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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第五章,定积分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、,定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的近似计算,定积分的概念及性质,第,五,章,四、定积分的性质,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1),大化小.,在区间,a,b,中,任意,插入,n,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形;,2),常代变.,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程,s,.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,n,个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的,共性,:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,(,P225),任一种,分法,任取,总趋于确定的极限,I,则称此极限,I,为函数,在区间,上的,定积分,即,此时称,f,(,x,),在,a,b,上,可积,.,记作,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充分条件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证明略),例,1.,利用定义计算定积分,解:,将 0,1,n,等分,分点为,注,注,注,.当,n,较大时,此值可作为,的近似值,注,利用,得,两端分别相加,得,即,例,2.,用定积分表示下列极限:,解,:,三.定积分的近似计算,根据定积分定义,可得如下近似计算方法:,将,a,b,分成,n,等份:,1.左矩形公式,例1,2.右矩形公式,推导,3.梯形公式,4.抛物线法公式,抛物线法公式的推导,上作抛物线(如图),则,以抛物线为顶的小曲边梯形,面积经推导可得：,例3.,用梯形公式和抛物线法公式,解:,计算,y,i,(,见右表),的,近似值.,i,x,i,y,i,0,0.0,4.00000,1,0.1,3.96040,2,0.2,3.84615,3,0.3,3.66972,4,0.4,3.44828,5,0.5,3.20000,6,0.6,2.94118,7,0.7,2.68456,8,0.8,2.43902,9,0.9,2.20994,10,1.0,2.00000,(取,n,=,10,计算时取5位小数),用,梯形公式得,用,抛物线法公式得,积分准确值为,计算定积分,四、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(,k,为常数),证:,=右端,证:,当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取,c,为分点,于是,当,a,b,c,的相对位置任意时,例如,则有,6.,若在,a,b,上,则,证:,推论1.,若在,a,b,上,则,推论2.,证:,即,7.,设,则,例4.,试证:,证:,设,则在,上,有,即,故,即,8.,积分中值定理,则至少存在一点,使,证,:,则由,性质,7,可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例5.,计算从 0 秒到,T,秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:,已知自由落体速度为,故所求平均速度,内容小结,1.,定积分的定义,乘积和式的极限,2.定积分的性质,3.积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,抛物线法公式,思考与练习,1.,用定积分表示下述极限:,解:,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0!,2.,P235,题3,3.,P236,题13,(2),(4),题13,(4),解:,设,则,即,作业,P235,*,2,(2);,6,;,7;,10,(3),(4),;12,(3),;,13,(1),(5),第二节,
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