4实数与向量的积(教育精

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的数乘运算,a,B,a,C,a,A,O,-a,P,Q,-a,M,-a,N,相同向量相加以后，,和的长度与方向有什么变化？,并说明它们的几何意义？,探索,:,（,1,）,一般地，我们规定实数,与向量 的积是一个向量，这种运算叫做,向量的数乘,，记作 ，它的长度和方向规定如下,：,（,2,）当 时，的方向与 的方向相同；,当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,a,是一个向量；,a,的长度等于的绝对值与向量,a,的长度的乘积。,=,探索,2:,(1),根据定义，求作向量,3(2,a,),和,(6,a,),(,a,为非零向量,),，并进行比较。,(2),已知向量,a,b,，,求作向量,2(,a+b,),和,2,a+,2,b,，,并进行比较。,设 为实数，那么,特别的，我们有,第一分配律,第二分配律,向量的加、减、数乘运算统称为,向量的线形运算,.,对于任意向量 ，以及任意实数 ，,恒有,例,1.,计算：,思考,:,问题,2,：如果,向量,a,与,b,共线,那么，,b=,a,？,问题,1,：如果,b=,a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,对于向量,a(a0),b,，,以及实数,定理：,向量,与,非零,向量,共线,的,充要条件,是有且只有一个实数,，,使得,=,练习,如图：已知 ，试判断 与 是否共线,A,B,D,E,C,与 共线,解：,、已知非零向量,e,1,与,e,2,不共线？,理论迁移,2,b,3,b,a,b,O,例,1,如图，已知任意两个非零向量,a,，,b,，,试作,OA=,a,b,，,OB=,a,2,b,，,OC=,a,3,b,.,你能判断,A,、,B,、,C,三点之间的位置关系吗？为什么？,A,B,C,a,b,例,2:,如图，在平行四边形,ABCD,中，,M,是,AB,的,中点，点,N,是,BD,上的一点，,求证,M,、,N,、,C,三点共线,.,A,M,B,C,D,N,提示：设,AB =,a,BC =,b,则MN=,a+,b,MC=,a+,b,所以,M.N.C,三点共线,二、定理的应用：,1.,证明 向量共线,2.,证明 三点共线,:AB=,BC A,B,C,三点共线,3.,证明 两直线平行,:,AB=,CD ABCD,AB,与,CD,不在同一直线上,直线,AB,直线,CD,一、,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量,a,与,b,共线,评注,:,三点共线的逆用,