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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:,设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量,M,.,其中,表示,n,小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设,为光滑曲面,“乘积,和式极限”,都存在,的,曲面积分,其中,f,(,x,y,z,),叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f,(,x,y,z,),是定义在,上的一,个有界,函数,记作,或,第一类曲面积分,.,若对,做,任意分割,和局部区域,任意取点,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,),在曲面,上,对面积,函数,叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面,上连续,对面积,的曲面积分与,对弧长,的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若,是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:,设有光滑曲面,f,(,x,y,z,),在,上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则,曲面积分,证明:,由定义知,而,(,光滑),说明:,可有类似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下,d,S,的,表达式,也可将对,面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,(见本节后面的例4,例5),例1.,计算曲面积分,其中,是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考,:,若,是球面,被平行平面,z,=,h,截,出的上下两部分,则,例,2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:,设,上的部分,则,与,原式=,分别表示,在平面,例,3.,设,计算,解:,锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在,xOy,面上的,投影域为,则,思考,:,若例,3,中被积函数改为,计算结果如何,?,例4.,求半径为,R,的均匀半球壳,的重心.,解:,设,的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题:,例 3 是否可用球面坐标计算,?,例,5.,计算,解:,取球面坐标系,则,例6.,计算,其中,是球面,利用对称性可知,解:,显然球心为,半径为,利用重心公式,例7.,计算,其中,是介于平面,之间的圆柱面,分析:,若将曲面分为前后(或左右),则,解:,取曲面面积元素,两片,则,计算较繁.,例,8.,求椭圆柱面,位于,xOy,面上方及平面,z=y,下方那部分柱面,的侧面积,S,.,解:,取,例,9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h,=36000,km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算,该,通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(,地球半径,R,=6400 km),解:,建立坐标系如图,记覆盖曲面,的,半,顶角为,利用球面坐标系,则,卫星覆盖面积为,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由,以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故,使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全,表面.,说明:,此题也可用二重积分求,A,.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,思考与练习,P219,题,1,；,3,；,4,(1),;7,解答提示,:,P217,题1.,P217,题,3.,设,则,P244 题2,P219,题,4,(1),.,在,xOy,面上的投影域为,这是,的面积,!,P220,题,7.,如图所示,有,P246,题,2.,限中的部分,则有,().,(2000,考研,),作业,P217 4,(3),;,5,(2),;,6,(1);,8,第五节,备用题,1.,已知曲面壳,求此曲面壳在平面,z=1,以上部分,的,的面密度,质量,M.,解:,在,xOy,面上的投影为,故,2.,设,是四面体,面,计算,解:,在四面体的四个面上,同上,平面方程,投影域,同上,平面方程,投影域,
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