陕西省西安交大附中龙岗中学2021届高三数学上学期第一次联考试题文【含解析】

陕西省西安交大附中、龙岗中学 2021 届高三数学上学期第一次联考 试题 文（含解析） 一选择题 1. 已知集合 ， ，则 （ ）|3Mx2|logNyxMN A. B. C. D. R|03|13x|3x 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出集合 N，然后求 ，M 【详解】解：因为 ， ，2|logyxyR|3Mx 所以 ，|3x 故选：D 【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数函数的值域，属于基础题 2. 设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）,Rabi 0abi ba A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 即 中至少有一个是零；复数 为纯虚数，故 为小范围，0ab, baii0,ab 故为必要不充分条件. 3. 已知三条不重合的直线 ,两个不重合的平面 ,下列四个命题中正确的是( )mnl、 、 、 A. 若 , ,且 ,则ll B. 若 ,则mn C. 若 ， , ,则,mnn D. 若 ,，则 【答案】A 【解析】 【分析】 利用垂直于同一直线 的 两平面平行判断 A 是否正确；根据线面平行的判定定理判断 B 是否正 确；根据面面平行的判定定理判断 C 是否正确；根据面面垂直的性质定理判断 D 是否正确. 【详解】l，lm，m，m，A 正确； mn，n，有可能 m，B 错误； m，n ，m，n，m、n 不一定相交，、 不一定平行；C 错误； 根据面面垂直的性质判断 D 错误； 故选 A 【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别 注意定理的条件 4. 2018 年 5 月至 2019 年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何 式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了 8000 倍，引发了蝗灾，到 2020 年春季蝗灾已波及 印度和巴基斯坦假设蝗虫的日增长率为 5%，最初有 N0只，则经过（ ）天能达到最初 的 16000 倍（参考数据； ln1.0500.0488，lnl.50.4055，ln16007.3778，ln160009.6803） A. 198 B. 199 C. 197 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】 设过 天能达到最初的 16000 倍，得到方程 ，结合对数的运算性质，x 00(1.5)6 xNN 即可求解. 【详解】设过 x 天能达到最初的 16000 倍，由已知可得， N0（1+0.05） x16000 N0， 所以 x 198.4， ln160.5 又 x N，故 x199 天能达到最初的 16000 倍 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数 的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 5. 设实数 、 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）xy 10 xy2zxy A. 2 B. 0 C. -4 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值 【详解】作出约束条件 ，对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 10 xy 由 z=2x+y 得 y=2x+z， 平移直线 y=2x+z， 由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 将 A（1，0）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=21+0=2即 z=2x+y 的最大值为 2 故选 A 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数 形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时， 要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函 数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6. 若双曲线 的左右焦点分别为 ，线段 被抛物线 2:1(0,)xyCab12,F12 的焦点分成 的两段，则此双曲线的离心率为（ ） 2yb7:3 A. B. C. D. 53544585 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意有 ，结合 即可求双曲线的离心率. 327bc22abc 【详解】由题意知：抛物线焦点为 ，而双曲线焦点 ， ，由线段 (,0)1(,0)Fc2(,) 被抛物线焦点分成 的 两段，12F7:3 ，整理得： ，而 ， 32bc45cb22ac ， 53e 故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线 的 离心率，应用双曲线、抛物线方程以及参数间的关系求离心 率，属于基础题. 7. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）0,ab 19aba A. B. C. D. 18369 【答案】C 【解析】 【分析】 利用基本不等式直接求解即可 【详解】解：因为 ，0,ab 所以 ，当且仅当 ，即 取等号， 1912619ab2,18 所以 ，所以 的最小值为 ，36abab3 故选：C 【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题 8. 已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）(1,2)a (3,4)bba A. B. C. D. 5511 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量 ， ，由 求解.(1,2)a (3,4)babr 【详解】因为向量 ， ，, 所以向量 在向量 方向上的投影为： ， 213(4)5ba 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及投影问题，还考查了运算求解的能力，属 于基础题. 9. 在直三棱柱 中， ， ，则该直三棱柱1ABC14ABCABC 的外接球的体积是（ ）1 A. B. C. D. 48326183 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，而 正方体外接球的直径是正方体的对角线，从而可得答案 【详解】解：因为直三棱柱 中， ， ，1ABC14ABCABC 所以将直三棱柱补成棱长为 4 的正方体，如图所示 直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为 ，则R ，解得 ， 224+R23R 所以外接球的体积为 ， 34123 故选：B 【点睛】此题考查求直三棱柱外接球的体积，考查数学转化思想，属于基础题 10. 设 的内角 的对边分别为 ，且 ，AC,B,abc 222(os1)(cosin)ABb 则 是（ ）B A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直 角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 先由降幂公式得 ，再由正弦定理得 ，众而得cosaAbBsincosicAB ，于是有 或 ，从而可得结论sin2iB2 【详解】解：因为 ， 222(cos1)(cosin)ABab 所以 ，cosAbB 所以由正弦定理得， ，sincsic 所以 ，in2 因为 ,(0,) 所以 或 ，AB 所以 或 ，2 所以 是等腰三角形或直角三角形C 故选：D 【点睛】此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题 11. 已知数列 前 项和是 ，且满足 ， ， ， ，nanS13a218ka22kk a*N 则 （ ）201=S A. B. C. D. 4201310349105 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件判断出数列 的 奇数项和偶数项为等比数列，由此求得 .na 201S 【详解】依题意 ， ， ，故 ， ，13218k22kk a21214kka184 故数列 （ ）是首项为 ，公比为 的等比数列；数列 （ ）是首项2ka*N34k*N 为 ，公比为 的等比数列.4 所以 201=S32012420aa . 101010342439 故选：C 【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等比数列前 项和公式，属于中档题.n 12. 下列关于函数 的结论中，正确结论的个数是（ ） 2()3)xfxe 的解集是 ；()0fx| 是极大值， 是极小值；3(1)f 没有最大值，也没有最小值；()fx 有最大值，没有最小值；f 有最小值，没有最大值.()fx A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 直接不等式 可判断；对函数求导，求函数的极值，可判断；利用导数求函数的()0fx 最值可判断 【详解】解：由 ，得 ，即 ，解得 ，所以()f230 x2303x 的解集是 ，所以正确；()0fx|x 由 ，得 ，令 ，则 ，解 23)e 2()xfxe()f230 得 或 ，x1 当 或 时， ，当 时， ，所以 是极小值，3 ()0fx31x()0fx()f 是极大值，所以错误；()f 因为 是极小值，且当 时， 恒成立，而 是极大值，所以 有x()fx(1)f()fx 最大值，没有最小值，所以正确，错误， 故选：B 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法， 属于基础题 二填空题 13. 命题“ ”的否定是_. 30,0 xx， 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题，写出结论. 【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“ ”. 300,.xx 【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定 结论，属于基础题. 14. 一块外表面均被涂为红色的正方体被分成 64 个大小相同的小正方体，若将这些小正方 体均匀混合，则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是_. 【答案】 38 【解析】 【分析】 结合图形分析出没有涂红色、一面涂红色、两面涂红色和三面涂红色的小正方体个数，再结 合概率公式即可求解 【详解】根据题意，在得到的 64 个小正方体中， 每个面上仅有一面涂成红色的正方体个数为 4 个，故 6 个面共有 （个）24 其余的都是一面涂油漆的，所以，在 64 个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的 概率为： 24368P 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率的计算公式，考查学生的分类讨论思想，属于基础题 15. 已知函数 ， ，对任意的 都存在 2()fx()2(0)gxa1,2x ，使得 ，则实数 的取值范围是_01,2x10()gxfa 【答案】 (, 【解析】 【分析】 由题可知，在区间 上函数 的值域为 值域的子集，从而求出实数 的取值1,21()gx0()fxa 范围. 【详解】 函数 的图象开口向上，对称轴为 ， 2fx1x 时， 的最小值为 ，最大值为 ，01,2x(1)f()3f 的值域为 .()f,3 为一次项系数为正的一次函数，在 上单调递增，(0)gxa1,2 时， 的最小值为 ，最大值为 ，1,2gx(1)ga()ga 的值域为 .()x,2a 对任意的 都存在 ，使得 ，10,x10 xf 在区间 上，函数 的值域为 值域的子集，,1()g0()f 解得 230a02a 故答案为 . 1,2 【点睛】本题考查函数的值域，考查分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意” 、 “存在” 的正确理解，确定两个函数值域之间的关系. 16. 已知双曲线 ，圆 ，若双曲线 的 2:1(0,)yxCab22:(5)MxbyaC 一条渐近线与圆 相切，则当 取得最小值时，双曲线 的实轴长为M 2965lna _. 【答案】6 【解析】 【分析】 设双曲线的一条渐近线方程为 ，根据圆 与双曲线 的0axby 22:(5)MxbyaC 一条渐近线与相切，得到 ，则 ，令 2142 23996lnlna ，利用导数法求解即可. 2935lnfaa 【详解】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 2:1(0,)yxCb0axby 因为圆 与双曲线 的一条渐近线与相切， 22:(5)MxbaC 所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 5bac 所以 ，即 ，5cb 214a 所以 ， 2 23996ln5lnaa 令 ， 235lf a 所以 ， 42331818fa ， 222339aa 当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，0a0ff33faf 所以当 时， 取得最小值，3a 所以双曲线 的实轴长为 6C 故答案为：6 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系以及导数法研究函数的单调性 与最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三解答题 17. 已知函数 ， . 1()cos(3incos)2fxxxR （1）求函数 的最小正周期和对称轴；()f （2）设 的内角 的对边分别为 ，满足 ， ，且 的ABC,abc4()1fCAB 面积为 ，求 的值.43,ab 【答案】 （1）最小正周期为 ，对称轴为： ；（2） . ,3kxZ4ab 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数式可得 即可求 的最小正周期和对称 ()sin2)6fx()fx 轴； （2）利用三角形面积公式、余弦定理有 ， 即可求 的值.1ab23b,ab 【详解】 （1）解： ()cos(3incos)fxx21=sincosxx ， 3sin2i(2)6 函数 的最小正周期为 ；()fxT 而对称轴为 ， 26k 函数 的对称轴为： .()fx ,32xkZ （2） 且 ，则 ， ()sin2)16fC0C3 由 ，可知 ， 1i43Sab6ab 由余弦定理 及 ，可知 ；22coscabC 4,323ab 结合： .4 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性 质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形，属于中档题. 18. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ， .nanS23na*N （1）求数列 的通项公式； （2）设 ( )，求数列 的前 项和 .3lognnb*NnbnT 【答案】 （1） ， ；（2） .na* 11()32nT 【解析】 【分析】 （1）由 得 ，可得 是等比数列，进而可求数列 的通项1(2)nnaS1 3nanana 公式 （2）由（1）可得 ，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列3lognnba 的前 项和 .nbnT 【详解】 （1）当 时， ，所以 ；12S13a 当 时， ，所以 ，213na 12nnnSa 于是 ；na 所以， 是首项为 3，公比是 3 的等比数列，于是 ， . 3 n*N （2） ，log= nnba*N1231(1)()3=()2nnnTn ） 【点睛】本题考查数列的通项问题，以及数列的错位相减求和问题，其中错位相减法求数列 的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除 以 ，本题属于中档题1q 19. 定义椭圆 ( )的“蒙日圆”方程为 .已知抛物线:C 21xyab022xyab 的焦点是椭圆 的一个短轴端点，且椭圆 的离心率为 . 24xy C63 （1）求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程；E （2）若斜率为 的直线 与“蒙日圆” 相交于 两点，且与椭圆 C 相切， 为坐标原点，1l ,ABO 求 的面积.OAB 【答案】 （1）椭圆的标准方程为： ；“蒙日圆” 方程为 ；（2） . 213xyE24xy 【解析】 【分析】 （1）求得抛物线的焦点坐标，由此求得 ，结合椭圆离心率以及 ，求得 ，b22abc,a 从而求得椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程.CE （2）设 ，联立直线 的方程和椭圆的方程，结合 求得 .求得圆心到:ABlyxmABl 0m 直线 的距离 ，求得 ，由此求得 .dOS 【详解】 （1）抛物线 的焦点为 ，则 ， 24xy(0,1)b 又 ，且 ，所以 ， 63cea22bc3,2ac 于是椭圆的标准方程为： ；“蒙日圆” 方程为 . 213xyE24xy （2）设直线 ： ， ，ABlm12(,)(,)ABxy 由 可得： ，令 可得： ， . 23yx224630 x24m2 “蒙日圆” 方程为 ，圆心为 ，半径 ，E 24xy(0,)2r= 则圆心到直线 的距离 ，ABl |21md . 2| 4r 于是， . 1|2OABSd 【点睛】本小题主要考查椭圆、抛物线，考查椭圆中的三角形面积问题，属于中档题. 20. 如图，已知正方体 中，点 分别是棱 的1CDAB,PQRS11,ABDC 中点. （1）证明： 四点共面；,PQRS （2）证明：平面 平面 ；1AC （3）若正方体 的棱长为 2，点 是线段 上的一个动点，且动直线1BDTPQ 与平面 所成的角记为 ，求 的最大值.1TCPQRSsin 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） . 105 【解析】 【分析】 （1）连接 ，从而可得 = ， ；再结三角形中位线定理可得四边1,BDBD11BD 形 平行四边形，从而可证得 四点共线PQRS,PQRS （2）由于 ，而 ，所以 ，再由正方体的性质可得111AC1AC ，从而可证得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可证得结果；1CRSRS1AC （3）设点 到平面 的距离为 ，则 ，当 最小值时， 最大，又1PQd1 sindT1Csin 由于 是等腰三角形，所以当 移动到 中点时， ，此时 最小，再利PQPQ1T 用等体积法求出 ，从而可求得结果d 【详解】 （1）连接 ，1,BD 因为 = ， ，所以四边形 是平行四边形，1BD 所以 = ， ；11 又因为 是中点，所以 ， ；,PQ 12PBD=Q 又因为 是中点，所以 ， ；,RS1 RSS1 所以 ， ，所以四边形 平行四边形，PR 所以 四点共线.,PQ （2）因为 是中点，所以 ， ，,RS12 RSBDS1 又因为 ，所以 ；11BDACAC 又因为在正方体 中， 平面 ，所以 ，111DCBA1RS 又 ，且 平面 ，11, 所以 平面 ，又 平面 ，RS1ACRSPQS 所以平面 平面 ；PQRS1AC （3）方法 1：设点 到平面 的距离为 ，则 ，1CPQRSd1 sindTC 当 最小值时， 最大，Tsin 又由于 是等腰三角形，所以当 移动到 中点时， ，此时 最小；1PQTP1PQ1TC 在 中， ， ，则记线段 的中点为 时， ；1C213PCQO1 342 又 ，1111 1=23PQSRSRSVV 又 ，所以 ，所以 ； 623PS PQSd 所以， . max10sin5dOC 方法 2：如图，平面 平面 ，则过 作 ，交线段 的PQRS11ACO11CHO1 延长线于点 ，H 又由（1）知平面 平面 ， ，所以 ；PQRS1AC11HAC平 面 11HAC平 面 所以动直线 在平面 上的射影为 ，则 ，于是1TCT1T ， 11sinH 当 最小值时， 最大，又由于 是等腰三角形，所以当 移动到 中点 时，1Tsin1PQCTPQO ，此时 最小，所以 .1CPQ1T max1sinHO 由于 是线段 的四等分点，则在平面 中可知 ；1,O1,AC1AC1 3 又由于 中， ， ，则 ；1PQ213PQ1 42 于是 . max10sin=5HOC 【点睛】此题考查证明点共面问题，考查面面垂直的判定，考查直线与平面所成的角，考查 推理能力和计算能力，属于中档题 21. 已知函数 .()ln1,fxaR （1）求函数 的单调区间； （2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；()0fxa （3）当 时，求证： .*nN 11ln()2323 n 【答案】 （1）答案见解析；（2） ；（3）证明见解析.a 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，然后分 ， 两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；0a （2）利用导数求 的 最大值小于零即可，或 恒成立，等价于()fx()ln10fxa ， ，然后构造函数 ，利用导数求其最大值即可； ln1xa0ln1()xg （3）由(2)知，当 时， 恒成立，即 (仅当 时等号成立)，当a0fxl1x 时，有 ，然后利用累加法可得 ， *,kxN1lnk 1ln23n+ 当 时，有 ，再利用累加法可得 *,1l ，从而可证得结论 1ln()234n+ 【详解】 （1） ()l,0fxax， 1()fax 当 时， ，所以 在 上递增；0a0()f, 当 时，令 ，则 ，()fx 1a 当 时， ；当 时， ， 10 xa()0f()0fx 所以 在区间 上递增，在 上递减.()fx ,1(,a （2）方法 1：构造函数()ln,0fxax， ()fx 当 时，由（1） 在 上递增，又 ，不符合题意，舍；0,(1)0fa 当 时，由（1）知 在区间 上递增，在 上递减；a()fx (0,)a,) 所以 ，解得： .max 1()()lnffa1 综上： 1 方法 2：分离参数 恒成立，等价于 ，()ln0fxa ln1xa0 设 ， ， ，令 ， ，则 1gx2l()g()gx 当 时， ；当 时， ，01x()0gx1()0gx 所以 在区间 上递增，在 上递减；(), 所以 ，所以：max()a （3）由(2)知，当 时， 恒成立，即 (仅当 时等号成立)1()0fxln1xx 当 时， ，即 ； *,kxN1lnklk 所以， ， ， ， ； 2ln13l24l31ln 上述不等式相加可得： ， 1lnll23n + 即： ， 23411ln123n + 即： ， ； l()*N 当 时， ，即 ，即 *,1kxNln1k1lnkk1lnk 所以， ， ， ， ； 2ln3l4ll1 上述不等式相加可得： ， 2lnlln13234n + 即： ， 2341ln14 + 即： ， ； 1l()n*N 综上：当 时， .*nN 1l()2323 n 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题， 考查累加法的应用，考查转化思想和计算能力，属于难题 22. 在极坐标系中，曲线 的方程为 .以极点为原点，以极轴为 轴的正C 2sin()3x 半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 ， 为E 2cos4iny 参数， .R （1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；C （2）若曲线 与 轴相交于点 ，与曲线 相交于 两点，求 的值.xME,ABMB 【答案】 （1） 的直角坐标方程 ，曲线 的普通方程 ；（2）30 xy 2146xy . 897 【解析】 【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，可由极坐标方程直接得出直角坐标方程；根据曲 线的参数方程消去参数，即可得出普通方程； （2）由直线的普通方程，先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，结合韦达定理， 根据参数下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】 （1）因为曲线 的极坐标方程为 ，C 2sin3 所以： ；sin3cos0 又因为： ，,yx 所以： ，即曲线 的直角坐标方程 .C30 xy 曲线 的参数方程为 ，消去参数 ，可得曲线 的普通方程 ；E 2cos4inxyE2146xy （2）由于曲线 的直角坐标方程 ，则 ，且倾斜角为 ，30 xy3,0M3 设曲线 的参数方程为 ， 为参数，且 两点的参数分别为 ，则将曲C 132xtyt,AB12,t 线 的参数方程代入曲线 的普通方程可得： ，E271630t 由韦达定理可知： ， ，12 637t12t . 212121189()47MABtttt 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化， 考查弦长的计算，属于常考题型. 23. 已知函数 .()|2|2|fxax （1）当 时，求不等式 的解集；a()9f （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.R|3|70 xxa 【答案】 （1） ；（2） 或 .|3x4a1 【解析】 【分析】 （1）当 时， ，再利用零点分段法分类讨论分别计算可得；2a|2|9x （2）依题意可得 恒成立，只需要 ，再利|3|7amin|2|3|7xa 用绝对值三角不等式得到 ，从而得到不等式，解得即可；|3|xa 【详解】解：（1）当 时， ，2|9x 当 时， ， ，所以 ；x9x1 当 时， ， ，所以 ；25x21x 当 时， ， ，所以 ；x 2x3 综上：不等式的解集为： .|x （2）当 时，不等式 恒成立，即：aR()|2|2|70f 不等式 恒成立，只需要|2|3|7xamin|2|3|7xa 由于 ，当且仅当 时等号成立；|(2)(3)|xa()20 x 即： ，所以： ，|x|7 解得： 或 .4a10 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.