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陕西省西安交大附中、龙岗中学 2021 届高三数学上学期第一次联考 试题 文(含解析) 一选择题 1. 已知集合 , ,则 ( )|3Mx2|logNyxMN A. B. C. D. R|03|13x|3x 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出集合 N,然后求 ,M 【详解】解:因为 , ,2|logyxyR|3Mx 所以 ,|3x 故选:D 【点睛】此题考查集合的交集运算,考查对数函数的值域,属于基础题 2. 设 , 是虚数单位,则“ ”是“复数 为纯虚数”的( ),Rabi 0abi ba A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 即 中至少有一个是零;复数 为纯虚数,故 为小范围,0ab, baii0,ab 故为必要不充分条件. 3. 已知三条不重合的直线 ,两个不重合的平面 ,下列四个命题中正确的是( )mnl、 、 、 A. 若 , ,且 ,则ll B. 若 ,则mn C. 若 , , ,则,mnn D. 若 ,,则 【答案】A 【解析】 【分析】 利用垂直于同一直线 的 两平面平行判断 A 是否正确;根据线面平行的判定定理判断 B 是否正 确;根据面面平行的判定定理判断 C 是否正确;根据面面垂直的性质定理判断 D 是否正确. 【详解】l,lm,m,m,A 正确; mn,n,有可能 m,B 错误; m,n ,m,n,m、n 不一定相交,、 不一定平行;C 错误; 根据面面垂直的性质判断 D 错误; 故选 A 【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定,以及平面与平面平行的判定,要特别 注意定理的条件 4. 2018 年 5 月至 2019 年春季,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何 式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了 8000 倍,引发了蝗灾,到 2020 年春季蝗灾已波及 印度和巴基斯坦假设蝗虫的日增长率为 5%,最初有 N0只,则经过( )天能达到最初 的 16000 倍(参考数据; ln1.0500.0488,lnl.50.4055,ln16007.3778,ln160009.6803) A. 198 B. 199 C. 197 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】 设过 天能达到最初的 16000 倍,得到方程 ,结合对数的运算性质,x 00(1.5)6 xNN 即可求解. 【详解】设过 x 天能达到最初的 16000 倍,由已知可得, N0(1+0.05) x16000 N0, 所以 x 198.4, ln160.5 又 x N,故 x199 天能达到最初的 16000 倍 故选:B. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题,其中解答中认真审题,列出方程,结合对数 的运算公式求解是解答的关键,着重考查运算与求解能力. 5. 设实数 、 满足约束条件 ,则 的最大值是( )xy 10 xy2zxy A. 2 B. 0 C. -4 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值 【详解】作出约束条件 ,对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC) 10 xy 由 z=2x+y 得 y=2x+z, 平移直线 y=2x+z, 由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线 y=2x+z 的截距最大, 此时 z 最大 将 A(1,0)的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=21+0=2即 z=2x+y 的最大值为 2 故选 A 【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数 形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时, 要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函 数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6. 若双曲线 的左右焦点分别为 ,线段 被抛物线 2:1(0,)xyCab12,F12 的焦点分成 的两段,则此双曲线的离心率为( ) 2yb7:3 A. B. C. D. 53544585 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意有 ,结合 即可求双曲线的离心率. 327bc22abc 【详解】由题意知:抛物线焦点为 ,而双曲线焦点 , ,由线段 (,0)1(,0)Fc2(,) 被抛物线焦点分成 的 两段,12F7:3 ,整理得: ,而 , 32bc45cb22ac , 53e 故选:A 【点睛】本题考查了求双曲线 的 离心率,应用双曲线、抛物线方程以及参数间的关系求离心 率,属于基础题. 7. 已知 ,且 ,则 的最小值为( )0,ab 19aba A. B. C. D. 18369 【答案】C 【解析】 【分析】 利用基本不等式直接求解即可 【详解】解:因为 ,0,ab 所以 ,当且仅当 ,即 取等号, 1912619ab2,18 所以 ,所以 的最小值为 ,36abab3 故选:C 【点睛】此题考查基本不等式的应用,属于基础题 8. 已知向量 , ,则向量 在向量 方向上的投影为( )(1,2)a (3,4)bba A. B. C. D. 5511 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量 , ,由 求解.(1,2)a (3,4)babr 【详解】因为向量 , ,, 所以向量 在向量 方向上的投影为: , 213(4)5ba 故选:B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及投影问题,还考查了运算求解的能力,属 于基础题. 9. 在直三棱柱 中, , ,则该直三棱柱1ABC14ABCABC 的外接球的体积是( )1 A. B. C. D. 48326183 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体,则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球,而 正方体外接球的直径是正方体的对角线,从而可得答案 【详解】解:因为直三棱柱 中, , ,1ABC14ABCABC 所以将直三棱柱补成棱长为 4 的正方体,如图所示 直三棱柱的外接球就是正方体的外接球,设外接球的半径为 ,则R ,解得 , 224+R23R 所以外接球的体积为 , 34123 故选:B 【点睛】此题考查求直三棱柱外接球的体积,考查数学转化思想,属于基础题 10. 设 的内角 的对边分别为 ,且 ,AC,B,abc 222(os1)(cosin)ABb 则 是( )B A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直 角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 先由降幂公式得 ,再由正弦定理得 ,众而得cosaAbBsincosicAB ,于是有 或 ,从而可得结论sin2iB2 【详解】解:因为 , 222(cos1)(cosin)ABab 所以 ,cosAbB 所以由正弦定理得, ,sincsic 所以 ,in2 因为 ,(0,) 所以 或 ,AB 所以 或 ,2 所以 是等腰三角形或直角三角形C 故选:D 【点睛】此题考查三角函数的降幂公式的应用,考查正弦定理的应用,属于基础题 11. 已知数列 前 项和是 ,且满足 , , , ,nanS13a218ka22kk a*N 则 ( )201=S A. B. C. D. 4201310349105 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件判断出数列 的 奇数项和偶数项为等比数列,由此求得 .na 201S 【详解】依题意 , , ,故 , ,13218k22kk a21214kka184 故数列 ( )是首项为 ,公比为 的等比数列;数列 ( )是首项2ka*N34k*N 为 ,公比为 的等比数列.4 所以 201=S32012420aa . 101010342439 故选:C 【点睛】本小题主要考查分组求和法,考查等比数列前 项和公式,属于中档题.n 12. 下列关于函数 的结论中,正确结论的个数是( ) 2()3)xfxe 的解集是 ;()0fx| 是极大值, 是极小值;3(1)f 没有最大值,也没有最小值;()fx 有最大值,没有最小值;f 有最小值,没有最大值.()fx A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 直接不等式 可判断;对函数求导,求函数的极值,可判断;利用导数求函数的()0fx 最值可判断 【详解】解:由 ,得 ,即 ,解得 ,所以()f230 x2303x 的解集是 ,所以正确;()0fx|x 由 ,得 ,令 ,则 ,解 23)e 2()xfxe()f230 得 或 ,x1 当 或 时, ,当 时, ,所以 是极小值,3 ()0fx31x()0fx()f 是极大值,所以错误;()f 因为 是极小值,且当 时, 恒成立,而 是极大值,所以 有x()fx(1)f()fx 最大值,没有最小值,所以正确,错误, 故选:B 【点睛】此题考查导数的应用,考查函数极值和最值的求法,考查一元二次不等式的解法, 属于基础题 二填空题 13. 命题“ ”的否定是_. 30,0 xx, 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题,写出结论. 【详解】原命题是全称命题,故其否定是特称命题,所以原命题的否定是“ ”. 300,.xx 【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题,除了形式上的否定外,还要注意否定 结论,属于基础题. 14. 一块外表面均被涂为红色的正方体被分成 64 个大小相同的小正方体,若将这些小正方 体均匀混合,则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是_. 【答案】 38 【解析】 【分析】 结合图形分析出没有涂红色、一面涂红色、两面涂红色和三面涂红色的小正方体个数,再结 合概率公式即可求解 【详解】根据题意,在得到的 64 个小正方体中, 每个面上仅有一面涂成红色的正方体个数为 4 个,故 6 个面共有 (个)24 其余的都是一面涂油漆的,所以,在 64 个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的 概率为: 24368P 故答案为: 【点睛】本题主要考查了概率的计算公式,考查学生的分类讨论思想,属于基础题 15. 已知函数 , ,对任意的 都存在 2()fx()2(0)gxa1,2x ,使得 ,则实数 的取值范围是_01,2x10()gxfa 【答案】 (, 【解析】 【分析】 由题可知,在区间 上函数 的值域为 值域的子集,从而求出实数 的取值1,21()gx0()fxa 范围. 【详解】 函数 的图象开口向上,对称轴为 , 2fx1x 时, 的最小值为 ,最大值为 ,01,2x(1)f()3f 的值域为 .()f,3 为一次项系数为正的一次函数,在 上单调递增,(0)gxa1,2 时, 的最小值为 ,最大值为 ,1,2gx(1)ga()ga 的值域为 .()x,2a 对任意的 都存在 ,使得 ,10,x10 xf 在区间 上,函数 的值域为 值域的子集,,1()g0()f 解得 230a02a 故答案为 . 1,2 【点睛】本题考查函数的值域,考查分析解决问题的能力,解题的关键是对“任意” 、 “存在” 的正确理解,确定两个函数值域之间的关系. 16. 已知双曲线 ,圆 ,若双曲线 的 2:1(0,)yxCab22:(5)MxbyaC 一条渐近线与圆 相切,则当 取得最小值时,双曲线 的实轴长为M 2965lna _. 【答案】6 【解析】 【分析】 设双曲线的一条渐近线方程为 ,根据圆 与双曲线 的0axby 22:(5)MxbyaC 一条渐近线与相切,得到 ,则 ,令 2142 23996lnlna ,利用导数法求解即可. 2935lnfaa 【详解】已知双曲线 的一条渐近线方程为 , 2:1(0,)yxCb0axby 因为圆 与双曲线 的一条渐近线与相切, 22:(5)MxbaC 所以圆心到直线的距离等于半径,即 , 5bac 所以 ,即 ,5cb 214a 所以 , 2 23996ln5lnaa 令 , 235lf a 所以 , 42331818fa , 222339aa 当 时, , 递减,当 时, , 递增,0a0ff33faf 所以当 时, 取得最小值,3a 所以双曲线 的实轴长为 6C 故答案为:6 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线,直线与圆的位置关系以及导数法研究函数的单调性 与最值,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 三解答题 17. 已知函数 , . 1()cos(3incos)2fxxxR (1)求函数 的最小正周期和对称轴;()f (2)设 的内角 的对边分别为 ,满足 , ,且 的ABC,abc4()1fCAB 面积为 ,求 的值.43,ab 【答案】 (1)最小正周期为 ,对称轴为: ;(2) . ,3kxZ4ab 【解析】 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简函数式可得 即可求 的最小正周期和对称 ()sin2)6fx()fx 轴; (2)利用三角形面积公式、余弦定理有 , 即可求 的值.1ab23b,ab 【详解】 (1)解: ()cos(3incos)fxx21=sincosxx , 3sin2i(2)6 函数 的最小正周期为 ;()fxT 而对称轴为 , 26k 函数 的对称轴为: .()fx ,32xkZ (2) 且 ,则 , ()sin2)16fC0C3 由 ,可知 , 1i43Sab6ab 由余弦定理 及 ,可知 ;22coscabC 4,323ab 结合: .4 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用,利用三角恒等变换化简函数式,结合三角函数的性 质求周期、对称轴,并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形,属于中档题. 18. 已知数列 的前 项和为 ,满足 , .nanS23na*N (1)求数列 的通项公式; (2)设 ( ),求数列 的前 项和 .3lognnb*NnbnT 【答案】 (1) , ;(2) .na* 11()32nT 【解析】 【分析】 (1)由 得 ,可得 是等比数列,进而可求数列 的通项1(2)nnaS1 3nanana 公式 (2)由(1)可得 ,利用错位相减法,结合等比数列的求和公式可得数列3lognnba 的前 项和 .nbnT 【详解】 (1)当 时, ,所以 ;12S13a 当 时, ,所以 ,213na 12nnnSa 于是 ;na 所以, 是首项为 3,公比是 3 的等比数列,于是 , . 3 n*N (2) ,log= nnba*N1231(1)()3=()2nnnTn ) 【点睛】本题考查数列的通项问题,以及数列的错位相减求和问题,其中错位相减法求数列 的和是重点也是难点,相减时注意最后一项的符号,最后结果一定不能忘记等式两边同时除 以 ,本题属于中档题1q 19. 定义椭圆 ( )的“蒙日圆”方程为 .已知抛物线:C 21xyab022xyab 的焦点是椭圆 的一个短轴端点,且椭圆 的离心率为 . 24xy C63 (1)求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程;E (2)若斜率为 的直线 与“蒙日圆” 相交于 两点,且与椭圆 C 相切, 为坐标原点,1l ,ABO 求 的面积.OAB 【答案】 (1)椭圆的标准方程为: ;“蒙日圆” 方程为 ;(2) . 213xyE24xy 【解析】 【分析】 (1)求得抛物线的焦点坐标,由此求得 ,结合椭圆离心率以及 ,求得 ,b22abc,a 从而求得椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程.CE (2)设 ,联立直线 的方程和椭圆的方程,结合 求得 .求得圆心到:ABlyxmABl 0m 直线 的距离 ,求得 ,由此求得 .dOS 【详解】 (1)抛物线 的焦点为 ,则 , 24xy(0,1)b 又 ,且 ,所以 , 63cea22bc3,2ac 于是椭圆的标准方程为: ;“蒙日圆” 方程为 . 213xyE24xy (2)设直线 : , ,ABlm12(,)(,)ABxy 由 可得: ,令 可得: , . 23yx224630 x24m2 “蒙日圆” 方程为 ,圆心为 ,半径 ,E 24xy(0,)2r= 则圆心到直线 的距离 ,ABl |21md . 2| 4r 于是, . 1|2OABSd 【点睛】本小题主要考查椭圆、抛物线,考查椭圆中的三角形面积问题,属于中档题. 20. 如图,已知正方体 中,点 分别是棱 的1CDAB,PQRS11,ABDC 中点. (1)证明: 四点共面;,PQRS (2)证明:平面 平面 ;1AC (3)若正方体 的棱长为 2,点 是线段 上的一个动点,且动直线1BDTPQ 与平面 所成的角记为 ,求 的最大值.1TCPQRSsin 【答案】 (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) . 105 【解析】 【分析】 (1)连接 ,从而可得 = , ;再结三角形中位线定理可得四边1,BDBD11BD 形 平行四边形,从而可证得 四点共线PQRS,PQRS (2)由于 ,而 ,所以 ,再由正方体的性质可得111AC1AC ,从而可证得 平面 ,再由面面垂直的判定定理可证得结果;1CRSRS1AC (3)设点 到平面 的距离为 ,则 ,当 最小值时, 最大,又1PQd1 sindT1Csin 由于 是等腰三角形,所以当 移动到 中点时, ,此时 最小,再利PQPQ1T 用等体积法求出 ,从而可求得结果d 【详解】 (1)连接 ,1,BD 因为 = , ,所以四边形 是平行四边形,1BD 所以 = , ;11 又因为 是中点,所以 , ;,PQ 12PBD=Q 又因为 是中点,所以 , ;,RS1 RSS1 所以 , ,所以四边形 平行四边形,PR 所以 四点共线.,PQ (2)因为 是中点,所以 , ,,RS12 RSBDS1 又因为 ,所以 ;11BDACAC 又因为在正方体 中, 平面 ,所以 ,111DCBA1RS 又 ,且 平面 ,11, 所以 平面 ,又 平面 ,RS1ACRSPQS 所以平面 平面 ;PQRS1AC (3)方法 1:设点 到平面 的距离为 ,则 ,1CPQRSd1 sindTC 当 最小值时, 最大,Tsin 又由于 是等腰三角形,所以当 移动到 中点时, ,此时 最小;1PQTP1PQ1TC 在 中, , ,则记线段 的中点为 时, ;1C213PCQO1 342 又 ,1111 1=23PQSRSRSVV 又 ,所以 ,所以 ; 623PS PQSd 所以, . max10sin5dOC 方法 2:如图,平面 平面 ,则过 作 ,交线段 的PQRS11ACO11CHO1 延长线于点 ,H 又由(1)知平面 平面 , ,所以 ;PQRS1AC11HAC平 面 11HAC平 面 所以动直线 在平面 上的射影为 ,则 ,于是1TCT1T , 11sinH 当 最小值时, 最大,又由于 是等腰三角形,所以当 移动到 中点 时,1Tsin1PQCTPQO ,此时 最小,所以 .1CPQ1T max1sinHO 由于 是线段 的四等分点,则在平面 中可知 ;1,O1,AC1AC1 3 又由于 中, , ,则 ;1PQ213PQ1 42 于是 . max10sin=5HOC 【点睛】此题考查证明点共面问题,考查面面垂直的判定,考查直线与平面所成的角,考查 推理能力和计算能力,属于中档题 21. 已知函数 .()ln1,fxaR (1)求函数 的单调区间; (2)若不等式 恒成立,求实数 的取值范围;()0fxa (3)当 时,求证: .*nN 11ln()2323 n 【答案】 (1)答案见解析;(2) ;(3)证明见解析.a 【解析】 【分析】 (1)对函数求导,然后分 , 两种情况,由导函数的正负可求得其单调区;0a (2)利用导数求 的 最大值小于零即可,或 恒成立,等价于()fx()ln10fxa , ,然后构造函数 ,利用导数求其最大值即可; ln1xa0ln1()xg (3)由(2)知,当 时, 恒成立,即 (仅当 时等号成立),当a0fxl1x 时,有 ,然后利用累加法可得 , *,kxN1lnk 1ln23n+ 当 时,有 ,再利用累加法可得 *,1l ,从而可证得结论 1ln()234n+ 【详解】 (1) ()l,0fxax, 1()fax 当 时, ,所以 在 上递增;0a0()f, 当 时,令 ,则 ,()fx 1a 当 时, ;当 时, , 10 xa()0f()0fx 所以 在区间 上递增,在 上递减.()fx ,1(,a (2)方法 1:构造函数()ln,0fxax, ()fx 当 时,由(1) 在 上递增,又 ,不符合题意,舍;0,(1)0fa 当 时,由(1)知 在区间 上递增,在 上递减;a()fx (0,)a,) 所以 ,解得: .max 1()()lnffa1 综上: 1 方法 2:分离参数 恒成立,等价于 ,()ln0fxa ln1xa0 设 , , ,令 , ,则 1gx2l()g()gx 当 时, ;当 时, ,01x()0gx1()0gx 所以 在区间 上递增,在 上递减;(), 所以 ,所以:max()a (3)由(2)知,当 时, 恒成立,即 (仅当 时等号成立)1()0fxln1xx 当 时, ,即 ; *,kxN1lnklk 所以, , , , ; 2ln13l24l31ln 上述不等式相加可得: , 1lnll23n + 即: , 23411ln123n + 即: , ; l()*N 当 时, ,即 ,即 *,1kxNln1k1lnkk1lnk 所以, , , , ; 2ln3l4ll1 上述不等式相加可得: , 2lnlln13234n + 即: , 2341ln14 + 即: , ; 1l()n*N 综上:当 时, .*nN 1l()2323 n 【点睛】此题考查导数的应用,考查利用导数求函数的单调区间,利用导数解决恒成立问题, 考查累加法的应用,考查转化思想和计算能力,属于难题 22. 在极坐标系中,曲线 的方程为 .以极点为原点,以极轴为 轴的正C 2sin()3x 半轴,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,曲线 的参数方程为 , 为E 2cos4iny 参数, .R (1)求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;C (2)若曲线 与 轴相交于点 ,与曲线 相交于 两点,求 的值.xME,ABMB 【答案】 (1) 的直角坐标方程 ,曲线 的普通方程 ;(2)30 xy 2146xy . 897 【解析】 【分析】 (1)根据极坐标与直角坐标的互化公式,可由极坐标方程直接得出直角坐标方程;根据曲 线的参数方程消去参数,即可得出普通方程; (2)由直线的普通方程,先写出直线的参数方程,代入曲线的普通方程,结合韦达定理, 根据参数下的弦长公式,即可求出结果. 【详解】 (1)因为曲线 的极坐标方程为 ,C 2sin3 所以: ;sin3cos0 又因为: ,,yx 所以: ,即曲线 的直角坐标方程 .C30 xy 曲线 的参数方程为 ,消去参数 ,可得曲线 的普通方程 ;E 2cos4inxyE2146xy (2)由于曲线 的直角坐标方程 ,则 ,且倾斜角为 ,30 xy3,0M3 设曲线 的参数方程为 , 为参数,且 两点的参数分别为 ,则将曲C 132xtyt,AB12,t 线 的参数方程代入曲线 的普通方程可得: ,E271630t 由韦达定理可知: , ,12 637t12t . 212121189()47MABtttt 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程与普通方程的互化, 考查弦长的计算,属于常考题型. 23. 已知函数 .()|2|2|fxax (1)当 时,求不等式 的解集;a()9f (2)当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.R|3|70 xxa 【答案】 (1) ;(2) 或 .|3x4a1 【解析】 【分析】 (1)当 时, ,再利用零点分段法分类讨论分别计算可得;2a|2|9x (2)依题意可得 恒成立,只需要 ,再利|3|7amin|2|3|7xa 用绝对值三角不等式得到 ,从而得到不等式,解得即可;|3|xa 【详解】解:(1)当 时, ,2|9x 当 时, , ,所以 ;x9x1 当 时, , ,所以 ;25x21x 当 时, , ,所以 ;x 2x3 综上:不等式的解集为: .|x (2)当 时,不等式 恒成立,即:aR()|2|2|70f 不等式 恒成立,只需要|2|3|7xamin|2|3|7xa 由于 ,当且仅当 时等号成立;|(2)(3)|xa()20 x 即: ,所以: ,|x|7 解得: 或 .4a10 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,不等式恒成立问题,属于中档题.
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