微分方程的解课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.1,微分方程的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,6.1 微分方程的基本概念 机动 目录 上页,引例,1.,一曲线通过点,(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解,:,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,) ,则有如下关系式,:,(,C,为任意常数,),由,得,C,= 1,因此所求曲线方程为,由,得,切线斜率为,2,x,求该曲线的方程,.,6.1.1,引出微分方程的两个实例,引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解:,引例,2.,列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律,.,解,:,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米 ,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明,:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程,.,即求,s,= s,(,t,) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程,),6.1.2,微分方程,一般地,n,阶常微分方程的形式是,的,阶,.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,引例,2,使方程成为恒等式的函数,.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的,初始条件,(,或初值条件,),:,的阶数相同,.,特解,引例,1,通解,:,特解,:,微分方程的,解,不含任意常数的解,初始条件,其图形称为,积分曲线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2 使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意,例,1.,验证函数,是微分方程,的解,的特解,.,解,:,这说明,是方程的解,.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得,:,故所求特解为,故它是方程的通解,.,并求满足初始条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 验证函数是微分方程的解,的特解 . 解: 这说明是,求所满足的微分方程,.,例,2.,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,如图所示,令,Y,= 0 ,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,求所满足的微分方程 .例2. 已知曲线上点 P(x, y),转化,6.2.1,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.2,常见微分方程的解法,解分离变量方程,可分离变量方程,转化 6.2.1 可分离变量微分方程 机动 目录,分离变量方程的解法,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分离变量,:,两边积分,:,分离变量方程的解法:机动 目录 上页 下页,例,1.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,说明,:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解,.,(,此式含分离变量时丢失的解,y,= 0,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得两边积分得即(,例,2.,解初值问题,解,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,= 1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得,例,3.,求下述微分方程的通解,:,解,:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 则故有即解得(,练习,:,解,:,分离变量,即,(,C, 0,),练习:解: 分离变量即( C 0 ),例,4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律,.,解,:,根据题意,有,(,初始条件,),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分,:,已知,t,= 0,时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t),例,5.,成正比,求,解,:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,= 0 ),速度为,0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系,.,t,足够大时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.成正比,求解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程,例,6.,有高,1m,的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度,h,随时间,t,的变,解,:,由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律,.,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,设在,内水面高度由,h,降到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开,对应下降体积,因此得微分方程定解问题,:,将方程分离变量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动,两端积分,得,利用初始条件,得,因此容器内水面高度,h,与时间,t,有下列关系,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两端积分, 得利用初始条件, 得因此容器内水面高度 h 与时,内容小结,1.,微分方程的概念,微分方程,;,定解条件,;,2.,可分离变量方程的求解方法,:,说明,:,通解不一定是方程的全部解,.,有解,后者是通解,但不包含前一个解,.,例如,方程,分离变量后积分,;,根据定解条件定常数,.,解,;,阶,;,通解,;,特解,y = x,及,y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,.,常用的方法,:,1),根据几何关系列方程,(,如,: P263,5(2) ),2),根据物理规律列方程,(,如,:,例,4 ,例,5 ),3),根据微量分析平衡关系列方程,(,如,:,例,6 ),(2),利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,.,(3),求通解,并根据定解条件确定特解,.,3.,解微分方程应用题的方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1,思考与练习,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),分离变量,(2),方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习 求下列方程的通解 :提示:(1) 分离变量,6.2.2,齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,分离变量,:,6.2.2 齐次方程形如的方程叫做齐次方程 .令代入原方,例,1.,解微分方程,解,:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,= 0,时,y,= 0,也是方程的解,),(,C,为任意常数,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程,例,2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,= 0 ,y,= 0 ,y = x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数,),求解过程中丢失了,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即,6.2.3,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.,解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程,微分方程的解课件,微分方程的解课件,例,2.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 解方程 解: 先解即积分得即用常数变易法求特解.,6.2.4,伯努利,( Bernoulli ),方程,伯努利方程的标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解,.,解法,:,(,线性方程,),6.2.4 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利,例,2.,求方程,的通解,.,解,:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求方程的通解.解: 令则方程变形为其通解为将代入,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,化为线性方程求解,.,2.,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用,思考与练习,判别下列方程类型,:,提示,:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习判别下列方程类型:提示: 可分离 变量方程齐次方,(,雅各布第一,伯努利,),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家,.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695,年,版了他的巨著,猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式,.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694,年他首次给出了直角坐,1713,年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究,.,( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方,6.2.6,二阶常系数线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式,二阶线性齐次微分方程,6.2.6 二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的,证毕,1,、二阶线性微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的,两个解,也是该方程的,解,.,证,:,代入方程左边,得,(,叠加原理,),定理,1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕1、二阶线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,说明,:,不一定,是所给二阶方程的通解,.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,定义,:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在,(, , ,),上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,若存在,不全为,0,的常数,定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件,:,线性相关,存在不全为,0,的,使,(,无妨设,线性无关,常数,思考,:,中有一个恒为,0,则,必线性,相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关,定理,2.,是二阶线性齐次方程,的两个,线性无关特解,则,数,),是该方程的,通解,.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,),是相应齐次方程的通解,定理,3.,则,是非齐次方程的通解,.,证,:,将,代入方程,左端,得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而,也是通解,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方,2,、 二阶常系数齐次线性微分方程,:,特征方程,:,实根,特 征 根,通 解,2、 二阶常系数齐次线性微分方程:特征方程:实根 特 征,例,1.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程的通解为,例,2.,求解初值问题,解,:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例2,微分方程的解课件,6.2.7,二阶常系数非齐次,线性微分方程,一、,二、,6.2.7 二阶常系数非齐次一、二、,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式,.,Q,(,x,),为,m,次待定系数多项式,一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,即,即,(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解,例,1.,的一个特解,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .,例,2.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通,