离散型随机变量及其分布列

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5讲,离散型随机变量及其分布列,1,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.,2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.,3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解,n,次,独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际,问,题,.,2,1.随机变量,(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字,母,X,，,Y,，,，,表示.,(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变,量.,(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫,做连续型随机变量.,3,2.条件概率及其性质,(1)条件概率的定义：,A,发生的条件下，事件,B,发生的概率.,(2)条件概率的求法：,求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,4,(3)条件概率的性质：,0,1,条件概率具有一般概率的性质，即_,P,(,B,|,A,)_；,若,B,和,C,是两个互斥事件，则,P,(,B,C,|,A,),P,(,B,|,A,),P,(,C,|,A,).,3.事件的相互独立性,P,(,A,),P,(,B,),(1)设,A,，,B,为两个事件，若,P,(,AB,)_，则称事件,A,与事件,B,相互独立.,5,4.离散型随机变量的分布列,称为离散型随机变量,X,的概率分布列，简称为,X,的分布列.,有时为了表达简单，也用等式,P,(,X,x,i,),p,i,，,i,1,2，,n,表,示,X,的分布列.,一般地，若离散型随机变量,X,可能取的不同值为,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，,x,n,，,X,取每一个值,x,i,(,i,1,2，,，,n,)的概率,P,(,X,x,i,),p,i,，则表：,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,6,X,0,1,P,1,p,p,5.离散型随机变量分布列的性质,(1),p,i,0(,i,1,2，,n,).(2),p,1,p,2,p,n,1.,6.常见的离散型随机变量的分布列,(1)两点分布：,如果随机变量,X,的分布列为：,其中 0,p,35,，所以,2013,年该居民区,PM2.5,年平均浓度不,符合环境空气质量标准，,故该居民区的环境需要改进,.,(3),记事件,A,表示,“,一天,PM2.5,的,24 小时平均浓度符合环,31,32,【规律方法】,(1),判断一个随机变量是否服从二项分布，关,键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其,一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了,n,次,.,(2),二项分布满足的条件：,每次试验中，事件发生的概率是相同的；,各次试验中的事件是相互独立的；,每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；,随机变量是这,n,次独立重复试验中事件发生的次数,.,33,【互动探究】,3.一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，从袋子里,随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到 1 个红球得,2 分，取到 1 个黑球得 1 分.,(1)若从袋子里一次随机取出 3 个球，求得 4 分的概率；,(2)若从袋子里每次取出 1 个球，看清颜色后放回，连续取,3 次，求得分,的概率分布列.,34,35,36,思想与方法,分类讨论思想与离散型随机变量的结合,例题：,(2014,年福建,)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖,的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4,个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面,值之和为该顾客所获的,奖励额,.,(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其,余 3 个均为 10 元，求：,i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率；,ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,37,(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个,球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值,为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可,能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋,中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.,38,X,20,60,P,0.5,0.5,ii),依题意，得,X,的所有可能取值,20,60.,即,X,的分,布列为：,所以顾客所获的奖励额的期望为,E,(,X,),200.5,600.5,40.,39,(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.,对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1；,对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.,40,以下是对两个方案的分析：,对于方案,1,，即方案,(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为,X,1,，则,X,1,的分布列为,41,对于方案,2,，即方案,(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额,为,X,2,，则,X,2,的分布列为：,由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案,2,奖励,额的方差比方案,1,的小，所以应该选择方案,2.,42,【规律方法】,本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率,的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力,.,尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时,候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质,来检查分类讨论是否有所遗漏或重复,.,43,