计算机算法第5

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学习要点,理解回溯法的深度优先搜索策略。,掌握用回溯法解题的算法框架,（,1,）递归回溯,（,2,）迭代回溯,（,3,）子集树算法框架,（,4,）排列树算法框架,1,通过应用范例学习回溯法的设计策略。,（,1,）装载问题；,（,2,）批处理作业调度；,（,3,）符号三角形问题,（,4,）,n,后问题；,（,5,）,0-1,背包问题；,（,6,）最大团问题；,（,7,）图的,m,着色问题,（,8,）旅行售货员问题,（,9,）圆排列问题,（,10,）电路板排列问题,（,11,）连续邮资问题,2,有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。,回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。,回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。,回溯法,3,问题的解空间,注意：,同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。,n=3,时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间,N=3,时的0-1背包问题,4,问题的解空间,旅行售货员问题,0-1,背包问题与旅行售货员问题的解空间的表达区别？,5,回溯法的基本思想,(1),针对所给问题，定义问题的解空间；,(2)确定易于搜索的解空间结构；,(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。,常用剪枝函数：,用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；,用限界函数剪去得不到最优解的子树。,6,递归回溯,回溯法对解空间作,深度优先搜索,，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。,void,backtrack,(int t),if,(tn),output,(x,);/,输出一个结果,else,for,(int i=,f,(n,t);i0),if,(,f,(n,t)=,g,(n,t),for(int i=,f,(n,t);in)output(x);,else,for(int i=0;in)output(x);,else,for(int i=t;i=n;i+),swap(xt,xi);,if(legal(t)backtrack(t+1);,swap(xt,xi);,9,1 2 3 4 5 6 7 8,1,2,3,4,5,6,7,8,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,n后问题,在nn格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在nn格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。,10,解向量：,(x,1,x,2,x,n,),显约束：,x,i,=1,2,n,隐约束：,1),不同列：,x,i,x,j,2),不处于同一正、反对角线：,|i-j|,|x,i,-x,j,|,n后问题,bool Queen:,Place,(int k),for(int j=1;jn),sum+;/,得到一个解,else,for(int i=1;i=n;i+),xt=i;,if(Place(t)Backtrack(t+1);,11,0-1背包问题,解空间：子集树,可行性约束函数：,上界函数：,template,Typep Knap:,Bound,(int i),/,计算上界,Typew cleft=c-cw;/剩余容量,Typep b=cp;,/以物品单位重量价值递减序装入物品,while(i=n&wi=cleft),cleft-=wi;,b+=pi;,i+;,/装满背包,if(i n)/到达叶结点,for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;,bestn=cn;return;,/检查顶点 i 与当前团的连接,int OK=1;,for(int j=1;j bestn)/进入右子树,xi=0;,Backtrack(i+1);,复杂度分析,最大团问题的回溯算法,backtrack,所需的计算时间显然为O(n2,n,),。,1,2,4,5,3,14,进一步改进,选择合适的搜索顺序,，可以使得上界函数更有效的发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性。,定义,Si=v,i,v,i+1,.,v,n,，依次求出,S,n,S,n-1,.,S,1,的解。从而得到一个,更精确的上界函数,，若,cn+S,i,n),sum+;,for(int i=1;i=n;i+),cout xi ;,cout endl;,else,for(int i=1;i=m;i+),xt=i;,if(Ok(t)Backtrack(t+1);,bool Color:,Ok,(int k),/,检查颜色可用性,for(int j=1;j=n;j+),if(akj=1),return true;,复杂度分析,图m可着色问题的解空间树中内结点个数是,对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是,17,旅行售货员问题,解空间：排列树,template,void Traveling:,Backtrack,(int i),if(i=n),if(axn-1xn!=NoEdge&axn1!=NoEdge&,(cc+axn-1xn+axn1 bestc|bestc=NoEdge),for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;,bestc=cc+axn-1xn+axn1;,else,for(int j=i;j=n;j+),/,是否可进入xj子树?,if(axi-1xj!=NoEdge&,(cc+axi-1xi bestc|bestc=NoEdge),/搜索子树,Swap(xi,xj);,cc+=axi-1xi;,Backtrack(i+1);,cc-=axi-1xi;,Swap(xi,xj);,复杂度分析,算法,backtrack,在最坏情况下可能需要更新当前最优解O(n-1)!)次，每次更新bestx需计算时间O(n)，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n!)。,18,圆排列问题,给定n个大小不等的圆c1,c2,cn，现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为,19,圆排列问题,float Circle:,Center,(int t),/,计算当前所选择圆的圆心横坐标,float temp=0;,for(int j=1;jtemp)temp=valuex;,return temp;,void Circle:,Compute,(void),/,计算当前圆排列的长度,float low=0,high=0;,for(int i=1;i=n;i+),if(xi-rihigh)high=xi+ri;,if(high-lown)Compute();,else,for(int j=t;j=n;j+),Swap(rt,rj);,float centerx=Center(t);,if(centerx+rt+r1min)/,下界约束,xt=centerx;,Backtrack(t+1);,Swap(rt,rj);,复杂度分析,由于算法,backtrack,在最坏情况下可能需要计算O(n!)次当前圆排列长度，每次计算需O(n)计算时间，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n+1)!),上述算法尚有许多改进的余地。例如，象,1,2,n-1,n,和,n,n-1,2,1,这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计算一个就够了，可减少约一半的计算量。另一方面，如果所给的,n,个圆中有,k,个圆有相同的半径，则这,k,个圆产生的,k!,个完全相同的圆排列，只计算一个就够了。,20,连续邮资问题,假设国家发行了n种不同面值的邮票，并且规定每张信封上最多只允许贴m张邮票。连续邮资问题要求对于给定的n和m的值，给出邮票面值的最佳设计，在1张信封上可贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间。,例如，当n=5和m=4时，面值为(1,3,11,15,32)的5种邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是1到70。,21,连续邮资问题,解向量：用,n,元组,x1:n,表示,n,种不同的邮票面值，并约定它们从小到大排列。,x1=1,是唯一的选择。,可行性约束函数：已选定,x1:i-1,，最大连续邮资区间是,1:r,，接下来,xi,的可取值范围是,xi-1+1:r+1,。,如何确定r的值？,计算X1:i的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，因此势必要找到一个高效的方法。考虑到直接递归的求解复杂度太高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x1:i的邮票贴出邮资k所需的最少邮票数yk。通过yk可以很快推出r的值。事实上，yk可以通过递推在O(n)时间内解决：,for,(int j=0;j=xi-2*(m-1);j+),if,(yjm),for,(int k=1;k=m-yj;k+),if,(yj+kyj+xi-1*k)yj+xi-1*k=yj+k;,while,(yrmaxint)r+;,22,回溯法效率分析,通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素：,(1)产生xk的时间；,(2)满足显约束的xk值的个数；,(3)计算约束函数,constraint,的时间；,(4)计算上界函数,bound,的时间；,(5)满足约束函数和上界函数约束的所有xk的个数。,好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，,在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。,23,重排原理,对于许多问题而言，在搜索试探时选取xi的值顺序是任意的。,在其它条件相当的前提下，让可取值最少的xi优先,。从图中关于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力。,图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明显比后者好。,(a),(b),24,25,