掌握和运用一些基本结论 （三）例题分析：例1若，且， 则 （ ） 例2（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？（2）如果是第二象限的角，判断的符号解：（1），当时，是第一象限的角，当时，是第二象限的角，当时，是第三象限的角是第一，二，三象限的角（2）是第二象限的角，例3已知锐角终边上的一点坐标是，则 （ ） 例4扇形的中心角为，半径为 ，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？解：设圆及与圆的半径分别为，则，得，令，当，即时，圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为（四）巩固练习：1设，如果且，则的取值范围是 （ ） 2已知的终边经过点，且 ，则的取值范围是3若，则 （ ） 五、课后作业第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式 二、教学目标：1掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进行求值、化简与证明 三、教学重难点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取四、教学过程：（一）主要知识：1同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：；（2）商数关系：；（3）平方关系： 2诱导公式，奇变偶不变，符号看象限（二）主要方法：1利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，弦切互化是常用的方法； 2学会利用方程的思想解三角题，对于三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值 （三）例题分析：例1化简分析：切化弦是解本题的出发点 解：原式例2化简（1）；（2）已知，求的值解：（1）原式（2），例3（1） 若，求值；（2）求值解：（1）原式，原式（2）又原式例4已知是方程的两个根，求角解：，代入，得，又，又， （四）巩固练习：1若， （ ） 2已知，则 五、课后作业第3节 两角和与差的三角函数一、课题：两角和与差的三角函数二、教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角函数式化简，求值证明等有关运算问题三、教学重点：公式的灵活运用四、教学过程：（一）主要知识：1两角和与差的三角函数公式；二倍角公式； 2降次公式：，（二）主要方法：1寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式； 2三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3掌握基本技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角等 （三）例题分析：例1已知， ，求的值 解：，又，又 ，例2已知为一三角形的內角，求的取值范围解：为一三角形內角，的取值范围是例3求值： 解：原式例4是否存在两个锐角满足（1）；（2）同时成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：由（1）得，或（，舍去），为所求满足条件的两个锐角（四）巩固练习：1化简等于 （ ） 2已知，则 3在中，则 五、课后作业：第4节三角函数的求值一、课题：三角函数的求值二、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值三、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用四、教学过程：（一）主要知识：三角函数求值问题一般有三种基本类型：1给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值； 2给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角（二）主要方法：1寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3一些常规技巧：“1”的代换、弦切互化、和积互化、异角化同角等 （三）例题分析：例1已知，（），则（ ） 或 略解：由得或（舍），例2已知，是第三象限角，求的值 解：是第三象限角，（），是第四象限角，原式例3已知，求的值解：由题意，原式例4已知，求的值解：，得，若，则，若，无意义说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，等，解题过程中应充分利用这种变形例5已知关于的方程的两根为，求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值 解：（1）由根与系数的关系，得，原式（2）由平方得：，即，故（3）当，解得，或，或（四）巩固练习：1若，则（ ）2（ ）24816五、课后作业第5节三角函数的化简与证明一、课题：三角函数式的化简与证明二、教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明三、教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明四、教学过程：（一）主要知识：1三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：所含函数和角的名类或种类最少；各项的次数尽可能地低；出现的项数最少；一般应使分母和根号不含三角函数式；对能求出具体数值的，要求出值2三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整（二）主要方法：1三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊值与特殊角的三角函数互化2三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等（三）例题分析：例1化简：（1）；（2）；（3）解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 ，原式例3证明：（1）；（2）证：（1）左边 右边，得证说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式（2）左边右边，得证（四）巩固练习：1 （ ）2已知，当时，式子可化简为（ ） 3 1 五、课后作业：第5节三角函数的图象一、课题：三角函数的图象二、教学目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理三、教学重点：函数的图象到函数的图象的变换方法四、教学过程：（一）主要知识：1三角函数线：正弦线、余弦线、正切线的作法；2函数的图象到函数的图象的两种主要途径（二）主要方法：1“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定（三）例题分析：例1（1）将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（ ） （2）若函数图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位，向下平移3个单位，恰好得到的图象，则（3）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为例2已知函数（），该函数的图象可由（）的图象经过怎样的变换得到？解： 由的图象向左平移个单位得图象，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的得图象，再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得图象，最后将所得图象向上平移个单位得的图象说明：（1）本题的关键在于化简得到的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移个单位了例3函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）以上都不对略解：平移后解析式为，图象关于对称，（），（），当时，的最小值为例4已知函数（）的一段图象如下图所示，求函数的解析式解：由图得，20，又图象经过点，（），函数解析式为（四）巩固练习：1如果函数的图象关于直线对称，则；2若函数（）的最小值为，周期为，且它的图象过点，求此函数解析式（或）五、课后作业：第6节三角函数的性质（一）一、课题：三角函数的性质（一）二、教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期三、教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提四、教学过程：（一）主要知识：三角函数的定义域、值域及周期如下表：函数定义域值域周期（二）主要方法：1求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；2求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域；化为求的值域；化为关于（或）的二次函数式；3三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）（三）例题分析：例1求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得，的定义域为（2），即的定义域为（3）由已知，得，原函数的定义域为例2求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）解：由题意，时，但，原函数的值域为（2），又，函数的值域为（3）由得，这里，解得，原函数的值域为例3求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）解：（1），周期（2），故周期（3），故周期例4若，试求：的值解：的周期为12，而，原式（四）巩固练习：1函数的定义域为2函数的最小正周期为五、课后作业：第7节三角函数的性质（二）一、课题：三角函数的性质（二）二、教学目标：掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题三、教学重点：三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用四、教学过程：（一）主要知识：三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间奇在上增在减偶在上增在减奇在上增（二）主要方法：1三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；2函数的单调区间的确定，基本思路是把看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小（三）例题分析：例1判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）解：(1)的定义域为，定义域关于原点对称，又，为偶函数（2）的定义域为不关于原点对称，为非奇非偶函数例2比较下列各组中两个值的大小：（1），；（2），解：（1），又及在内是减函数，可得（2），而在上递增，例3求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）解：（1），周期（2），故周期（3），故周期例4若，试求：的值解：的周期为12，而，原式例5设定义域为的奇函数是减函数，若当时，求的值解：是奇函数，原不等式可化为，即是减函数，即，当即时，成立；当时，即成立；当时，即综上所述，的取值范围是巩固练习：1 函数的最小正周期为2函数在它的定义域内是增函数；若、是第一象限角，且，则；函数一定是奇函数；函数的最小正周期为上列四个命题中，正确的命题是（ ） 、 、3若，则（ ） 4函数的单调递减区间是五、课后作业：第8节三角函数的最值一、课题：三角函数的最值二、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题三、教学重点：求三角函数的最值四、教学过程：（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；，引入辅助角，化为求解方法同类型；，设，化为二次函数在上的最值求之；，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”（二）主要方法：配方法；化为一个角的三角函数；数形结合法；换元法；基本不等式法（三）例题分析：例1求函数的最大值和最小值解：当，当，例2求函数的最大、最小值解：原函数可化为：，令，则，函数在上为减函数，当时，即时，；当时，即时，例3求下列各式的最值：（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，求函数的最小值解：（1），当且仅当时等号成立故（2）设，则原函数可化为，在上为减函数，当时，巩固练习：1若方程有解，则2函数的最小正周期为3函数的定义域为五、课后作业：第9节平面向量的坐标运算一、课题：平面向量的坐标运算二、教学目标：1了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.三、教学重点：向量的坐标运算四、教学过程：（一）主要知识：1平面向量坐标的概念； 2用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；3会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题（二）主要方法：1建立坐标系解决问题（数形结合）； 2向量位置关系与平面几何量位置关系的区别；3认清向量的方向求坐标值得注意的问题；（三）基础训练：1若向量,则（ ） 2设四点坐标依次是，则四边形为（ ）正方形 矩形 菱形 平行四边形3下列各组向量，共线的是（ ） 4已知点,且有,则 。5已知点和向量=,若=3,则点B的坐标为 。6设,且有,则锐角 。（四）例题分析：例1已知向量，且，求实数的值。解：因为，所以，又因为所以，即解得例2已知 （1）求； （2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？.解：（1）因为所以则（2），因为与平行所以即得此时，则，即此时向量与方向相反。例3已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标.解：设，则因为是与的交点所以在直线上，也在直线上即得由点得，得方程组解之得故直线与的交点的坐标为。例4已知点及,试问:（1）当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?（2）四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由.解：（1），则若在轴上，则，所以；若在轴上，则，所以；若在第三象限，则，所以。（2）因为若是平行四边形，则所以此方程组五解；故四边形不可能是平行四边形。五、课后作业：1且，则锐角为（ ） 2已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中 （ ） 2 23已知向量且，则= （ ） (A) (B) (C) (D)4在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是 （ ） 5平面内有三点，且，则的值是（ ）1 5 6三点共线的充要条件是 （ ） 7如果,是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） 若实数使，则 空间任一向量可以表示为，这里是实数 对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有无数对8已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ _.9已知，则与平行的单位向量的坐标为 。10已知，求，并以为基底来表示。11向量,当为何值时，三点共线？12已知平行四边形中，点的坐标分别是，点在椭圆上移动，求点的轨迹方程.第10节平面向量的坐标运算一、课题：平面向量的数量积二、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用三、教学重点：平面向量数量积及其应用四、教学过程：（一）主要知识：1平面向量数量积的概念； 2平面向量数量积的性质：、；3向量垂直的充要条件：（二）主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决 （三）基础训练：1.下列命题中是正确的有 设向量与不共线，若，则； ；，则； 若，则2已知为非零的平面向量. 甲：（ ）甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3已知向量，如果向量与垂直，则的值为 （ ） 24平面向量中，已知，且，则向量_ _ _.5已知|=|=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。6设向量满足，则 。7已知向量的方向相同，且，则_ _。8已知向量和的夹角是120，且，则= 。 （四）例题分析：例1已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：；（2）若，求的取值范围.解：（1） ，且、之间的夹角均为120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或例2已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，求的坐标；（2）若|=且与垂直，求与的夹角.解：（1）设，由和可得： 或 ，或 （2） 即 ， 所以 . 例3设两个向量、，满足，、的夹角为60，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.解：， 设 时，与的夹角为， 的取值范围是。例4如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.解法一： 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则且设点的坐标为，则， 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。五、课后作业：1已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）16，04，02平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为：（ ） 3已知向量，那么的值是（ ） 14在中，的面积是，若，则（ ） 5已知为原点，点的坐标分别为，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为 （ ） 6设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于 （ ）24 87.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）； 不与垂直中，是真命题的有 ( )（A）（B） （C） （D）8设为平面上四个点，且，=，则_。9若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”依此规定， 能说明，“线性相关”的实数依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）10向量都是非零向量，且，求向量与的夹角.11已知向量， 。（1）当，求；（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围。12设, ,，与轴正半轴的夹角为,与轴正半轴的夹角为，且,求第11节线段的定比分点及平移一、复习目标：1掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和，会用中点坐标公式解决对称问题；2掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式二、知识要点：1线段的定比分点：内分点、外分点、的确定；2定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式 ；3平移公式是 三、课前预习：1若点分的比为，则点分的比是 2把函数的图象，按向量平移后，图象的解析式是（ ） 3将函数顶点按向量平移后得到点，则 4中三边中点分别是，则的重心是 四例题分析：例1已知两点，点在直线上，且，求点和点的坐标例2已知，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标例3已知函数 的图象经过按平移后使得抛物线顶点在轴上，且在轴上截得的弦长为，求平移后函数解析式和 例4已知分比是的三边上的点，且使，证明：与的重心相同五、课后作业： 1已知点按向量平移后得到点，则点按向量平移后的坐标是（ ） 2平面上有，三点，点在直线上，且，连并延长到，使，则点的坐标为 （ ） 或 3平移曲线使曲线上的点变为，这时曲线方程为 （ ） 4把一个函数的图象向量平移后图象的解析式为，则原来函数图象的解析式为 5已知函数，按向量平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量= ，化简后的函数式为 6已知，为坐标原点，若，则点的轨迹方程为 7已知三角形的三个顶点为，（1）求三边的长； （2）求边上的中线的长；（3）求重心的坐标；（4）求的平分线的长； （5）在上取一点，使过且平行于的直线把的面积分成的两部分，求点的坐标8如图已知三点，点内分的比是，在上，且的面积是面积的一半，求点的坐标9将函数的图象进行怎样的平移，才能使平移后得到的图象与函数的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式第12节解斜三角形一、复习目标：1理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；2能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式，解决三角形中的计算和证明问题二、知识要点：1三角形中角的关系是：；2正弦定理是 ，余弦定理是 ；3三角形面积公式为 三、课前预习：1在中，下列等式总能成立的是（ ） 2已知是三边的长，若满足等式，则角的大小为（ ） 3在中，则的面积为 4在中，已知，则解此三角形的结果有（ ）无解一解两解一解或两解5在中，若且，则是 四、例题分析：例1已知圆内接四边形的边长分别是，求四边形的面积例2 在中，且，试确定的形状例3在中，分别为角的对边，已知的面积为，且求的值例4圆的半径为，其内接的三边所对的角为，若，求面积的最大值 五、课后作业： 1在中，“”是“”的 （ ）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件即不充分又不必要条件2三角形的两边之差为，夹角的余弦为，这个三角形的面积为，那么这两边分别（ ）3在中，如果，则的大小为（ ） 或 或4已知的两边长分别为，其夹角的余弦为，则其外接圆半径为 5在中，满足，则三角形的形状是 6在中，则= 7在中，已知且,则这个三角形的边的长为 8中，内角成等差数列，边长，求及面积9.中，角的对边，证明：10半圆的直径为2，为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边向半圆外作正三角形，问在什么位置，四边形的面积最大？并求出最大面积42
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