量子力学初步课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,、一维简谐振子势,势能,势能函数是,一条抛物线,哈密顿方程为：,谐振子,势能为,V(x),、,质量为,m,的粒子,1、一维简谐振子势势能势能函数是哈密顿方程为：谐振子势能为,由于,待定,，,变系数的常微分方程,谐振子的角频率,方程化为,由于待定，变系数的常微分方程谐振子的角频率方程化为,其通式为：,前,5,个厄米多项式为：,其通式为：前5个厄米多项式为：,偶函数,奇函数,波函数的空间,对称是偶性的,，,就称宇称是偶,性的,偶宇称,奇宇称,波函数的图形,偶函数奇函数波函数的空间奇宇称波函数的图形,零点能,所以谐振子的能量本征值为,:,由,谐振子的角频率,谐振子的能量是等间隔的分立能级，,而且量子数,n,取最小值,0,时，谐振子的能,量,并不为,0,。,这也意味着，,量子束缚态的,动能不可能为零,，,与经典的情况不相同！,这是波粒二象性的,表现，它满足不确,定关系的要求！,零点能 所以谐振子的能量本征值为:由谐振子的角频率谐振子的能,谐振子的几率分布,在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零,微观粒子运动的特点：,它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。,这在经典理论看来是不可能出现的！,谐振子的几率分布 在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零,物理意义：,1,）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。,2,）最低能态的总能量（或称之为,零点能,）为：,3,）位于谐振子势井中的质点，,量子力学,的结果：当,n=0,时，在,x=o,处粒子,出现的几率最大,。,经典力学,则认为：当,n=0,时，在,x=o,处粒子,出现的几率最小,。,当量子数,n,很大时与经典力学的结果趋于一致！,当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐振动或晶体点阵上的原子振动处于基态,对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着,量子的束缚态是不可能为零的。,物理意义：3）位于谐振子势井中的质点，当温度趋于绝对零度时，,例题,1,：,设想一个质量为,m=1g,的小球，悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为,A=1mm,的简谐振动。弹簧系数为,k=0.1N/m,。按量子理论计算：,1,）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？,2,）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？,例题1：,例题,2,：,HCL,气体能强烈吸收波长为,3.465um,的红外辐射。这是,HCL,分子振子吸收入射光子能量的结果。 求：,1,）振子的振动频率；,2,）绝对零度时一摩尔,HCL,气体的总振动能量。,例题2：,2,、一维无限深势阱,如图，,中，势能为,0,；,、,中，势能为,不分区的哈密顿方程,I,区中,I,II,III,E,:,动能,0,通解为,目的：,了解势井中量子状态的特点，,分立能级、零度能等,。,为无限深势阱中势能是常量，粒子不受力做自由运动,令,2、一维无限深势阱如图，中，势能为0；不分区的哈密顿方程I,II,、,III,区中,哈密顿方程为,：,其形式上的通解,：,依据波函数的边界条件,表明：势阱外的波函数为,0,由于,就有上式,II、III区中哈密顿方程为：其形式上的通解：依据波函数的边,该齐次方程非,零解的条件为：,势井中波函数 ，在井壁上必定为,0,，,所以边界条件为：,即有,该齐次方程非势井中波函数,因而有,即,而,势井中粒子的,能量本征值,1,）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点,结论：,因而有即而势井中粒子的1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中,进一步确定,本征函数,2,）不存在,n=0,的波函数，零点能不为零,:,为什么？,这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：,势阱中的位置不确定量为,x,a,不可能有,进一步确定2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:为什么？这,若对波函数归一化,当 时，依据边界条件，有,归一化条件,就是粒子在,整个空间内,出现的总概,率为,1,可得,若对波函数归一化当 时，依据边界,偶宇称,奇宇称,粒子的能量本征函数与坐标关系,偶宇称奇宇称粒子的能量本征函数与坐标关系,偶函数,奇函数,偶宇称,奇宇称,概率密度图形,偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形,由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：,1,）,这里由粒子的波动性给出的,概率密度的周期性分布,与,经典粒子分布,完全不同。按经典理论，粒子在阱内来来回回自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子的能量无关。,2,）,与经典粒子不同的第二点。由,量子粒子,的,最小能量为,：,这,符合,不确定关系，因为,量子粒子,在有限空间内运动，其速度,不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态,由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：量子粒子的这符合不确,3,）,由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量,:,相应地，粒子的德布罗意波长为：,该波长也量子化了，它只能是势阱宽度两倍的整数分之一。,它就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。,无限深势阱中粒子的每一个能量本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波,!,3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量:相应地，粒子的,例题,在原子核 内的,质子,和,中子,可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（,n=2,）到基态（,n=1,）转变时，放出的能量是多少,MeV?,例题,例题,根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成，前者的幅是,1/2,，后者的幅是 （,这就意味着基态的基本概率是,1/4,，第一激发态的基本概率是,3/4,）。,试求这一叠加态的概率分布。,例题 根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在,3,、,阶跃势,定义：势能在空间某一位置由一个值突然变,为另一个值的势场。,粒子在阶跃势场中的运动,在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：,a),对,x0,区域，,V(x)=0,X0,区域要使 满足,“,有限,”,的要求，,必须要求,C=0,。,要使波函数连续，在,x=0,的位置应该有：,b) x0,区域,V(x)=V,0,薛定谔可以写为,：,其通解为：,如果这两个区域波函数满足物理条件，那么这四个解它一定,是,单值,、,有限,和,连续,，否则就不满足波函数的标准条件。,首先它们满足,单值,性的要求,在x0区域要使 满足“有限”的要求，b) x0,把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：,于是,另外，势能在全区域有限，且波函数和能量,E,也有限，从而波,函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续，有：,D,为任意常数，它取决于波函数振幅的大小，可由归一化条件确定,把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：于是另外，势能在全区,物理意义：,X0,，,它们的概率密度为：,在此区域随,x,的增大而随指数快速衰减，但在,x=0,的附近不为零,。,表明，在,X0,的区域有一定的几率能够发现或找到粒子的可能！,由上式可知，出现这种几率只在,x=0,的很小的区域内，即,它常称为：,透入距离,范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零,X0，它们的概率密度为：在此区域随x的增大而随指数快速衰减,在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，要想越过这个势能区是完全不可能的！,但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域内，即势阱之外，波函数并不等于零。,说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，,意味着,但它可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。,在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越,如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动能可能有负值？,在,区（,EV,0,）,可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率,已降为,1/e,。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置,不确定度。即,这要归之于,不确定关系,！,若,如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动能可能有负值？,根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：,粒子进入的速度可以认为是,于是粒子进入的时间不确定度为：,根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：粒子进入的,由此，按,能量时间,不确定关系式，粒子能量的不确定度为,此时，粒子的总能量将是,粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的,负动能,值。,因此，该,负动能,只不过是被不确定关系,“,掩盖,”,了，它只是一,种观察不到的,“,虚,”,动能。这和实验上能观察到的能量守恒并,不矛盾。,由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为此时，粒,4,、方势垒,方势垒如图所示，哈密顿方程为,通解,通解,方程同,区，但这,里无反射波，故,4、方势垒方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解方程同区，但,如果粒子是从势垒的左边入射，,通解 中,表示从左侧入射的波,(,粒子,),表示碰撞器壁后被反射回去的波,(,粒子,),由于在势垒右侧原来没有粒子，所以,B,3,=0,于是,表示,贯穿势垒后,而透射过来的波,(,粒子,),如果粒子是从势垒的左边入射，表示从左侧入射的波(粒子)表示碰,可以计算出粒子流量，用,几率流密度,表示,粒子从,I,区经过,势垒,进入,III,区，称作,势垒贯穿,或,隧道效应。,可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：,一阶微商连续,可以计算出粒子流量，用几率流密度表示粒子从I区经过势垒进入I,粒子从,I,区经过,势垒,进入,III,区的穿透率,还,可用如下方法计算,入射粒子的概率,(,几率,),幅,反射粒子的概率幅,贯穿势垒的粒子的几率幅,所以透射率和反射率可按下面的方法求出：,粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率还可用如下方法计算入射,通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度,V,0,比入射粒子能量,E,大得多，或势垒较宽时，即,物理意义：,1,）,能量,E,小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势垒。透射系数,T,与势垒宽度,a,、,(V,0, E),和粒子质量有关,2,）,随着势垒宽度,a,的增加，透射率,T,按指数衰减。,通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度V0比入射粒子能量,若把上式简单看做主要是由指数部分,决定的，于是,如果在势垒内部距表面距离为,d,处，几率衰减为表面的,1/e,，,则,d,被定义为粒子在势垒中的穿透深度：,透射,系数,若把上式简单看做主要是由指数部分如果在势垒内部距表面距离为d,例：试求入射电子能量为,1ev,，势垒高度为,2ev,，宽度为,的 几率。如果粒子是质子，求透射系数。,解：由势垒宽度,电子：,质子：,其质量是电子的,1840,倍，质子的质量约为,940,MeV,例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为2ev，宽度为解：由,例，一粒子质量为,1kg,，势垒的厚度,a=10cm,，,V0-E=1eV,，穿透几率约为：,几乎不能穿透！,这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少,1eV,，其量子效应也是极其不明显的。,而对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了！,例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a=10cm，V0-E=1,经典,量子,聊斋志异,中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙,而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定,道理的，只不过是概率“小”了些而已。,经典聊斋志异中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙,利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的,粒子衰变,现象,如果一核半径为,R,，,粒子在核内由于核力的作用，其势能很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如：,核，其库仑势垒可达,35,Mev,，而这种核在,粒子衰变过程中放出的,粒子的能量 不过,4.2,Mev,。理论计算表明这些,粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。,粒子衰变解释,利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的粒子衰变现象粒子衰,热核反应,所释放的核能是两个带正电的核，如 和 ，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚会到一起的。,这些核的能量越大，它们要穿过的势垒厚度就越小，聚合的概率就越大。这就是为什么,热核聚变反应,需要高达 的高温的原因。,热核聚变解释,热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如 和 ，聚合,黑洞,的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的“单向壁”。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。,理论物理学家霍金,(,S.W.Hawking,),认为,黑洞并不是绝对黑的。黑洞内部的物质,能,通过量子力学隧道效应而逸出。,但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度约为 ，约需要 年才能完全“蒸发”消失。,不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞,(,质量大约是太阳的 倍,),，经过 年到现在已经蒸发完了。,黑洞的解释,黑洞的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的“单向壁”。该,扫描隧穿显微镜工作原理,1981,年瑞士苏黎世,IBM,公司的两位科学家宾宁,(G.Bonning),和罗赫尔,(H.Rohrer),研制成了一种扫描隧穿显微镜,(STM),可以精确观察材料表面结构，因而成了研究物理表面和其它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，他们二人和电子显微镜的发明者鲁斯卡,(E.Ruska),分享了,1986,年度的诺贝尔物理学奖。,1988,年我国科学家设计成了新型的,STM,，分辨率可达原子量级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界的奥秘提供了必要的物质基础。,扫描隧穿显微镜工作原理1981年瑞士苏黎世IBM公司的两位科,通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它的能量低于表面外的空间的势能,(,零,),。如果针尖与待测物之间距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。,在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针尖中的电子还不能越过,“,空隙,”,这一势垒进入平面，,但有一定的概率穿越势垒,，形成,“,隧道电流,”,。,隧道电流的大小对势垒宽度,(,针尖到平面的距离,),的变化非常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描绘出平面高低变化的轮廓。扫描隧道显微镜,(STM),分辨率极高，其横向分辨率达,0.1nm,纵向为,0.01nm,，可,分辨出单个原子,。,STM,技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺陷，还可利用,STM,针尖对原子和分子进行操纵和移动，重新排布原子和分子。应用到生命科学中，可研究,DNA,分子的构形等。,通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它的,A,B,d,E,U,0,U,0,U,0,电子云重叠,A,B,U,隧道电流,i,d,探针,样品,用隧道效应观察样品表面的微结构,图象处理系统,扫描探针,样品表面电子云,d,变,i,变,反映表面情况,A-,常数,样品表面平均,势垒高度,(eV),d10,ABdEU0U0U0电子云重叠ABU隧道电流id探针样品用隧,隧道电流,反馈传感器,参考信号,显示器,压电控制,加电压,扫描隧道显微镜示意图,隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜,量子力学初步课件,量子力学初步课件,操纵原子不是梦 “原子书法”,1994,年中国科学院科学家“写”出的,平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米,“原子和分子的观察与操纵”,-,白春礼 插页彩图,13,硅单晶,表面直,接提走,硅原子,形成,2,纳米的,线条,操纵原子不是梦 “原子书法” 1994年中国科学院科,一、几个重要的物理实验,1,、,卢瑟福的,粒子散射实验，证实了原子的核式结构,2,、,弗兰克,赫兹实验，证实原子内部分立能级的存在,3,、黑体辐射，光电效应实验证实了光具有粒子性,4,、,Compton,散射实验，证实了光的粒子性,5,、戴维孙,革末实验，证实了电子的波动性,本 章 小 结,一、几个重要的物理实验本 章 小 结,卢瑟福的核式模型,Bohr,氢原子模型,氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系,里德伯方程，光谱项及其组合法则,Bohr,模型的三个基本假设,由,Bohr,模型获得里德伯常数,二、模型、假设与验证,卢瑟福的核式模型二、模型、假设与验证,三、量子力学初步,波粒二象性：,de Broglie,的物质波,由波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确定关系；量子态。,薛定谔方程的含义、力学量的算符、力学量的平均值。,哈密顿方程的本征值、本征函数。,三、量子力学初步,四、重要公式与常数,1,、黑体辐射,普朗克量子假设：谐振子能量为,n=1,2,3,普朗克热辐射公式：,黑体的光谱辐射出射度,斯特潘,-,波尔兹曼定律：,黑体的总辐射出射度,其中,四、重要公式与常数1、黑体辐射n=1,2,3,普朗克热,维恩位移定律：,光谱辐射出射度最大时光的频率,2,、,光电效应,光子：光,（,电磁波,）,是由光子组成的。,每个光子的能量：,每个光子的动量：,光电效应方程：,光电效应的红限频率：,其中,维恩位移定律：光谱辐射出射度最大时光的频率2、光电效应每个光,3.,康普顿散射,散射公式：,康普顿波长,(,电子,),：,4.,粒子的波动性,德布罗意假设：,粒子的波长,5.,海森伯不确定关系：,它是波粒二象性的反映,位置和动量不确定关系,能量和时间不确定关系,3.康普顿散射散射公式：康普顿波长(电子)：4.粒子的波动性,6.,薛定谔方程（一维）,定态薛定谔方程,其中 为定态波函数,波函数,上述微分方程的线性表明，,波函数,和,定态波函数,都服从叠加原理。,波函数必须满足的标准物理条件：单值、有限、连续。,6.薛定谔方程（一维）定态薛定谔方程其中,7.,一维无限深势阱中的粒子,能量量子化,概率密度分布不均匀。,德布罗意波长量子化：,8.,势垒穿透,微观粒子可以进入其势能（有限的）大于其总能量的区域，,这是由不确定关系决定的。,在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒到达另一侧，这种,现象称之为,隧道效应,或,隧穿效应,。,7.一维无限深势阱中的粒子能量量子化德布罗意波长量子化：8.,9.,谐振子,能量量子化,零点能,粒子穿越势垒的,透射概率,9.谐振子能量量子化零点能粒子穿越势垒的,