第1章 矢量分析88901

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,章 矢量分析,第一讲,在讨论具体的电磁场问题之前，先介绍分析场问题的数学工具：矢量分析和最常用坐标系，并引入亥姆霍兹定理（,Helmholtz,Theorem,），它是所有矢量场共同性质的总结。,1.1.1,标量和矢量,1.,标量：,只有大小，没有方向的物理量。,矢量,表示为：,所以：,一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。,为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为,1,。,2.,矢量：,不仅有大小，而且有方向的物理量。,如,:,力 、速度 、电场 等,如：温度,T,、长度,L,等,例,1,：在直角坐标系中，,x,方向的大小为,6,的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,1.1.2,矢量的加法和减法,1.,加法,:,矢量加法是矢量的几何和,服从,平行四边形规则,。,a.,满足交换律：,b.,满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示,:,其中：,矢量：,模的计算,：,单位矢量,：,方向角与方向余弦,：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.,减法：,换成加法运算,逆矢量：,和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.,乘法：,（,1,）标量与矢量的乘积：,方向不变，大小为,|,k,|,倍,方向相反，大小为,|,k,|,倍,（,2,）矢量与矢量乘积分两种定义,a.,点乘：,两矢量的点积,含义：,两矢量的模与它们之间较小夹角的余弦之积，其结果是一标量。,若 为单位矢量，则点乘结果为矢量 在矢量 方向上的投影,有两矢量点乘：,结论,:,两矢量点乘等于对应分量的乘积之和。,推论,1,：满足交换律,推论,2,：满足分配律,推论,3,：当两个非零矢量点乘为零,则这两个矢量必正交。,推论,1,：不服从交换律：,推论,2,：服从分配律：,推论,3,：不服从结合律：,推论,4,：当两个非零矢量叉乘为零，则这两个矢量必平行。,b.,叉乘,：,含义：,两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合,右手螺旋法则,。,在直角坐标系中，两矢量的叉乘运算如下：,两矢量的叉乘又可表示为：,x,y,z,o,1.2,三种常用的正交坐标系,例：,其中：和 称为微分元。,1.2.1,直角坐标系,在直角坐标系中，坐标变量为,(,x,y,z,),线元：,面元：,体元：,1.2.2,圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为,线元：,面元：,体元：,1.2.3,球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为,线元：,x,z,y,=,0,0,0,r,=,r,0,=,0,P,0,O,面元：,体元：,场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若,每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值,，则称在该空间中确定了该物理量的场。,1.3,标量场的梯度,按物理量的性质,标量场 物理量为标量（温度场,电位场）,矢量场 物理量为矢量（电场、磁场）,按物理量变化特性,静态场 物理量不随时间的变化而变化,时变场（动态场）物理量随时间的变化而变化,场的分类：,标量场：用代数变量（即标量函数）所定出的场称为标量场。,用于研究物理系统中的温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态。,例如,在直角坐标下,如温度场,电位场,高度场等,;,函数值随空间坐标的变化而变化,图,0.1.1,等高线,思考,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,矢量场：用矢量函数来描述物理系统的状态大小及方向，这样的场称为矢量场。,如速度场,电场、磁场等,.,大小和方向随空间坐标的变化而变化,图,0.1.2,矢量线,通常，我们可以用曲线来形象的表示矢量场在空间的分布，其中，某处曲线的疏密程度表示该处场量的大小（强弱），而曲线在该点的切线方向则是该点矢量场的方向。这种曲线称之为“,力线,”或“,通量线,”。,