电势及其梯度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,电势及其梯度,静电场力做功与路径无关,电荷间的作用力是有心力 环路定理,讨论静电场的环流,静电场：电力线不闭合,可以猜到静电场的环流为零,证明,单个点电荷产生的场,把试探电荷,q,0,从,P,移到,Q,静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关,点电荷组产生的场,在电场中把试探电荷从,P,移至,Q,电场力所做的功,P到 q,1,的距离,Q到q,1,的距离,每项均与路径无关，只与位置有关,任意有限大的带电体产生的电场,可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷,点电荷组,结论,：,在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关。,静电场的环路定理,静电场力做功与路径无关,等价于,静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零,在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径,L,从,pQP，,电场力所做的功为,说明：,（1）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。,(2)环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、无旋场。,静电场的环路定理,在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。,讨论,在证明,Gauss,定理中，说电力必须与,r,2,成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与,r,2,成反比？,答：不一定,哪些力具有做功与路径无关这种性质？,引力 引入引力势能,重力 引入重力势能 势函数,弹性力 引入弹性势能 （位）,静电力 引入静电势能,电势能、电势差、电势,可以与重力做功类比,电场力做正功，电势能将减少,电场力做负功，电势能将增加,电势能的改变量,q,0,在,P点的电势能,q,0,在,Q点的电势能,电势增量,定义,静电场与 q,0,有能量交换,电场力的功,电势的定义,从中扣除,q,0,即引入电势,P、Q,两点之间的电势差定义为,从,P,点到,Q,点移动单位正电荷时电场力所作的功,单位正电荷的电势能差,（三）电势(electric Potential),电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点,“标准点”过程中电场力作的功。（令“标准点”的电势为零）,电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的空间里，通常选择无穷远处为电势零点。,（2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取有限位置处为电势零点。,（3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。,空间某点的电势值,例：选择无穷远为势能零点,P,点电势值为,两点之间电势差可表为两点电势值之差,单位：1,V(,伏特）1,J/C,讨论,电势,与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是,标量。,电势U,P,：P与无穷处电势差,电势零点 选取,可以任意选取,选择零点原则：场弱、变化不太剧烈,问题,无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？,例:,2.电势的计算,(1)用定义法求U,例1.真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电,球所在空间任意一点P的电位U=？,解：,由高斯定理已求得电场分布：,设 r,，U=0,P点处在球外 rR：,P点处在球内 rR,E=0,=0,0,R,41,带电球面的电位分布：,R,r,1,球内电位处处相等，均为：,2,球面处U是连续。,与电场分布比较：,球内E=0，是球面上各点电荷在球内,的场强迭加为 0。,球内U,0，,是将单位正电荷从球内移,到无穷远电场力作功 A,0。,R,r,E,o,R,注：,结论：,42,例2.半径为 R的无限长带电圆柱，电荷体密度为,，,求离轴为 r处的,U,=？,R,.,p,r,解：由高斯定理求得各处的电场,设r,U,=0,设 r=R处，U=0,0,r=0处，,U=U,max,=,43,例题,3、一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。,解,电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极,K,出发到达阳极,A.静电场力是保守力，按能量守恒,电子到达阳极时获得的动能为,电子伏特,电子伏特：能量单位,带有电量+,e,或-,e,的粒子飞跃一个电势差为1V的区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得这么多能量（动能）1,eV,电势叠加原理,点电荷组有,连续带电体有,电场中某点的电势等于各电荷,单独,在该点产生的电势的叠加(代数和)。,电势叠加原理,注意：1、电势零点必须是同一个标准点。,2、空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。,3、电势是标量，积分是标量迭加。所以电势叠加,比电场叠加要简便。,例:,例16.点电荷q,1,=q,2,=q,3,=q,4,=4,10,-9,C,放置在一正方形的,的四个顶角上，各顶角距中心5cm.,求：(1)中心o点的电势,(2)将q,o,=1,10,-9,C从无穷远移到o点,电场力作的功。,o,解：,(1)各点电荷在o点处的电位,(2)由定义可知：,将单位正电荷,从无穷远移到o点,电场力作的功为 A=U,o,。,将电荷q,o,从无穷远移到o点,电场力作的功为：,A=q,o,U,o,=28.810,-11,J,46,例17.计算均匀带电Q的圆环轴线上任意一点P的,电势U=？,R,X,解：取环上电荷元 ，,其在P点产生的电势,相当于点电荷,dq=,2rdr,.,P,当x=0，,1,当x R，,2,若是一带电圆盘？,3,47,讨论：,求电势,用电势定义求：,用电势叠加原理求,P35,例题1112自己看,补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为,R,a,和,R,b,，,带电总量分别为,Q,a,和,Q,b,求图中、区内的电势分布,方法一：已知场强求电势,方法二：电势叠加,各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的,电势的叠加,：,：,：,小结：,求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；,电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；,电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易.,电场强度和电势,已知场强 可求电势,已知电势 可否求场强？,等势面,等势面与电力线处处正交,证明：,设一试探电荷,q,0,沿任意一个等势面作一任意元位移,dl,电场力所做的元功,等势面密集处场强大，稀疏处场强小,证明：,设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为,因为相邻等势面电势差为一定值，所以有,半径之差,r,2,定值,电势梯度,场有分布，沿各方向存在不同的方向微商,梯度：物理量对空间坐标的微商,最大的方向微商,如 速度梯度 温度梯度等,沿,l,的方向微商可以表示为,若取垂直方向，即场强方向,n,，,则沿该方向的方向微商为,结论,：两等势面间U沿n 方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大,电势梯度,方向：,沿电势变化最快的方向,大小：,在三微空间,电势梯度与场强的关系,n,很小，,场强,E,变化不大,E总是沿着指向电势减少的方向E与n相反,在数学场论中把,矢量微分算符,直角坐标系表示,例18.一个均匀带电圆环,半径为R，电量为Q。,求其轴线上任意一点的场强。,X,.,P,o,解：根据点电荷电位叠加，P点的电位,P点的电场：,方向沿X轴正向,51,即：E 取决于U 在该点的空间变化率,而与该点U 值的大小无关。,2,E的又一单位：V/m,=N/C,3,求E的三种方法,点电荷电场叠加：,用高斯定理求对称场：,电位梯度法：,注：,1,52,小结：,一、静电场性质的表现,1、静电场对于置于场内带电体有力的作用,2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它作功。,二、表征电场性质的物理量,1、,E,点电荷：,点电荷组：,：,分布电荷：,连续电荷体分布：,面分布：,线分布：,点电荷组：；分布电荷：,3,、,E,与,U,的关系：；,三、静电场基本定理,1,、高斯定理：,2,、环路定理：,2、电势,U,空间任意点：,点电荷：,解题方法,：,一、求解电场分布的方法,1、利用迭加原理,2、利用高斯定理,3、利用,E,、,U,关系：已知,E,求,U,，；,已知,U,求,E,，,二、常用解题公式,1,、电偶极子的场强：,延长线上：,中垂面上：,2、均匀带电无限长细棒场强：,3、均匀带电细环的场强：,轴上：,环心：,4、均匀带电无限大平面外场强：,两均匀带异号电荷无限大平面：,5、均匀带电球壳场强：,rR,E=0 rR,