概率论边缘分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率与统计,边缘分布与独立性,F,Y,(y)F(+,y)PY,y,称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.,2.5.边缘分布与独立性,一、边缘分布函数,F,X,(x)F(x,+,)PX,x,称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个,(某些),低维分量的分布,。,例1,.已知(X,Y)的分布函数为,求F,X,(x)与F,Y,(y),。,二、边缘分布律,若随机变量X,与Y的联合分布律为(p80),(X,Y)PXx,i,Y y,j,p,ij，,i,j1,2,则称,PXx,i,p,i,.,，i1,2,为(X,Y)关于X,的,边缘分布律,；,PY y,j,p,.,j,，j1,2,为(X,Y)关于Y,的边缘分布律。,边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例2,.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。,xy10,11/103/10,0 3/10 3/10,解：,xy10p,i.,11/103/10,03/103/10,p,.j,故关于X和Y的分布律分别为：,X10Y10,P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为(X,Y)关于Y的,边缘密度函数,。,设(X,Y)f(x,y),(x,y),R,2,则称,为(X,Y)关于X的,边缘密度函数,；,同理，称,易知N(,1,2,1,2,2,2,),的边缘密度函数f,X,(x),是N(,1,1,2,),的密度函数，而f,Y,(y),是N(,2,2,2,),的密度函数，故,二维正态分布的边缘分布也是正态分布,。,例3.,设(X,Y),的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:,(1)由归一性,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，,求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX1,设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,EX2,四、随机变量的相互独立性,定义,称随机变量,X与Y独立,，如果对任意实数ab,cd，有,paX,b,cY,d=paX,bpcY,d 即事件aX,b与事件cY,d独立，则称随机变量X与Y独立。,定理,：随机变量,X与Y独立的充分必要条件,是,F(x,y)=F,X,(x)F,Y,(y),定理:,设(X,Y)是二维,连续型,随机变量，X与Y,独立的充分必要条件,是,f(x,y)=f,X,(x)f,Y,(y),定理,.设(X,Y)是二维,离散型,随机变量，其分布律为P,i,j,=PX=x,i,Y=y,j,i,j=1,2,.，则X与Y,独立的充分必要条件,是对任意i,j，,P,i,j,=P,i,.,P,j,。,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立,例4,.已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。,解:由归一性,由独立性,例5,.甲乙约定8:00,9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率,。,解:,定义,.设n维随机变量(X,1,X,2,.,X,n,)的分布函数为F(x,1,x,2,.,x,n,),(X,1,X,2,.,X,n,)的k（1,kn)维边缘,分布函数就随之确定，如关于,(X,1,X,2,）的,边缘分布函数是,F,X,1,X,2,（x,1,x,2,)=F(x,1,x,2,.),若X,k,的边缘分布函数为F,Xk,(x,k,),k=1,2,n,五n维随机变量的边缘分布与独立性,则称X,1,X,2,.X,n,相互独立，或称(X,1,X,2,.X,n,)是独立的。,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数,i,1,i,2,i,n,及实数 有,则称离散型随机变量X,1,X,2,X,n,相互独立,。,设X,1,，X,2,，X,n,为n 个连续型随机变量，若对任意的(x,1,x,2,x,n,),R,n,，,f(x,1,x,2,x,n,)f,X,1,(x,1,)f,X,2,(x,2,)f,X,n,(x,n,),几乎处处成立，则称X,1,，X,2,，X,n,相互独立。,定义,设n维随机变量(X,1,X,2,.X,n,)的分布函数为F,X,(x,1,x,2,.x,n,)；m维随机变量(Y,1,Y,2,Y,m,)的,分布函数为F,Y,(y,1,y,2,y,m,),X,1,X,2,.X,n,Y,1,Y,2,Y,m,组成的n+m维随机变量（X,1,X,2,.X,n,Y,1,Y,2,Y,m,),的分布函数为F（x,1,x,2,.x,n,y,1,y,2,y,m,).,如果,F（x,1,x,2,.x,n,y,1,y,2,y,m,),=F,X,(x,1,x,2,.x,n,)F,Y,(y,1,y,2,y,m,),则称n维随机变量(X,1,X,2,.X,n,)与m维随机,变量(Y,1,Y,2,Y,m,)独立。,定理,设(X,1,X,2,X,n,)与(Y,1,Y,2,，Y,m,)相互独立，则X,i,(i=1,2,n)与Y,i,(i=1,2,m)相互独立；又若h,g,是连续函数，则,h(X,1,X,2,X,n,),与g(Y,1,Y,2,，Y,m,)相互独立.,2.7(续)两个随机变量函数的分布,一、,二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y），,(X,Y)P(Xx,i,Yy,j,)p,ij,，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZz,k,p,k,k1,2,(X,Y),(x,1,y,1,),(x,1,y,2,),(x,i,y,j,),p,ij,p,11,p,12,p,ij,Z=g(X,Y),g(x,1,y,1,),g(x,1,y,2,),g(x,i,y,j,),或,EX,设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为,X,0,1,P q p,(1),求WXY的分布律;,(2)求Vmax(X,Y)的分布律；,(3)求Umin(X,Y)的分布律。,(4)求w与V的联合分布律。,(X,Y),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),p,ij,WXY,Vmax(X,Y),Umin(X,Y),0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,