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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 三,章,导 数 与 微 分,求导法则与导数公式,导数的四则运算,复合函数的导数,4,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,4.1,隐函数的导数,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),例,1,求由方程,在 处的导数,所确定的隐函数,解,方程两边对 求导,得,解得,因为当 时，由原方程得 ，所以,解,:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0,时,y,=0,故,在,x,=0,处的导数,确定的隐函数,例,2,求由方程,例,3,求曲线,处的切线方程,.,在点,解 方程两边分别对,x,求导，得,解得,于是所求切线方程为,即,例,4,求由下列方程确定的隐函数,y,=,f,(,x,),的导数,：,求,对数求导法,观察,5,将幂指函数表示为,直接求导得,另解,1),对幂指函数,可用对数求导法求导,:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,说明,:,一般地,将幂指函数表示为,直接求导得,另解,对数求导法,同时适用于,积与商,的函数求导数：,2),有些显函数用对数求导法求导很方便,.,例,5,求,的导数。,解 两边取对数，得,两边对 求导，得,于是,4.2,由参数方程所确定的函数的导数,若参数方程,为由参数方程所确定的函数。,即,或,确定,的函数，则称此函数关系所表达的函数,为,例,6,已知椭圆的参数方程为,求椭圆在相应的点,处的切线方程,.,解,当,时,椭圆上的相应点,的坐标是：,曲线在,的切线斜率为：,或,即得椭圆在,点的切线方程,则,例,8,设,求,解,5,函数的微分,引例,:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少,?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的,线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,5.1,微分的概念,1.,定义,函数,y,=,f,(,x,),可微的条件,二、微分四则运算法则,三、复合函数的微分法则,及,一阶微分形式不变性,则复合函数,设,的微分为：,由于,一阶微分形式不变性,解,解,例,2,求函数,例,2,求函数,的微分,.,例,3,求函数,的微分,.,例,4,求下列函数的微分,y,=(3,x,2,4)(4,x,3,+,x,1),解：,y,=,(3,x,2,4),(4,x,3,+,x,1),+(3,x,2,4)(4,x,3,+,x,1),=,6,x,(4,x,3,+,x,1),+(3,x,2,4),(12,x,2,+1),=60,x,4,39,x,2,6,x,4,函数的微分为,：,d,y,=(60,x,4,39,x,2,6,x,4),d,x,解,例,5,求函数,的微分,.,2.,在下列等式左端的括号内填入适当函数，,使等式成立：,解（,1,）,（,2,）,5.3,微分在近似计算中的应用,常用的近似计算公式：,充分小时,有,（,1,）,令,，得,即,或,（,2,）,或,（,3,）,若函数,，当,处可微,且,在,解 取,例,4,求,的近似值。,得,例,10,已知半径为,10,cm,的金属圆片加热后半径,伸长了,0.05,cm,求圆面积约增加了多少,?,令,圆面积约增加,解 以,A,表示圆面积,表示圆的半径,则,练习,对,x,求导,两边取对数,解:,ln,(,x,1),+,ln,(,x,2),ln,(,x,3),p76,13(3,),求,的导数。,作业：,13,（对数求导法）,(1)(3),、,15.,（微分）,(1)(2)(3),（习题三）,12,（隐函数）,（,1,）（,2,）（,4,）,14,（参方）,(1)(3),对,x,求导,两边取对数,解:,ln,(,x,1),+,ln,(,x,2),ln,(,x,3),例,p76,13(3),求,的导数。,
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