圆中常用辅助线的作法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆的常用辅助线及作法,尝试练习一,尝试练习二,数学歌诀,作法及应用,弦心距,直径,圆周角,切线径,两圆相切公切线,中点圆心线,两圆相交公共弦,尝试练习,圆的常用辅助线及作法,常用思想,圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键,。,一、添设圆的辅助线的常用思想,添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。,弦与弦心距，亲密紧相连。,中点与圆心，连线要领先。,两个相交圆，不离公共弦。,两个相切圆，常作公切线。,圆与圆之间，注意连心线。,遇直径想直角，遇切点作半径。,圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”,二、常用辅助线作法的应用,在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。,2.1,、弦心距,-,有弦，可作弦心距。,例,1,、如图，已知，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D,两点。求证：,AC=BD,。,由垂径 定理得：,AE=EB,，,CE=DE,证明：过,O,作,OE AB,，,垂足为,E,。,E,即：,AC=BD,AE-CE=BE-DE,在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。,2.2,、直径圆周角,-,有直径，可作直径上的圆周角,.,例,2,、已知：,MN,切,O,于,A,点，,PC,是直径，,PB MN,于,B,点，求证：,分析,：,证明：连结,AC,、,AP,PC,是,O,的直径,CAP=90,PB MN PBA=90,CAP =PBA,MN,是,0,的切线,BAP=ACP,在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。,2.3,、切线径,-,有切点，可作过切点的半径。,例,3,、如图，,AB,、,AC,与,O,相切有与,B,、,C,点，,A=50,，点,P,优弧,BC,的一个动点，求,BPC,的度数。,BOC=360-A -ABO-ACO,=360-50-90-90,=130,解：连结,OB,、,OC,，,AB,、,AC,是,O,的切线,ABOB，ACOC，,在四边形,ABOC,中，,A=50,BPC=65,ABO=ACO=90,在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。,2.4,、两圆相交公共弦,-,两圆相交，可作公共弦。,例,4,、如图，已知：,O,和,O,相交于,A,、,B,两点，过,A,点的直线,CD,分别交,O,和,O,于,C,、,D,；过,B,点的直线,EF,分别交,O,和,O,于,E,、,F,。,求证：,CEDF,。,CEDF,1,2,2,2,1,1,2,1,证明：连结,AB,四边形,ACEB,是,O,的内接四边形,DAB =E,四边形,ABFD,是,O,的内接四边形,DAB+F=180,E +F =180,在解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。,2.5,、两圆相切公切线,-,两圆相切，可作公切线,.,例,5,、如图，已知两圆外切于,T,点。过,T,的直线,AB,、,CD,分别交,O,和,O,于,A,、,C,和,B,、,D,。,求证：,ACBD,。,M,N,证明：过,T,点作两圆的内公切线,MN,1,2,1,2,在,O,中，,A=CTN,在,O,中，,B=DTM,又,CTN =DTM,A=B,ACBD,在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。,2.6,、中点圆心线,-,有中点和圆心，可连结中点与圆心。,例,6,、如图，已知,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,M,、,N,分别是,AB,、,CD,的中点，并且,AMN =CNM,。,求证：,AB=CD,。,即：,AB=CD,证明：连结,OM,、,ON,M,、,N,分别是,AB,、,CD,的中点,OMAB，ONCD,AMO=CNO =90,又,AMN =CNM,OMN =ONM,OM =ON,三、尝试练习一,1,、如图，点,O,是,EPF,的平分线上的一点，以,O,为圆心的圆与角的两边分别交于,A,、,B,和,C,、,D,点。求证：（,1,）、,AB =CD,（,2,）、,PB=PD,。,PO,平分,BPA,，,OM=ON,AB=CD,。,（,1,）、证明：过,O,作,OMAB,，,ONCD,，,垂足为,M,、,N,。,M,N,三、尝试练习一,1,、如图，点,O,是,EPF,的平分线上的一点，以,O,为圆心的圆与角的两边分别交于,A,、,B,和,C,、,D,点。求证：（,1,）、,AB =CD,（,2,）、,PB=PD,。,（,2,）、,AB=CD,，,OMAB,，,ONCD,AM=MB=CN=ND,又,OM=ON,，,RtPMORtPNO,PM=PN,PM+MB=PN+ND,即：,PB=PD,2,、如图，以,RtABC,的直角边,AC,为直径作,O,交斜边,AB,于,P,，过,B,、,P,任意作一个圆，过,A,作所作圆的切线,AD,，,切点为,D,。,求证：,即：,AD=AC,AC,是,O,的直径，,APC=90,ACB=90,，,APCACB,又,AD,是大,的切线,证明：连结,CP,，,3,、如图，在,O,中，半径,OAOB,垂足为,O,，,P,是,OB,上任意一点，,AP,交,O,于,Q,，过,Q,点的切线交,OB,的延长线于,C,。,求证：,CP=CQ,。,QC,是,O,的切线，,OQC=90,OA=OQ,，,OAQ=OQA,又,OAOB,，,APO=90-OAP,CQP=90-OQA,APO=CQP,CQP=CPQ,，,CP=CQ,。,证明：连结,OQ,四、尝试练习二,1,、如图，两圆相交于,A,、,B,两点。过一个圆上的点,P,作射线,PA,和,PB,，,分别交于另外一个圆于点,C,和点,D,，,再作切线,PT,。,求证：,PTCD,。,PT,是小,的切线，,TPA=ABP,ABDC,是大,的内接四边形，,ABP=C,TPA=C,即：,PTCD,。,证明：连结,AB,2,、如图，已知：,O1,和,O2,外切于点,A,，,BC,是,O1,和,O2,的公切线，,B,、,C,为切点。求证：,ABAC,。,由切线长定理得：,BP=PA,，,PA=PC,PA=BP=PC =,证明：过点,A,作两圆的公切线交,BC,于点,P,，,ABAC,3,、已知、,AB,是,O,的直径，,AC,是,O,的切线，切点为,A,，,BC,交,O,于点,D,，,E,是,AC,的中点。求证：,ED,是,O,的切线。,OE,是,ABC,的的中位线,OEBC,AOE=B,，,EOD=ODB,OB=OD,，,B =ODB,AOE=EOD,又,AC,是,O,的切线，,OAE=90,OD=OA,AOE=EOD,OE=OE,EAO EDO,EDO=EAO=90,即：,ED,是,O,的切线。,证明：连结,OD,，,OE,谢谢！,