应力应变分析及应力应变关系课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,应力应变分析及应力应变关系,2,.1,应力的概念 一点处的应力状态,1.,应力,的概念,T,M,用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：,截面,分布内力系,向截面形心简化后的等效力系,为,正确描述变形,，应在该截面上的,每一点,，描述内力的状况。,x,y,z,1,2 应力应变分析及应力应变关系2.1 应力的概念,1,A,A,在,P,点取面元,A,，,A,上分布内力合力为,在,m-m,截面上,P,点处定义：,m-m,截面上,P,点的正应力,m-m,截面上,P,点的切应力（剪应力）,m-m,截面上,P,点的全应力,应力的单位：,1Pa=1N/m,2,1Mpa=10,6,Pa,1Gpa=10,3,Mpa=10,9,Pa,2,AA在P点取面元A，A上分布内力合力为在 m-m截面,2,变形体内某一点的应力状态,应力张量的概念,正应力、切应力（或全应力）,均与,过物体内部的某,一点的一个截面,有关,过物体内部某点,p,的所有截面上的应力分量的总体，称为,变形体在该点的应力状态,描述变形体内部某点的应力状态，应用,二阶张量,描述,3,变形体内某一点的应力状态应力张量的概念正应力、切应力（或,3,2,.,应力张量的表示方法（分量表示法）,1),单元体的概念,变形体内某点处取出的边长无限小的,体积微元,在直角坐标系下，单元体为,无限小正六面体,x,y,z,单元体的三对表面：,正面,：外法向与坐标轴同向,负面,：外法向与坐标轴反向,单元体是变形体的最基本模型,4,2.应力张量的表示方法（分量表示法）1) 单元体的概念变形体,4,2),应力张量的表示方法,单元体,每个表面上,，都有该点在该截面上的全应力（力矢量），可分解为,三个分量,每对表面,上的力矢量,互为反作用力,，共,9,个分量,x,y,z,x,y,z,各应力分量的记法,该分量的指向,所在面的法向,两脚标相同,正,应力,两脚标不同,切,应力,5,2) 应力张量的表示方法单元体每个表面上，都有该点在该截面,5,故应力张量的分量表示为：,或,或,若记,x,=1,y,=2,z,=3,则,6,故应力张量的分量表示为：或或若记x=1,y=2,z=3,则6,6,3),单元体的平衡条件,x,y,z,x,C,y,C,z,C,以单元体为分离体,过其形心,C,作,x,C,y,C,z,C,轴：,切应力互等定理,故应力张量为,二阶对称张量,9,个分量中，只有,6,个独立分量！,7,3) 单元体的平衡条件xyzxCyCzC以单元体为分离体,7,2,.2,平面应力状态的解析法,若某点的单元体应力状态满足：,9,个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内,称为,平面应力状态,或,二向应力状态,x,y,z,可简化为平面单元体：,x,y,8,2.2 平面应力状态的解析法若某点的单元体应力状态满足：,8,例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体,例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体,9,例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体例如外力作用在板平,9,1.,平面应力状态的工程表示方法,x,y,正应力 ， 以拉为正,切应力 ， 以使单元体顺时针转动为正,应力分量的正负号规定,：,故切应力互等定理为：,2.,斜截面应力公式,解析法,若,某点的应力状态已知,，可求出该点任意外法线为,n,的斜截面上的应力分量。,10,1.平面应力状态的工程表示方法xy正应力 ，,10,已知：某点单元体上的应力分量,x,y,n,求该点外法线为,n,的斜截面,面上的正应力,切应力 。,沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为,d,A,n,t,同理 可得：,11,已知：某点单元体上的应力分量xyn求该点外法线为n的斜截面,11,平面应力状态,的斜面应力公式,（,2.12,）,(2.13),x,y,n,12,平面应力状态的斜面应力公式（2.12） (2.13)xy,12,3.,主平面、主方向、主应力、最大切应力,1),主平面 主方向 主应力,在变形体内某一点处：,若某一方向的斜截面上 ，则该截面称为,主平面,该斜截面的方向角,称为,主方向,，,记为,P,，,则有,(2.13),-,内，得两个值 和 ，且,主方向公式,即这两个主平面,相互垂直,13,3.主平面、主方向、主应力、最大切应力1) 主平面 主,13,主平面上的正应力称为,主应力,由斜面应力公式,令,即（,2.14,）式,同样有,故，主平面上的正应力达到极值,即主应力分别对应于,的极大值和极小值,将,P1,，,P2,代入（,2.12,）得出主平面上的主应力为：,（,2.15),主应力公式,14,主平面上的正应力称为主应力由斜面应力公式令即（2.14）式同,14,以主平面为单元体的各面则称为,主单元体,x,y,从变形体内任意点取出的单元体称为,原始单元体,主单元体的各表面上只有正应力，没有切应力,对平面应力状态，,z,平面,也为一个,主平面,，其上的主应力为零。,故平面应力状态有三个主应力：,按代数值大小排列为,1, ,2, ,3,分别称为,第一主应力，第二主应力，第三主应力,.,15,以主平面为单元体的各面则称为主单元体xy从变形体内任意点取出,15,对任意的一般应力状态，同样存在着,三个,相互垂直的,主平面,及三个,主应力,。,一般应力状态的分类；,某点的,三个,主应力全,不为零,该点为三向应力状态,某点有,两个,主应力不为零,该点为,二向,应力状态,某点有,一个,主应力不为零,该点为,单向,应力状态， 简单应力状态,某点处所有截面上的正应力，其极大值为,1,，,极小值为,3,16,对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主,16,单向、双向、三向应力状态,17,单向、双向、三向应力状态17,17,2),某点单元体的最大切应力,由斜面应力公式 求导,(2.13),上式的两个解,S1,，,S2,为切应力达到极值的平面,S,与主平面,P,相差,45,，即,P1,与,P2,的角平分线方向为,S1,和,S2,的方向。切应力的极值为：,P,S,45,x,Pi,18,2) 某点单元体的最大切应力由斜面应力公式,18,注意,同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：,该点单元体的最大切应力,应为三者当中的最大者，即,（,2.20,）,主切应力,所在平面,所在平面,所在平面,19,注意同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应,19,而最大切应力所在平面的法向应为,1,，,3,两方向的角平分线方向。,3,2,1,max,思考题：,最大切应力所在平面上的正应力是多少？,=,？,20,而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向的角平分线方向,20,已知初始单元体的应力,(,单位：,Mpa,),，求主单元体上的应力并画出主单元体。,解：,x,y,例 题,1,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,由初始单元体上的应力分量,代入主应力公式：,故三个主应力分别为,21,已知初始单元体的应力(单位：Mpa)，求主单元体上的应力并画,21,求主方向：,例 题,1,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,22,求主方向：例 题 12 应力应变分析与应力应变关系,22,2.3,平面应力状态的图解法,-,应力圆,(,莫尔圆,),x,y,由斜面应力公式可得,(,b),(,a),上两式两边平方后相加,圆的方程：圆心,( ),圆的半径：,上式在应力坐标系 中为一圆，称为,应力圆,(,莫尔圆,),23,2.3平面应力状态的图解法-应力圆(莫尔圆)xy由斜面应,23,圆心,( ),圆的半径：,R,应力圆的画法：,x,y,已知某点的平面应力状态为,x,面坐标,D,x,（ ）,y,面坐标,D,y,（ ）,两点连线与,轴的交点为圆心,C,以,CD,x,为半径画出应力圆,24,圆心 ( )圆的半径,24,应力圆的物理意义：,圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上,的正应力和切应力,x,y,角以逆时针为正,R,2,25,应力圆的物理意义：圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上,25,因此，当 连续变化至 时，坐标 绕应力圆的圆心转一周,.,应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，对应 截面上的应力,R,x,y,2,26,因此，当 连续变化至 时，坐标 绕,26,从应力圆上还可找到：主应力，主方向，最大切应力,主应力：,主方向：,方向,最大切应力：,27,从应力圆上还可找到：主应力，主方向，最大切应力主应力：主方向,27,y,x,单元体的主应力、主方向、最大切应力,28,yx单元体的主应力、主方向、最大切应力28,28,几种工程上常见的应力状态的实例：,（,1,）单向拉伸,（,2,）单向压缩,单拉,-,单压,29,几种工程上常见的应力状态的实例：（1）单向拉伸（2）单向压缩,29,(3),纯剪切（纯剪）,T,T,主单元体,45,-,30,(3) 纯剪切（纯剪）TT主单元体45-,30,某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力，（单位： ）,例 题,2,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,31,某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元,31,解：,例 题,2,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,与,2,对应,主应力为：,与,1,对应,D,32,解：例 题 22 应力应变分析与应力应变关系 例题,32,主单元体：,例 题,2,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,33,主单元体： 例 题 22 应力应变分析与应力应变关系,33,已知应力圆如图，画出该点的初始单元体及应力，主单元体及应力。（单位： ）,解：,例 题,3,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,初始单元体,x,y,半径,34,已知应力圆如图，画出该点的初始单元体及应力，主单元体及应力。,34,主单元体：,例 题,3,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,x,y,112.5,35,主单元体：例 题 32 应力应变分析与应力应变关系,35,已知某点两斜截面上应力分量如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力,.,单位：,例 题,4,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,36,解：,半径,已知某点两斜截面上应力分量如图，确定该点的主应力、主方向，画,36,例 题,4,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,37,60,例 题 42 应力应变分析与应力应变关系 例题37,37,x,z,y,2.4,三向应力状态分析简介,将三个主应力按代数量的大小顺序排列,因此根据每一点的应力状态都可以找到,3,个相互垂直的主应力和,3,个正交的主方向,x,z,y,38,xzy2.4 三向应力状态分析简介 将三个主应力按代数,38,三向应力圆,空间任意方向截面上的应力 ， 可由三向应力圆所夹阴影面中某点 的应力坐标表示。,一点处最大的剪应力,K,39,三向应力圆 空间任意方向截面上的应力 ， 可由三向应力圆所,39,求 ， ， ，,解：,在 ， 平面内,例 题,5,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,为一个主应力,40,求 ， ， ，解： 在 ， 平面内 例 题 52,40,两组载荷下某点的应力状态如下,:,例 题,6,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,x,y,+,41,求两组载荷共同作用下该点的主 应力及 最大切应力,.,两组载荷下某点的应力状态如下:例 题 62 应力应变,41,例 题,6,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,+,42,解：,半径,例 题 62 应力应变分析与应力应变关系 例题+4,42,例 题,6,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,+,43,解：,例 题 62 应力应变分析与应力应变关系 例题+4,43,一点的变形有正应变,(,线应变,),和切应变,(,剪应变,),2.5,应变的概念及一点处的应变状态,1.,某点处（单元体的）,变形的描述,应变,x,y,z,正应变,线段单位长度的改变量，无量纲,切,应变,直角的改变量，单位：弧度,44,x,y,一点的变形有正应变(线应变) 和切应变(剪应变) 2.,44,45,某点处的应变,二阶对称应变张量,45某点处的应变二阶对称应变张量,45,2.,平面应变状态 （与平面应力状态对应的）,x,y,x,y,46,2.平面应变状态 （与平面应力状态对应的）xyxy46,46,在 ， 坐标下， 方向到 方向夹角,令 ， ，与平面应力状态的分析类似有,某点各个方位应变的情况称为,该点的应变状态,47,在 ， 坐标下， 方向到 方向夹角 令,47,应变分析公式,斜面应力公式,2.6,平面应力状态下的应变分析,48,应变分析公式斜面应力公式2.6 平面应力状态下的应变分析4,48,类似，也可求出该点的,主应变,，,主应变方向,49,类似，也可求出该点的主应变，主应变方向49,49,应变花：,可,证明,：对,各向同性材料,来说，任一点的主应力与主应变的方向是重合的。,可用于实验测定一点处的应变状态,120,120,45,45,50,应变花：可证明：对各向同性材料来说，任一点的主应力与主应变的,50,51,竞赛题目：承受静载和冲击载荷的高压输电塔架结构模型设计,第,5,周,3-31,日,发布海报（通告大赛题目、报名网址）在网上公布比赛细则，网上报名。,第,6,周,4-12,日讲座,第,7,周,4-15,日报名截止（,统计、提交报名名单,）,第,7,周,4-21,日报名参赛队到指定地点递交设计方案、计算书,第,8,周,4-25,日公布参赛资格,第,9,周,4-28,日发放材料,第,11,周,5-17,日预赛,第,13,周,5-26,日决赛,51竞赛题目：承受静载和冲击载荷的高压输电塔架结构模型设计,51,胡克定律,比例系数 称为材料的,弹性模量,比例系数 称为泊松比,2.7,应力应变关系,1.,单向应力状态,横向应变,纵向应变,1,52,胡克定律 比例系数 称为材料的弹性模量 比例系数 称为泊,52,在线弹性范围内,剪切胡克定律,切变模量,可证明,2.,纯剪应力状态,53,在线弹性范围内 剪切胡克定律 切变模量 可,53,只有 作用时,3.,广义胡克定律,只有 作用时,只有 作用时,只有 作用时,54,只有 作用时3.广义胡克定律只有 作用时只有 作,54,故某点为任意应力状态时应满足：,55,故某点为任意应力状态时应满足：55,55,对主单元体,56,对主单元体 56,56,已知一构件表面一点的应变：,求该点的主应力和最大切应力。,例 题,5,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,57,已知一构件表面一点的应变： 求该点的主应力和最大切应力。例,57,解：,则,例 题,5,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,设,x,y,58,解：则 例 题 52 应力应变分析与应力应变关系,58,整理后,例 题,5,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,平面应力状态下的广义胡克定律,59,整理后 例 题 52 应力应变分析与应力应变关系,59,某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与,x,轴夹角为,-45,方向上的正应变是 ，已知 ，求,解：,例 题,6,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,x,y,由该点主方向上的广义胡克定律：,由于纯剪切的主方向为与,x,轴夹角,45,方向，主应力为,，,0,，,-,y,x,60,某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与x轴夹角为-45方向上,60,取一体积为 的单元体,受应力作用变形。,4.,体积变形,变形后的体积：,各边长的改变量为：,单位体积的改变量,代入广义胡克定律,体积应变,61,取一体积为 的单元体,受应力作用变形。4.,61,令,称为该点应力的,平均应力,设,称为,体变模量,对,非主单元体,由于剪应变不改变单元体的体积，上式仍成立。,则,或,体积应变定律,此时,62,令 称为该点应力的平均应力 设 称为体变模量 对非主单元体由,62,证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系,证明：取一纯剪单元体（正方形）,例 题,7,2,应力应变分析与应力应变关系,例题,非零主应力分别为：, ，,-,，主方向为,45,方向,63,证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系 证明：取一纯剪单元体,63,64,拉伸实验,实验,地点,：,理学楼,3,段,104,64拉伸实验,64,65,65,65,