条件概率与事件的独立性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,条件概率与独立事件,2.2.1,条件概率,2.2.2,事件的独立性,2.2.3,独立重复试验与二项分布,1.,条件概率：对任意事件,A,和事件,B,，在已知事件,A,发生的条件下事件,B,发生的概率，叫做,条件概率,.,记作,P(B|A),，读作,A,发生的条件下,B,的概率,.,一、条件概率,2.,事件的交（积）,:,由事件,A,和事件,B,同时发生所构成的事件,D,，称为事件,A,与事件,B,的,交（或积）,.,记作,D=AB,或,D=AB,3.,条件概率计算公式,:,P(B|A),相当于把,A,看作新的基本事件空间,求,发生的概率,:,例,1,、,10,个产品中有,7,个正品、,3,个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率,.,解：设,A,=,第一个取到次品,，,B,=,第二个取到次品,，,P,(,B,|,A,)=,P,(,AB,)/,P,(,A,)=2/9,答：第二个又取到次品的概率为,2/9.,例,2.,盒中有球如表,.,任取一球,若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率,.,变式,:,若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率,.,16,6 10,总计,5,11,2 3,4 7,红,蓝,总计,玻璃 木质,A:,取得是蓝球,B:,取得是玻璃球,例,3.,设,100,件产品中有,70,件一等品，,25,件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取,1,件，求,(1),取得一等品的概率；,(2),已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设,B,表示取得一等品，,A,表示取得合格品，则,（,1,）,因为,100,件产品中有,70,件一等品，,（,2,）,方法,1,：,方法,2,：,因为,95,件合格品中有,70,件一等品，所以,70,95,5,答：略,例,4.,把一副不含大小王的扑克牌的,52,张随机均分给赵、钱、孙、李四家，,A=,赵家得到,6,张草花,，,B=,孙家得到,3,张草花,，（,1,）求,P(B|A),；（,2,）求,P(AB).,0.278;,解：依题可知,答：略,.,练习：某种动物出生之后活到,20,岁的概率为,0.7,，活到,25,岁的概率为,0.56,，求现年为,20,岁的这种动物活到,25,岁的概率。,解 设,A,表示,“,活到,20,岁,”,(,即,20),，,B,表示,“,活到,25,岁,”,(,即,25),则,所求概率为,0.56,0.7,5,条件概率,P,(,A,|,B,),满足概率的三条公理,.,由此得：,P,(,A,B,|,C,)=,P,(,A,|,C,)+,P,(,B,|,C,),P,(,AB,|,C,),；,若,A,与,B,是,两个互斥事件,，则,P,(,A,B,|,C,)=,P,(,A,|,C,)+,P,(,B,|,C,),；,P,(|,B,)=1,P,(,A,|,B,).,P,(,|,B,)=1;,P,(,B,|,),1;,P,(,A,|,)=,P,(,A,);,P,(,A,|,A,)=1.,1,中国福利彩票，是由,01,、,02,、,03,、,、,30,、,31,这,31,个数字组成的，买彩票时可以在这,31,个数字中任意选择其中的,7,个，如果与计算机随机摇出的,7,个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。,（,1,）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？,（,2,）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？,2,一个袋子中有,5,个白球和,3,个黑球，从袋中分两次取出,2,个球。设第,1,次取出的球是白球叫做事件,A,，第,2,次取出的球是白球叫做事件,B,。,（,1,）若第,1,次取出的球不放回去，求事件,B,发生的概率；,（,2,）若第,1,次取出的球仍放回去，求事件,B,发生的概率。,如果事件,A,发生，则,如果事件,A,不发生，则,P,（,B,）,=,如果事件,A,发生，则,P,（,B,）,=,；,如果事件,A,不发生，则,P,（,B,）,=,3.A,：表示取出的牌是,“,Q,”,；,B,：表示取出的牌是红桃。,则称,A,，,B,相互独立,B,发生时,A,发生的条件概率,A,发生的概率,事件,A(,或,B),是否发生,对事件,B(,或,A),发生的概率,没有影响,这样的两个事件叫做,相互独立事件,相互独立事件,说明（,1,）判断两事件,A,、,B,是否为相互独立事件，关键是看,A,（或,B,）发生与否对,B,（或,A,）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立,.,（,2,）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响,.,（,3,）如果,A,、,B,是相互独立事件，则,A,与,B,、,A,与,B,、,A,与,B,也都相互独立,.,两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有,相互独立的两个事件,A,、,B,，又同时发生，此时记这样的为,A,B,（或,AB,），也叫作积事件,.,相互独立事件同时发生的概率公式,说明（,1,）使用时，注意使用的前提条件；,（,2,）此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即,P(A,B)=P(A),P(B),是,A,、,B,相互独立的充要条件,.,相互独立事件同时发生的概念,对于,n,个随机事件,A,1,，,A,2,，,A,n,，有,P,（,A,1,+A,2,+,+A,n,）,=1-P,（,A,1,A,2,A,n,),概率的和与积的互补公式,推广：如果事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立，那么这,n,个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：,P,（,A,1,A,2,A,n,）,=P,（,A,1,）,P,（,A,2,）,P(A,n,),例,1,、判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件,.,（,1,）运动员甲射击,1,次，“射中,9,环”与“射中,8,环”；,（,2,）甲乙两运动员各射击,1,次，“甲中,10,环”与“乙中,9,环”；,（,3,）甲乙两运动员各射击,1,次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；,（,4,）甲乙两运动员各射击,1,次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”；,答案：互斥事件,答案：相互独立事件,答案：互斥事件,答案：均不是,例,2,、已知事件,A,、,B,发生的概率都大于零，则下列选项中正确的是：,（,1,）如果,A,、,B,是互斥事件，那么,A,与,B,也互斥；,（,2,）如果,A,、,B,不是相互独立事件，那么,A,与,B,一定是互斥事件；,（,3,）如果,A,、,B,是相互独立事件，那么,A,与,B,一,定不是互斥事件；,（,4,）如果,A+B,是必然事件，那么,A,、,B,一定是,对立事件；,（,3,）如果,A,、,B,是相互独立事件，那么,A,与,B,一,定不是互斥事件；,例,3,：一袋中有,2,个白球，,2,个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取,2,个球，观察球的颜色情况，记,“,第一个取出的是白球,”,为事件,A,，,“,第二个取出的是白球,”,为事件,B,，试问,A,与,B,是不是相互独立事件？,答：不是，因为件,A,发生时（即第一个取到白球），事件,B,的概率,P,（,B,）,=1/3,，而当事件,A,不发生时（即第一个取到的是黑球），事件,B,发生的概率,P,（,B,）,=2/3,，也就是说，事件,A,发生与否影响到事件,B,发生的概率，所以,A,与,B,不是相互独立事件。,例,4,：制造一种零件，甲机床的正品率是,0,9,，乙机床的正品率是,0,95,，从它们制造的产品中各任抽一件，（,1,）两件都是正品的概率是多少？,（,2,）恰有一件是正品的概率是多少？,解：设,A=,从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品；,B=,从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品，则,A,与,B,是独立事件,P(A,B)=P(A),P(B)=0.9,0.95=0.855,P(A,B)+P(A,B)=P(A),P(B)+P(A),P(B),=0.9,(1-0.95)+(1-0.9),0.95=0.14,答：两件都是正品的概率是,0,855,；恰有一件是正品概率是,0.14.,另解：,1-P(A,B)-P(A,B)=1-0.855,(1,0.95),(1-0.9),=0.14,例,5,：有甲、乙两批种子，发芽率分别是,0.8,和,0.7,，在两批种子中各取一粒，,A=,由甲批中取出一个能发芽的种子，,B=,由乙批中抽出一个能发芽的种子，问是否互相独立？两粒种子都能发芽的概率？至少有一粒种子发芽的概率？恰好有一粒种子发芽的概率？,解：,A,、,B,两事件不互斥，是互相独立事件,A,B=,两粒种子都能发芽,P(A,B)=P(A),P(B)=0.8,0.7=0.56,1,P(A,B)=1-P(A),P(B),P(A,B)+P(A,B)=P(A)P(B)+P(A)P(B),=0.8(1-0.7)+(1-0.6),0.7=0.38,答：两粒种子都能发芽的概率是,0.56,；至少有一粒种子能发芽的概率是,0.94,；恰好有一粒种子能发芽的概率是,0.38,=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94,例,6,、有,4,名学生参加体育达标测验，,4,人各自合格的概率分别是,1/3,，,1/4,，,1/5,，,1/6,，求以下的概率：,（,1,）四人中至少有二人合格的概率；,（,2,）四人中恰好只有二人合格的概率。,例,7.,某公司购进光盘甲、乙、丙三件，每件,100,盒，其中每件里面都有,1,盒盗版光盘。这个公司从这,3,件光盘里面各取,1,盒光盘卖给了王二，求：,（,1,）王二恰好买到,1,盒盗版光盘的概率；,（,2,）王二至少买到,1,盒盗版光盘的概率,.,练习,1,、甲乙两射手独立射击同一目标，若他们各射击一次，命中目标的概率分别为,0.9,和,0.8,，求（,1,）两人都击中目标的概率；（,2,）恰有,1,人击中的概率；（,3,）目标被击中的概率,.,练习,2,、一线路中并联,3,个自控的常开开关，只要其中,1,个能闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是,0.7,，计算这段时间内各线路正常工作的概率,.,练习,3,、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于,10,年的概率是,2/5,，乙厂生产的柴油机，每台连续使用不少于,10,年的概率是,3/5,，将一台脱粒机与一台柴油机配套使用，求下列各事件的概率：,（,1,）,A,（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于,10,年）；,（,2,）,B,（只有脱粒机的连续使用期不少于,10,年；,（,3,）,C,（至少有一台机器的连续使用期不少于,10,年,.,