1.2.2单位圆与三角函数线(1)（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2.2,单位圆与三角函数线,前面我们研究了,三角函数在各象限内的符号,，学习了将任意角的三角函数,化成,0,到,360,角,的三角函数的一组公式，,由三角函数的定义我们知道，对于角,的各种三角函数我们都是用,比值,来表示的，或者说是用,数,来表示的，今天我们再来学习,正弦、余弦、正切函数,的另一种,表示方法,几何表示法,1.,单位圆的概念,一般地，我们把,半径为,1,的圆,叫做,单位圆,，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与,x,轴的交点分别为,A(1,，,0),，,A,/,(,1,，,0).,而与,y,轴的交点分别为,B(0,，,1),，,B,/,(0,，,1).,2.,有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段；,有向线段的,数值,由其长度,大小,和,方向,来决定。,如在数轴上，,|,OA,|=3,，,|,OB,|=3,设任意角,的顶点在原点，始边与,x,轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点,P,(,x,，,y,），过,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M,；做,PN,垂直,y,轴于点,N,，,则点,M,、,N,分别是点,P,在,x,轴、,y,轴上的正射影,.,3.,三角函数线,根据三角函数的定义有点,P,的坐标为,(cos,sin,),其中,cos,=,OM,，,sin,=,ON,.,这就是说，,角,的余弦和正弦,分别等于角,的终边与单位圆,交点的横坐标与纵坐标,.,以,A,为原点建立,y,/,轴与,y,轴同向，,y,/,轴与,角的终边,(,或其反向延长线,),相交于点,T,(,或,T,/,),，则,tan,=,AT,(,或,AT,/,),我们把轴上的向量,分别叫做,的,余弦线、正弦线和正切线,.,A,y,x,o,的终边,P,T,步骤：,1,、作直角坐标系和角的终边,2,、作单位圆，圆与角的终边的交点为,P,，与,x,轴正半轴交点为,A,3,、过,P,点作,x,轴的垂线，垂足为,M,4,、过,A,点作,x,轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于,T,点,5,、有向线段,MP,、,OM,、,AT,就为所求,M,归纳,1,：凡含有原点的线段，均以原点为起点,2,：不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点,例,1.,分别作出 、的正弦线、余弦线、正切线。,例,2.,比较大小：,(1)sin1,和,sin1.5;(2)cos1,和,cos1.5;,(3)tan2,和,tan3.,解：由三角函数线得,sin1cos1.5,tan2tan3,例,3.,已知,sin,x,=0.5,，求角,x,的大小,.(0,x,0.5,，求角,x,的取值范围。,已知,(0,，,),，试证明,sin,tan,.,证明：,sin,=|ON|=|MP|,=,tan,=|AT,|,，,又,所以,即,sin,tan,.,思考与讨论,小结：,1.,给定任意一个角,，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2.,三角函数线的位置：,正弦线,为从原点到,的终边与单位圆的交点在,y,轴上的射影的,有向线段,；,余弦线,为从原点到,的终边与单位圆的交点在,x,轴上的射影的,有向线段,；,正切线,在过单位圆与,x,轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3.,特殊情况：,当角的终边在,x,轴上时，点,P,与点,M,重合，点,T,与点,A,重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线,OM=1,或,1,。,当角的终边在,y,轴上时，正弦线,MP=1,或,1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零，,正切线不存在,。,