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,广东省近年中考命题分析,考点梳理,速记速填,考点例析,疑难突破,广东,3,年中考真题,考点过关,当堂演练,第二十二讲锐角三角函数及解直角三角形,广东省近年中考命题分析,考点梳理,速记速填,1.,锐角三角函数的概念,在,RtABC,中,C=90,以,A,为例,填表,:,2.,特殊角,(30,45,60,),的三角函数值,3.,解直角三角形,(1),直角三角形的边角关系,如图,在,RtABC,中,C=90,三边长分别为,a,b,c,.,三边之间的关系,:_;,两锐角之间的关系,:_;,边角之间的关系,:sin A=,cos,B=_,sin B=,cos,A=_,tan A=_,tan B=_.,a,2,+b,2,=c,2,A+B=90,(2),解直角三角形,:,由直角三角形的已知元素,求其余,_,的过程叫做,解直角三角形,.,未知元素,4.,解直角三角形的应用,考点例析,疑难突破,考点一,锐角三角函数,【,例,1,】,(2019,雅安,),在,RtABC,中,C=90,AB=5,BC=4,则,sin A=,_,.,【,方法小结,】,此题关键要熟悉锐角三角函数的概念,根据概念找出或求出对应的量,.,【,例,2,】,(2020,天水,),如图所示,AOB,是放置在正方形网格中的一个角,则,sin AOB,的值是,_,.,【,思路点拨,】,连接,AB.,证明,OAB,是等腰直角三角形即可解决问题,.,【,方法小结,】,本题考查的是锐角三角函数与勾股定理及逆定理的综合运用,求一个角的锐角三角函数值往往要在直角三角形中进行,因此,锐角三角函数经常与勾股定理或逆定理配合使用,.,【,例,3,】,(2019,乐山,),如图,在,ABC,中,B=30,AC=2,cos C=.,则,AB,边的长为,_.,【,思路点拨,】,过点,A,作,ADBC,于点,D,可得,RtADC,和,RtADB,在,RtADC,中,由,cos,C=,和,AC=2,可求出,DC,然后根据勾股定理求出,AD;,在,RtADB,中,根据,B=30,.,可得,AB=2AD,从而求出,AB.,【,方法小结,】,此类型题是常考题,锐角三角函数一般是在直角三角形中使用,因,此构建直角三角形是解题的前提条件,然后再根据已知条件求出关键量,.,构建,直角三角形的方法一般作某一边上的高,.,考点二,特殊角的三角函数值,【,例,4,】,(2019,甘肃,),在,ABC,中,C=90,tan A=,则,cos,B=,_,.,【,思路点拨,】,在,RtABC,中,C=90,由,tan A=,可得,A=30,则,B=60,根据特殊角的三角函数值可得答案,.,【,方法小结,】,特殊角的三角函数值是我们中考的热门考点,熟记特殊角的三角,函数值是解题的基础,.,熟记两种方法,:,(1),按值的变化规律记,:30,45,60,角的正余弦的分母都是,2,正弦的分子分,别是,(=1),余弦的分子分别是,(=1);,正切分别,是,1,.,(2),特殊值法,:,在直角三角形中,设,30,角所对的直角边为,1,那么三边长分别为,1,2;,在直角三角形中,设,45,角所对的直角边为,1,那么三边长分别为,1,1,再根,据锐角三角函数的定义推导即可,.,考点三,解直角三角形,【,例,5,】,(2019,梧州,),如图,在,RtABC,中,C=90,D,为,BC,上一点,AB=5,BD=1,tan B=.,(1),求,AD,的长,;,(2),求,sin,值,.,【,思路点拨,】,(1),在,RtABC,中,根据,tan B=,可设,AC=3x,则,BC=4x,再由勾股定理列出关于,x,的方程求得,x,进而由勾股定理求,AD;,(2),过点,D,作,DEAB,于点,E,同,(1),在,RtBDE,中,可设,DE=3y,则,BE=4y,再由勾股定理列出关于,y,的方程求得,y,进而由勾股定理求,DE,然后在,RtADE,中,根据已求出的,DE,与,AD,可求出,sin,值,.,【,解析,】,(1),在,Rt,ABC,中,tan B=,设,AC=3x,则,BC=4x,AC,2,+BC,2,=AB,2,(3x),2,+(4x),2,=5,2,解得,:x,1,=-1(,舍去,),x,2,=1.AC=3,BC=4,BD=1,CD=3,AD=.,(2),过点,D,作,DEAB,垂足为,E.,在,RtBDE,中,可设,DE=3y,则,BE=4y,DE,2,+BE,2,=BD,2,(3y),2,+(4y),2,=1,2,解得,:y,1,=-(,舍去,),y,2,=.DE=,BE=,sin,=.,【,方法小结,】,(1),尽量用到已知条件的数据,防止,“,积累误差,”,;(2),遵循,“,有弦,(,斜边,),用弦,(,正弦、余弦,),无弦用切,(,正切,),宁乘勿除,”,的原则,提高解题的正确性,.,考点四,锐角三角函数的应用,仰角、俯角,:,【,例,6,】,(2020,陕西,),如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他,俩想测算所住楼对面商业大厦的高,MN.,他俩在小明家的窗台,B,处,测得商业大厦,顶部,N,的仰角,1,的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在,B,处测得商业大厦底部,M,的,俯角的度数,.,于是,他俩上楼来到小华家,在窗台,C,处测得大厦底部,M,的俯角,2,的,度数,竟然发现,1,与,2,恰好相等,.,已知,A,B,C,三点共线,CAAM,NMAM,AB=31,m,BC,=18 m,试求商业大厦的高,MN.,【,思路点拨,】,过点,C,作,CEMN,于点,E,过点,B,作,BFMN,于点,F,可得四边形,AMEC,和四边形,AMFB,均为矩形,可以证明,BFNCEM,得,NF=EM=49,进而可得商业大厦的高,MN.,【,解析,】,如图,过点,C,作,CE,MN,于点,E,过点,B,作,BF,MN,于点,F,CEF=BFE=90,CAAM,NMAM,四边形,AMEC,和四边形,AMFB,均为矩形,CE=BF,ME=AC,CEM=BFN=90,BFNCEM,NF=EM=31+18=49,由矩形性质可知,:EF=CB=18,MN=NF+EM-EF=49+49-18=80(m).,答,:,商业大厦的高,MN,为,80 m.,方位角,:,【,例,7,】,(2020,咸宁,),如图,海上有一灯塔,P,位于小岛,A,北偏东,60,方向上,一艘,轮船从小岛,A,出发,由西向东航行,24,nmi,l,e,到达,B,处,这时测得灯塔,P,在北偏东,30,方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔,P,的正南方,此,时轮船与灯塔,P,的距离是,_nmi,l,e.(,结果保留一位小数,1.73),20.8,【,方法小结,】,锐角三角函数的应用要注意,:,(1),保证有直角三角形这个大前提,如果没有直角三角形则需构造直角三角形,一般方法是作垂直,;,(2),要根据给出的条件和所求问题选择适当的三角函数进行解题,.,坡角、坡度,:,【,例,8,】,(2020,娄底,),如实景图,由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于,2019,年,12,月,18,日动工,2020,年,2,月,28,日竣工,彰显了国企的担当精神,展现了高效的,“,娄底速度,”,.,该桥的引桥两端各由,2,个斜面和一个水平面构成,如示意图所示,:,引桥一侧的桥墩顶端,E,点距地面,5 m,从,E,点处测得,D,点俯角为,30,斜面,ED,长为,4 m,水平面,DC,长为,2 m,斜面,BC,的坡度为,14,求处于同一水平面上引桥底部,AB,的长,.(,结果精确到,0.1 m,1.41,1.73).,【,思路点拨,】,作,DFAE,于,F,DGAB,于,G,CHAB,于,H,则,DF=GA,DC=GH=2,AF=DG=CH,由含,30,角的直角三角形的性质得出,EF=DE=2,DF=EF=2 ,求出,CH=AF,由斜面,BC,的坡度求出,BH=4CH,进而得出答案,.,【,解析,】,作,DF,AE,于,F,DG,AB,于,G,CH,AB,于,H,如图所示,.,则,DF=GA,DC=GH=2,AF=DG=CH,由题意得,:EDF=30,EF=DE=,4=2,DF=EF=2 ,AE=5,CH=AF=AE-EF=5-2=3,斜面,BC,的坡度为,14=,BH=4CH=12,AB=AG+GH+BH=2 +2+12,=2 +1417.5(m).,答,:,处于同一水平面上引桥底部,AB,的长约为,17.5 m.,广东,3,年中考真题,考点过关,当堂演练,
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