(精品)7.2偏导数与全微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,7.2,偏导数,与,全微分,1,一偏导数,1.,一元函数变化率与多元函数变化率,一元函数,y=f(x),只存在,y,随,x,变化的变化率，,即点,x,沿,x,轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）,o,x,y,P,x,2,二元函数,z=f(x,y),存在,z,随,x,变化的变化率随,y,变化的变化率随,x,y,同时变化的变化率。,即点,P(x,y),在域,D,内可沿,x,轴沿,y,轴沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。,o,x,y,z,M,P,D,3,2偏导数定义,定义,8.4,设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果固定 后，一元函数 在,点 处可导，即极限,存在，则称,A,为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为,或,4,记为,或,类似地，在点 处,对,y,的偏导数,定义为,5,3偏导函数概念,偏导函数：当,z=f,(,x,y,),在域内每一点,(,x,y,),处对,x,（,y,）,的偏导数都存在，,则它就是,x,y,的函数，称为偏导函数。,记号：,或,或,在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。,z=,f(x,y,),在,(,x,0,y,0,),处的偏导数是偏导函数在,(,x,0,y,0,),处的函数值,.,6,4.,偏导数的几何意义,切线,M,0,T,y,对,y,轴的斜率,o,x,y,z,M,0,P,0,x,0,y,0,T,y,T,x,z=f(x,0,y),z=f(x,y,0,),切线,M,0,T,x,对,x,轴的斜率,7,5,偏导数的计算法,对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自,变量视为常数，按一元函数求导法则计算：,求 时，只要把,y,暂时看作常量而对,x,求导数；,求 时，只要把,x,暂时看作常量而对,y,求导数。,8,例,1,求 在点(1,2)处的偏导数。,解,9,例,2,求 的偏导数。,解,：,10,解,:,例,3,设 求证：,11,例,4,求 的偏导数。,解,:,12,6.,高阶偏导数,二阶偏导数：,设 为,D,上的二元函数,，则其在,D,上的偏导数为,若二元函数 的偏导数也存在，,则称其是函数,的,二阶偏导数,。,13,z=f(x,y),的二阶偏导数,记号：,14,例,5,求二阶偏导数,解：,15,解：,16,注记,：,若 在,D,内连续，则在,D,内,（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）,类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、,n,阶,偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；,二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个，,n,阶有2,n,个；三元函数的,n,阶偏导数有3,n,个；,等等。,17,7.,偏导数的经济意义,边际需求,:,偏弹性,:,两种商品，价格分别为 和,需求函数：,称为边际需求,发生变化，而 不变时,其中：,18,发生变化，而 不变时,其中：,称为,1,商品需求量 对自身价格 的,直接价格偏 弹性,；称为,1,商品需求量 对相关价格 的,交叉价格偏弹性,。,19,二全微分,1全增量,偏增量：,对于,z=f(x,y),若两个自变量中只有一,个变化时，函数,z,的增量称为,偏增量,。,如：,矩形板在长为,x,0,，,宽为,y,0,时，若仅当长增加,x,(,或宽增加,y,)，则面积的增量是偏增量。,20,如：,矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，这时面积的改变量（增量）就是全增量。,全增量：,对于,z=,f(x,y,)，,若两个自变量都取得增量时，函数,z,的增量称为全增量。,o,x,y,x,0,y,0,y,0,+,y,x,0,+,x,x,0,y,y,0,x,x,y,21,2全微分,定义,8.5,如果函数 在点 处的改变量 可表示为,其中 与 无关，,为 时的无穷小量，即 则称表达式中的线性主部 为函数 在点 处的,全微分,，记为 即,并称函数 在点 处,可微分,或,可微。,22,定理,8.1,：,若,z=,f(x,y,),在点 可微分，则,z=,f(x,y,),在 的偏导数,必定存在，且,23,例,6,求 的全微分,解：,24,定理,8.3,：,若函数 在点 的某,邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函,数在点处可微。,定理,8.2,若函数 在点 处可微，,则该函数在点 处连续。,25,多元函数连续、偏导数存在、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数偏导数存在,26,3全微分在近似计算中的应用,27,1、偏导数的定义,2、偏导数的计算、偏导数的几何意义,（偏增量比的极限）,小结,3、多元函数全微分的概念；,4、多元函数全微分的求法；,5、多元函数连续、偏导数存在、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,28,