第6章-连续系统的离散化方法及近似解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 连续系统的离散化方法及近似解,连续系统的精确解只适用于简单构件形状和边界条件，关于这些精确解的讨论和分析有助于理解连续体振动的基本特征，也有助于构造近似解和检验近似方法的误差。,当构件形状复杂或边界条件,复杂时，只能求近似解,常用的,近似解法大致分为两大类：,物理离散法,和,函数展开法,集中质量法,假设模态法,里茨法,加权残数法,有限元法,兼有上面这两类方法的特点,各种近似方法的共同点是：,将,无限自由度系统离散为有限自由度系统。离散的自由度数由取决于所要求的计算精度。,物理离散法：,传递矩阵法,函数展开法,以等截面简支梁为例,设梁的长度为,l,密度为,弯曲刚度为,EI,则梁的质量为,截面积为,A,将梁分为四段，再将每小段的质量平均分到该段的两端,支点处的质量不影响梁的弯曲振动,连续梁可用三个集中质量代替,得到图示的三自由度系统,系统的质量矩阵为,6.1,集中质量法,各质点间有相同的弹性性质，可利用材料力学或结构力学知识计算各点的柔度影响系数并由此得到柔度矩阵。,如此，可计算系统的固有频率,也可将梁简化成两个自由度或单自由度系统,在求得相应的质量矩阵和柔度矩阵后，便可计算系统的固有频率,计算结果可见下表,自由度越多，计算精度越高；基频的精度要高于高频的精度；频率的阶次越高，误差越大。,注：,集中质量法的计算精度与梁的边界条件有关,连续系统,6.2,广义坐标法,一、广义坐标法概述,广义坐标法是利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律。,我们知道，模态叠加法时，连续系统的位移可表示为,模态函数,模态坐标,若取前,n,项作近似解，有,应该是实际的模态函数，但实际计算时，常无法得到，所以通常以假设模态代替,假设模态一般为满足全部或部分边界条件,（至少应满足位移边界条件），,但不一定满足动力平衡方程的,试函数族,用假设模态法可以建立有限个广义坐标表示的动力学方程，也可以直接利用能量法，即,Rayleigh,和,Ritz,法计算固有频率。,二、广义坐标的动力学方程,设,假设模态函数,模态坐标,假设模态行向量,模态坐标列向量,代入梁的动能有,广义质量系数,广义质量矩阵,若梁上还有集中质量，如右图,则梁的动能为,则质量系数为,梁的弯曲势能,广义刚度系数,广义刚度矩阵,显然,M,和,K,都是对称矩阵,若梁上还有弹簧支承，如下图,则梁的势能为,其中，刚度系数为,设梁上分别受到分布力,f,(,x,t,),和处的集中力,F,(,x,t,),当梁上有虚位移,外力虚功为,广义力,广义力列阵,系统的动能、势能及外力虚功为,由,Lagrange,方程,Lagrange,函数,得到有限个广义坐标表示的动力学方程,矩阵形式为,连续系统的问题转化成了有限自由度问题,以上讨论是针对梁的弯曲振动，但该方法同样也适用于如轴的扭转振动等其它形式的振动。以例说明,例：,设图示变截面轴一端固定，另一端自由,距固定端,x,处截面的二次极矩为,为固定端处截面的二次极矩,求：,该轴,扭转振动,的前二阶固有频率,解：,将轴的扭转振动写作假设模态的线性组合,计算轴的动能和势能,其中,其中,取一端固定另一端自由的等截面轴的模态函数为试函数,若只求基频，可取,n,=1,因此有,若欲求前二阶频率，可取,n,=2,，计算得到,代入本征方程,解得,并有特征向量,得到原来问题的模态向量,例：,等截面简支梁中部有集中质量，并受有集中力,设集中质量,等于梁的质量,集中力的变化的频率,求：,(1),梁前三阶固有频率,(2),梁受迫振动的响应,解：,取无集中质量时梁的模态为假设模态,计算梁的质量矩阵和刚度矩阵,得,代入本征方程,解得,正则特征向量,求梁的响应时，将位移写作假设模态的线性组合,广义力,广义力列阵,受迫振动方程为,可用模态叠加法求其响应，其余略,设梁以某阶模态函数作频率,的自由振动,设系统为保守系统，最大动能和最大势能应相等,令,得,6.3,瑞利法,当 是系统的真实模态时，上式右端计算出的就是其相应的固有频率。,一般情况下，系统的模态 是未知的，固无法由上式计算出其精确的固有频率。但我们发现，上式右端的计算结果是一个依赖于函数 的标量，给定一个函数 ，上式右端便有一个确定的值相对应，我们定义,Rayleigh,商,可以用来估计系统的频率,Rayleigh,商是一个依赖于,的标量,若,假设模态,精确等于第,i,阶模态函数,则,Rayleigh,商,精确等于第,i,阶固有频率的平方,一般地，,Rayleigh,商常用来估计系统的基频,假设模态至少应满足位移边界条件，计算基频时，常用梁的,静变形函数,作为假设模态,?,Rayleigh,商,总大于基频。,注：,若取结构在某个静荷载,q,(,x,)(,如自重,),作用下的弹性曲线 作为模态的近似表达式，则此时应变能可用相应荷载,q,(,x,),所作的功来代替，即,瑞利商为,取自重下的挠曲线时,若梁上有集中质量和弹性支承，如下图,则最大势能和最大动能为,由,得,当取结构在某个静荷载,q,(,x,)(,如自重,),作用下的弹性曲线 作为近似模态时，瑞利商为,例：,试求等截面简支梁的第一频率。,解：,1,）假设位移形状函数为抛物线,满足边界条件且与第一振型相近,l,y,x,2,）假设均布荷载,q,作用下的挠度曲线作为模态函数,3,）假设,精确解,x,h,0,l,例：,求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为,1,，高度为,h=h,0,x/l,。,单位长度的质量：,解：,截面惯性矩：,设位移形状函数：,满足边界条件：,相比误差为,3%,与精确解,例：,等截面悬臂在自由端有一集中质量,求：,用,Rayleigh,法估计其基频,.,解：,选择等截面悬臂梁在均布荷载作用下的静挠度曲线为试函数,代入瑞得商得到,若改用端部集中质量荷载作用下的静挠度曲线为试函数,代入瑞得商得到,由于集中质量大于梁的分布质量，故用后一种试函数更好,