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河北省石家庄五校联合体 2021 届高三数学上学期 12 月质量检测试题 (含解析) 本卷命题范围:高考范围. 一、单项选择题:本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 , ,则 ( ) 270Ax23|0BxRAB A. B. C. D. 1,0,31, 73,2 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式 得 或 ,解不等式 得270 x0Ax 72230 x ,再根据集合的运算求解即可得答案.13Bx 【详解】解:解不等式 得 或 ,故 或 ,270 xx 720Ax72 解不等式 得 ,故 ,23x1313B 所以 002RABxxx 故选:B 2. 设复数 z 满足 ,则| z|( )2 i A. B. C. 3 D. 1105 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【详解】复数 z 满足 ,2 i ,213zii 则 2130z 故选:A 3. 已知 ,则 ( ) 3sin5sin()cos)2 A. B. C. D. 45435-35 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.【 详解】 , , 3sin()sin53i5 则 , i)coi(co)sinss2 故选:C 4. 已知函数 f( x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当-1 x0 时, f( x)2 x-a,若 ,则 a( )2 1(log4)3f A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】先判断 的范围,利用周期性和奇偶性转化得到 ,即2log4 21log33fa 可求值. 【详解】 ,所以 ;2224log16l4log35 22log4l 又函数 f( x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 则 可化为:2 1(log4)3f22231(log4)(log)log3fff 当-1 x0 时, f( x)2 x-a,则 21log33fa 解得: a=1. 故选:A 【点睛】综合利用函数的奇偶性、周期性及对称性求函数值,需要利用性质适当的转化,把 自变量转化到可求区间内. 5. 在 中,点 满足 , 为 上一点,且BCD2BC EADBEmAnC ,则 的最大值为( )(0,)mn A. B. C. D. 16141312 【答案】A 【解析】 【分析】先由 三点共线,利用向量的方法求出 的关系式,再由基本不等式即可,AEDmn, 求解. 【详解】因为 ,所以 ,则 ,因2BC 32BD 32BEACBnD 为 三点共线,所以 , (当且仅当 ,即 ,,AED 1mnnm1 时,等号成立) ,故 .故选 A 13n6 【点睛】本题主要考查向量与基本不等式的结合,涉及向量中三点共线的充要条件,以及基 本不等式的应用,属于中档试题. 6. 已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 4,6,12,则该三棱 锥的外接球的表面积为( ) A. 36 B. 52 C. 56 D. 224 【答案】C 【解析】 【分析】设三条侧棱长分别为 ,由已知列式求得 的值,然后把三棱锥补形为长,abc,abc 方体即可求解. 【详解】设三条侧棱长分别为 ,则 ,abc 114,6,22bca 解得 4,26.abc 把三棱锥补形为长方体,则长方体的体对角线长为 .2256abc 所以三棱锥的外接球的半径为 562 则三棱锥的外接球的表面积为 2456 故选:C. 7. 用 0 与 1 两个数字随机填入如图所示的 5 个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到 右数,不管数到哪个格子,总是 1 的个数不少于 0 的个数,则这样填法的概率为( ) A. B. C. D. 53251613216 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果,然后利用古典概型计算公式确定满足题意的概率值即 可. 【详解】由题意可知,填写的可能结果共有如下 32 种: 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111, 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111, 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111, 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111, 其中满足题意的有 10 种: 10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111, 由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为: . 105326p 本题选择 B 选项. 【点睛】有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事 件数 (1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏, 可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用. 8. 已知点 为双曲线 的右焦点,直线 交 于 两点,若2F 2:1(0,)xyCabykxC,AB , ,则 的虚轴长为( )3 AB23ABS A. 1 B. 2 C. D. 223 【答案】C 【解析】 【分析】左焦点 , ,根据对称性得 ,11FA, 连 接 BF213AFBS 设出 , ,结合余弦定理即可求得 ,结合123 A2 2 ,即可求得 ,进而得到虚轴长12 sin3FBS2b 【详解】设双曲线 的左焦点为 ,连接 , ,C1F1ABF 由对称性可知四边形 是平行四边形,12AB 所以 , ,123AFBS123 设 , ,r2r 则 , 22114cos3c 又 ,故 ,12ra 214rb 又 ,所以 ,12 sin3AFBS 2 则该双曲线的虚轴长为 . 故选 C 【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的综合应用,余弦定理的基本应用,三角形面积的求 法,属于中档题 二、多项选择题:本题共 4 小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9. 若 a2 0.01, clg3,且 a b c.则 b 可能是( ) A. 2-0.5 B. 2lg2 C. D. 30.02 1(3) 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于 A:用 为增函数,比较利用 过渡比较 b、 c 大小;2 xy12 对于 B: 利用 过渡比较 a、 b 大小;比较 b、 c 大小; 1 对于 C:利用 1 过渡比较 a、 b 大小;用 为增函数,适当放缩,比较 b、 c 的大小;lgyx 对于 D: 由 ,直接否定 a b.0.2.0.13 【详解】对于 A:当 b=2-0.5时, 为增函数, , a b;2 xy0.1.52 由 ,而 ,所以 b c,故 A 正确; 0.5122=11=lg0l9lg3c 对于 B: 当 b=2lg2 时, a2 0.011= ( 为增函数) ,所以l42llgyx a b c 成立,故 B 正确; 对于 C:当 b= 时, ,所以 a b; 1(3)10.1()=3 下面比较 b、 c 的大小: ,所以 b c,故 C 1 22()lg10l9lg3,133 正确; 对于 D: 当 b= 30.02时, ,即 amae 2exax2,lnaxea ,故当 时, 22240fxaxaexea 若 有且只有三个零点,则实数 的取值范围是 ., 【点睛】关键点睛: 本题的关键是第二问中,运用导数求函数的单调性后,得出函数极小值的正负情况.
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