椭圆及其简单几何性质（1）

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.2.2,椭圆的简单几何性质,第,1,课时椭圆的简单几何性质,标准方程,(ab0),(ab0),图形,范围,_,_,-axa,-byb,-bxb,-aya,椭圆的简单几何性质,标准方程,(ab0),(ab0),对称性,对称轴,:_;,对称中心,:_,焦点,F,1,_,F,2,_,F,1,_,F,2,_,焦距,|F,1,F,2,|=_,|F,1,F,2,|=_,顶点,A,1,_,A,2,_;,B,1,_,B,2,_,A,1,_,A,2,_;,B,1,_,B,2,_,轴长,长轴,|A,1,A,2,|=_;,短轴,|B,1,B,2,|=_,长轴,|A,1,A,2,|=_;,短轴,|B,1,B,2,|=_,离心率,e=,_,_,e=_,坐标轴,(0,0),(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),2c,2c,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2a,2b,(0,1),(0,1),判断,:(,正确的打,“,”,错误的打,“,”,),(1),椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点,.(,),(2),椭圆上的点到焦点的距离的最大值为,a+c.(,),(3),椭圆的离心率,e,越接近于,1,椭圆越圆,.(,),提示,:,(1),错误,.,只有椭圆方程是标准方程时,此说法才正确,而此处并未说明是标准方程,故不正确,.,(2),正确,.,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为,a+c,最小值为,a-c.,(3),错误,.,离心率,e,越接近于,1,即,c,越大,这时,b,越小,椭圆越扁,.,答案,:,(1),(2),(3),【,知识点拨,】,对椭圆几何性质的六点说明,(1),椭圆的焦点决定了椭圆的位置,.,在,ab0,时,方程,的焦点在,x,轴上,方程 的焦点在,y,轴上,.,(2),椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆 位于四,条直线,x=a,y=b,围成的矩形内,.,(3),椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下,:,(4),椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下,:,(5),椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是,2a,短轴长是,2b.,(6),在椭圆中,a,b,c,都具有实际的具体意义,其中,a,长半轴长,b,短半轴长,c,半焦距,.,它们之间的关系是,a,2,-b,2,=c,2,.,类型 一,利用标准方程研究几何性质,【,典型例题,】,1.(2013,北京高二检测,),椭圆,x,2,+8y,2,=1,的短轴的端点坐标,是,(,),A.(0,-),(0,)B.(-1,0),(1,0),C.(2 ,0),(-2 ,0)D.(0,2 ),(0,-2 ),2.,设椭圆方程为,mx,2,+4y,2,=4m(m0),的离心率为,试求椭圆,的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标,.,【,解析,】,1.,选,A.,把方程化为标准形式得,焦点在,x,轴上,b,2,=,b=,故椭圆短轴的端点坐标为,(0,).,2.,椭圆方程可化为,(1),当,0m4,时,a=,b=2,c=,e=,解得,m=,a=c=,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为,4,焦点坐标为,F,1,(),F,2,(),顶点坐标为,A,1,(),A,2,(),B,1,(-2,0),B,2,(2,0).,【,变式训练,】,求椭圆,64x,2,+25y,2,=400,的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标,.,【,解析,】,椭圆的方程可化为,16 ,焦点在,y,轴上,并且长半轴长,a=4,短半轴长,b=,半焦距,长轴长,2a=8,短轴长,2b=5,焦距,2c=.,离心率,e=,焦点坐标为,(0,-),(0,),顶点坐标为,(-,0),(,0),(0,-4),(0,4).,类型 二,利用几何性质求标准方程,【,典型例题,】,1.(2013,宜春高二检测,),焦距为,6,离心率,e=,焦点在,x,轴上,的椭圆的标准方程是,(,),A.B.,C.D.,2.(2013,大理高二检测,),已知椭圆的长轴长是短轴长的,2,倍,且经过点,A(2,0),求椭圆的标准方程,.,【,解析,】,1.,选,D.,由条件知,2c=6,且 解得,c=3,a=5,从而,b,2,=a,2,-c,2,=16.,又椭圆焦点在,x,轴上,所以椭圆的标准,方程为,2.,若椭圆的焦点在,x,轴上,设椭圆方程为,(ab0),椭圆过点,A(2,0),=1,a=2.,2a=22b,b=1,方程为,+y,2,=1.,若椭圆的焦点在,y,轴上,设椭圆方程为,=1(ab0),椭圆过点,A(2,0),b=2,由,2a=22b,a=4,方程为,综上所述,椭圆的标准方程为,+y,2,=1,或,=1.,【,互动探究,】,1.,题,1,中,把,“,焦点在,x,轴上,”,去掉,结果如何,?,【,解析,】,焦点可能在,x,轴上,也可能在,y,轴上,由于,a=5,b,2,=16,故标准方程为 或,【,拓展提升,】,1.,根据几何性质求椭圆方程的两个关键,2.,求椭圆标准方程的一般方法及步骤,(1),基本方法,:,待定系数法,.,(2),一般步骤,:,类型 三,与离心率有关的问题,【,典型例题,】,1.(2013,大理高二检测,),椭圆 的离心率为,(,),2.(2012,江西高考,),椭圆,(ab0),的左、右顶点,分别是,A,B,左、右焦点分别是,F,1,F,2,.,若,|AF,1,|,|F,1,F,2,|,|F,1,B|,成等比数列,则此椭圆的离心率为,(,),A.B.C.D.-2,3.,椭圆,(ab0),的右顶点是,A(a,0),其上存在一点,P,使,APO=90,求椭圆的离心率的取值范围,.,【,解题探究,】,1.,利用公式求离心率的关键是什么,?,2.,椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示,?,3.,求离心率的取值范围的关键是什么,?,探究提示,:,1.,利用公式求离心率的关键是准确确定,a,和,c,的值,.,2.,长轴的顶点到相应焦点的距离为,a-c,到另一侧焦点的距离为,a+c.,3.,求离心率的取值范围的关键是建立,a,b,c,的齐次不等关系式,.,【,解析,】,1.,选,D.,方程 中,a,2,=16,c,2,=16-8=8,离心率,2.,选,B.,因为,A,B,为左、右顶点,F,1,F,2,为左、右焦点,所以,|AF,1,|=a-c,|F,1,F,2,|=2c,|BF,1,|=a+c.,又因为,|AF,1,|,|F,1,F,2,|,|BF,1,|,成等比数列,所以,(a+c)(a-c)=4c,2,即,a,2,=5c,2,所以离心率,e=,3.,设,P(x,y),由,APO=90,知,:P,点在以,OA,为直径的圆上,.,圆的方程是,:(x-),2,+y,2,=(),2,y,2,=ax-x,2,又,P,点在椭圆上,故,:,把代入得,:,(a,2,-b,2,)x,2,-a,3,x+a,2,b,2,=0.,故,(x-a)(a,2,-b,2,)x-ab,2,=0,xa,x0,又,0 xa,0 a2b,2,a,2,a,2,又,0e1,故所求的椭圆离心率的取值范围是,e4,但当,k0,时,k+40,m=4.,解得,e=,3.,椭圆,25x,2,+9y,2,=225,的长轴长、短轴长、离心率依次是,(,),A.5,3,0.8 B.10,6,0.8,C.5,3,0.6 D.10,6,0.6,【,解析,】,选,B.,把椭圆的方程写成标准形式为,知,a=5,b=3,c=4.,2a=10,2b=6,=0.8.,4.,椭圆,6x,2,+5y,2,=30,上的点到其焦点的距离的最大值是,最小值是,.,【,解析,】,把方程化成标准形式得 这里,a,2,=6,b,2,=5,c,2,=a,2,-b,2,=1.,最大值为,a+c=+1,最小值为,a-c=-1.,答案,:,+1,-1,5.,已知与椭圆 有相同的离心率且长轴长与,的长轴长相同的椭圆方程为,.,【,解析,】,椭圆 的离心率为,e=,椭圆,的长轴长为,4,解得,a=2 ,c=,b,2,=a,2,-c,2,=6.,又所求椭圆焦点既可在,x,轴上,也可在,y,轴上,故方程为 或,答案,:,或,6.,椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点,到椭圆长轴端点的最短距离为,求此椭圆的标准方程,.,【,解析,】,当焦点在,x,轴上时,设椭圆方程为,由题意知,a=2c,a-c=,解得,a=2 ,c=,所以,b,2,=9,所求的,椭圆方程为,;,同理,当焦点在,y,轴上时,所求的椭圆,方程为,