22--函数的单调性与最大(小)值课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.2,函数的单调性与最大,(,小,),值,要点梳理,1.,函数的单调性,（,1,）单调函数的定义,增函数,减函数,定义,一般地，设函数,f,（,x,）的定义域为,I,.,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量,x,1,，,x,2,基础知识 自主学习,定义,当,x,1,x,2,时,都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,（,x,）在区间,D,上是减函数,图象描述,自左向右看图象是,_,自左向右看图象是,_,f,（,x,1,）,f,(,x,2,),上升的,下降的,(2),单调区间的定义,若函数,f,(,x,),在区间,D,上是,_,或,_,，则称,函数,f,（,x,）在这一区间上具有（严格的）单调性，,_,叫做,f,（,x,）的单调区间,.,增函数,减函数,区间,D,2.,函数的最值,前提,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足,条件,对于任意,x,I,，都有,_,；存在,x,0,I,使得,_.,对于任意,x,I,，都有,_,；,存在,x,0,I,使得,_.,结论,M,为最大值,M,为最小值,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）,=,M,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）,=,M,基础自测,1.,下列函数中，在区间（,0,，,2,）上为增函数的是,(),A.,y,=-,x,+1 B.,y,=,C.,y,=,x,2,-4,x,+5 D.,解析,y,=-,x,+1,y,=,x,2,-4,x,+5,分别为一次函,数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可,以看出在（,0,，,2,）上都是减函数,.,B,2.,已知函数,y,=,f,(,x,),是定义在,R,上的增函数,则,f,(,x,)=0,的,根 （）,A.,有且只有一个,B.,有,2,个,C.,至多有一个,D.,以上均不对,解析,f,（,x,）在,R,上是增函数，,对任意,x,1,x,2,R,若,x,1,x,2,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),反之亦成立,.,故若存在,f,(,x,0,)=0,则,x,0,只有一个,.,若对任意,x,R,都无,f,(,x,)=0,则,f,(,x,)=0,无根,.,C,3.,已知,f,(,x,),为,R,上的减函数，则满足,的实数,x,的取值范围是 （）,A.(-1,1),B.(0,1),C.(-1,0)(0,1),D.,（,-,-1)(1,+),解析,由已知条件：,不等式等价于,解得,-1,x,1,且,x,0.,C,4.,函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（,-,，,+,）上是减函数，则,(),A.B.,C.D.,解析,使,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（,-,，,+,）上是减函数,则,2,k,+10,；,(,x,1,-,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,；,其中能推出函数,y,=,f,(,x,),为增函数的命题为,_.,解析,依据增函数的定义可知，对于，当自变,量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推,出函数,y,=,f,（,x,）为增函数,.,题型一 函数单调性的判断,【,例,1,】,已知函数,证明：函数,f,(,x,),在,(-1,+),上为增函数,.,（,1,）用函数单调性的定义,.,（,2,）用导数法,.,证明,方法一,任取,x,1,x,2,(-1,+),不妨设,x,1,0,思维启迪,题型分类 深度剖析,又,x,1,+10,x,2,+10,于是,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,故函数,f,(,x,),在（,-1,+,）上为增函数,.,方法二,求导数得,a,1,当,x,-1,时，,a,x,ln,a,0,f,(,x,)0,在（,-1,，,+,）上恒成立，,则,f,(,x,),在（,-1,+,）上为增函数,.,对于给出具体解析式的函数，判断或证明,其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步,骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解,.,可导函,数则可以利用导数解之,.,探究提高,知能迁移,1,试讨论函数,x,(-1,1),的单,调性（其中,a,0,）,.,解,方法一,根据单调性的定义求解,.,设,-1,x,1,x,2,1,-1,x,1,x,2,1,|,x,1,|1,|,x,2,|0,即,-1,x,1,x,2,0.,因此，当,a,0,时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),此时函数为减函数；,当,a,0,时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,)0,时，,-1,x,1,即,f,(,x,)0,此时,f,（,x,),在（,-1,，,1,）上为减函数,.,同理，当,a,0,时，,f,（,x,),在（,-1,，,1,）上为减函数；,a,0,得,x,3,结合二次函数的,对称轴直线,x,=1,知,在对称轴左边函数,y,=,x,2,-,2,x,-3,是,减函数，所以在区间（,-,，,-1,）上是减函数,由,此可得,D,项符合,.,故选,D.,思维启迪,D,（,1,）复合函数是指由若干个函数复合而,成的函数，它的单调性与构成它的函数,u,=,g,(,x,),y,=,f,(,u,),的单调性密切相关，其单调性的规律为,“,同增异减,”,，,即,f,(,u,),与,g,(,x,),有相同的单调性，则,f,g,(,x,),必为增函,数，若具有不同的单调性，则,f,g,(,x,),必为减函数,.,（,2,）讨论复合函数单调性的步骤是：,求出复合函数的定义域；,把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其,单调性；,把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；,根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性,.,探究提高,知能迁移,2,函数,y,=,的递减区间为,（）,A.(1,+)B.,C.D.,解析,作出,t,=2,x,2,-3,x,+1,的示意,图如图所示，,0 0,恒成立，试求实,数,a,的取值范围,.,第,(1),问可先证明函数,f,(,x,),在,1,+),上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第,(2),问可采用转化为求函数,f,(,x,),在,1,+),上的最小,值大于,0,的问题来解决,.,思维启迪,解,设,1,x,1,x,2,则,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,1,x,1,0,2,x,1,x,2,2,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)0,f,(,x,1,)0,恒成立,x,2,+2,x,+,a,0,恒成立,.,设,y,=,x,2,+2,x,+,a,x,1,+),则函数,y,=,x,2,+2,x,+,a,=(,x,+1),2,+,a,-1,在区间,1,+),上是,增函数,.,当,x,=1,时，,y,min,=3+,a,于是当且仅当,y,min,=3+,a,0,时,函数,f,(,x,)0,恒成立，,故,a,-3.,要注意函数思想在求函数值域中的运,用,(1),中用函数单调性求函数的最小值,;(2),中用函,数的最值解决恒成立问题,.,在,(2),中，还可以使用分,离参数法，要使,x,2,+2,x,+,a,0,在,1,+),上恒成立,只要,a,-,x,2,-2,x,=-(,x,+1),2,+1,恒成立，由二次函数,的性质得,-(,x,+1),2,+1-3,所以只要,a,-3,即可,.,探究提高,知能迁移,3,已知函数,(,a,0,x,0),(1),求证,:,f,(,x,),在,(0,+),上是单调递增函数,;,(2),若,f,(,x,),在 上的值域是 求,a,的值,.,(1),证明,设,x,2,x,1,0,则,x,2,-,x,1,0,x,1,x,2,0,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,),在,(0,+),上是单调递增的,.,题型四 函数单调性与不等式,【,例,4,】,(12,分,),函数,f,(,x,),对任意的,a,、,b,R,都有,f,(,a,+,b,),=,f,(,a,)+,f,(,b,)-1,并且当,x,0,时，,f,(,x,)1.,（,1,）求证：,f,(,x,),是,R,上的增函数；,（,2,）若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-2)3.,问题,(1),是抽象函数单调性的证明,所,以要用单调性的定义,.,问题,(2),将函数不等式中抽象的函数符号,“,f,”,运,用单调性,“,去掉,”,为此需将右边常数,3,看成某个,变量的函数值,.,思维启迪,解,（,1,）设,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,)1.2,分,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,)-1-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)-10.5,分,f,（,x,2,）,f,(,x,1,).,即,f,(,x,),是,R,上的增函数,.6,分,（,2,）,f,（,4,）,=,f,（,2+2,）,=,f,（,2,）,+,f,（,2,）,-1=5,，,f,（,2,）,=3,，,8,分,原不等式可化为,f,(3,m,2,-,m,-2),f,(2),f,(,x,),是,R,上的增函数，,3,m,2,-,m,-22,10,分,解得,-1,m,故解集为,12,分,f,(,x,),在定义域上（或某一单调区间上）,具有单调性，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,若函数是,增函数,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,1,时，,f,(,x,)0.,（,1,）求,f,(1),的值；,（,2,）判断,f,(,x,）的单调性；,（,3,）若,f,(3)=-1,解不等式,f,(|,x,|)0,代入得,f,(1)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,1,)=0,故,f,(1)=0.,（,2,）任取,x,1,x,2,(0,+),，且,x,1,x,2,则,由于当,x,1,时，,f,(,x,)0,所以 即,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,因此,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,),在区间,(0,+),上是单调递减函数,.,（,3,）由,=,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,),得,=,f,(9)-,f,(3),而,f,(3)=-1,所以,f,(9)=-2.,由于函数,f,(,x,),在区间（,0,+,）上是单调递减函数，,由,f,(|,x,|)9,x,9,或,x,9,或,x,-9.,1.,根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数,f,(,x,),在其区间上的单调性，其步骤是,（,1,）设,x,1,、,x,2,是该区间上的任意两个值，且,x,1,x,2,；,（,2,）作差,f,（,x,1,）,-,f,（,x,2,），然后变形；,（,3,）判定,f,（,x,1,）,-,f,（,x,2,）的符号；,（,4,）根据定义作出结论,.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.,求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其,定,义域的子集,;,其次掌握一次函数、二次函数等基本,初等函数的单调区间,.,常用方法有：根据定义，利用,图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质,.,3.,复合函数的单调性,对于复合函数,y,=,f,g,(,x,),若,t,=,g,(,x,),在区间,(,a,b,),上是,单调函数,且,y,=,f,(,t,),在区间,(,g,(,a,),g,(,b,),或者,(,g,(,b,),g,(,a,),上是单调函数,若,t,=,g,(,x,),与,y,=,f,(,t,),的单调性相同,(,同时为增或减,),则,y,=,f,g,(,x,),为增函,数,;,若,t,=,g,(,x,),与,y,=