河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题理【含解析】

河北省衡水中学 2021 届高三数学上学期期中试题 理（含解析） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.共 150 分，时间 120 分钟. 卷 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题均只有一个正确选项. 1. 集合 ， ， ，若 ，则 210Mx20NxaURUMNI 的取值范围是（ ）a A. B. C. D. 1a11a 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合 ， 的等价条件，结合条件 ，建立不等式关系进行求解即可MNUMNI 【详解】由题得 ， 1|, C|222Uaaxxx， 因为 ，所以 .UNI ,1a 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键 2. 若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是( )ykx 2194yk A. B. C. D. 20,3,032,3, 【答案】C 【解析】 【分析】 联立直线和双曲线 的 方程得到 ，即得 的取值范围. 2236049xkk 【详解】联立直线和双曲线的方程得 2224936,49)36,xkkx（ 当 ，即 时，直线和双曲线的渐近线重合，2490k 23 所以直线与双曲线没有公共点. 当 ，即 时， ，2490k 232236049xk 解之得 .3 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分 析推理能力. 3. 在 中， ， ， ，则 （ ）ABC32AC 1BDCABDur A. B. C. D. 5255454 【答案】C 【解析】 【分析】 用 表示出 ，利用数量积定义，即可容易求得结果.,ABC ,DB 【详解】如图所示， ， 1()2BDAC ， ()B = = .ADB 211()()344CAB54 故选： . 【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题. 4. 已知数列 的前 项和为 ，正项等比数列 中， ，na 2nSnb23a ，则 ( ) 2314,nbN2logb A. B. C. D. 1n 【答案】D 【解析】 【分析】 数列a n的前 n 项和 Sn=n2n，a 1=S1=0，n2 时，a n=SnS n1 ，可得 an设正项等比数列 bn的公比为 q0，b 2=a3=4b n+3bn1 =4bn2（n2，nN +） ，化为 q2=4，解得 q，可得 bn 【详解】数列a n的前 n 项和 Sn=n2n， a 1=S1=0，n2 时，a n=SnS n1 =2n2，n=1 时也成立 a n=2n2 设正项等比数列b n的公比为 q0，b 2=a3=4 bn+3bn1 =4bn2（n2，nN +） ， =4 ，化 为 q2=4，解得 q=21q 12()n b 12=4，解得 b1=2 b n=2n 则 log2bn=n 故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对 这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在： 的关系，可以利用项和公式 ，求数列的()()nnSfaf或 1()2nnSa 通项. 5. 已知直线 与圆 相交于 ， ，且 为等腰10axy 22:11CxyaABC 直角三角形，则实数 的值为( ) A. 或 B. C. D. 1 或 1711 【答案】D 【解析】 【分析】 由三角形 ABC 为等腰直角三角形，得到圆心 C 到直线的距离 d=rsin45，利用点到直线的距 离公式列出方程，求出方程的解即可得到 a 的值 【详解】由题意得到ABC 为等腰直角三角形， 圆心 C（1，a）到直线 ax+y1=0 的距离 d=rsin45，即 = ， 21a 整理得：1+a 2=2，即 a2=1， 解得：a=1 或 1， 故答案为 D 【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标 准方程，等 腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键 6. 在 中， 分别是角 的对边，若 ，则ABC,abc,ABC22014abc 的值为( ) 2tnat A. B. 1 C. 0 D. 2014013 【答案】A 【解析】 【分析】 由 a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得 a2+b2c 2=2013c2=2abcosC利用三角函数基本关系式和 两角和的正弦公式、正弦定理可得 = = 2tanABCt2sinABcoCis = 即可得出 2sinABcosC2abs 【详解】a 2+b2=2014c2， a 2+b2c 2=2013c2=2abcosC = = = =2013 tanABCtsinABcoCis2inAsBcoC2abs 故答案为：A 【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基 础知识与基 本技能方法，属于难题 7. 已知点 是圆 内一点，直线 是以 为中点的弦所在的,0Mab 22:CxyrlM 直线，直线 的方程为 ，那么( )mr A. 且 与圆 相切 B. 且 与圆 相切llmC C. 且 与圆 相离 D. 且 与圆 相离C 【答案】C 【解析】 【分析】 求圆心到直线的距离，然后与 a2+b2r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的 关系 【详解】以点 M 为中点的弦所在的直线的斜率是 ，直线 m 的斜率为 ，直线 lm， abba 点 M（a，b）是圆 x2+y2=r2内一点，a 2+b2r 2， 圆心到 bxay=r 2的距离是 r，故相离 2ab 故答案为：C 【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些 知识的掌握水平和分析推理能力. 8. 若圆 和圆 关于直线 对称，过点 的 210 xya21xy1yx,Ca 圆 与 轴相切，则圆心 的轨迹方程是( )PP A. B. 24820 C. D. 0yx 1yx 【答案】C 【解析】 【分析】 求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出 a 的值，然后求 出过点 C（a，a）的圆 P 与 y 轴相切，就是圆心到 C 的距离等于圆心到 y 轴的距离，即 可 求出圆心 P 的轨迹方程 【详解】圆 x2+y2ax+2y+1=0 的圆心（ ） ，因为圆 x2+y2ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 12a， 关于直线 y=x1 对称，设圆心（ ）和（0,0）的中点为（ ） ， 12a， 142a， 所以（ ）满足直线 y=x1 方程，解得 a=2， 14a， 过点 C（2，2）的圆 P 与 y 轴相切，圆心 P 的坐标为（x，y） 所以 解得：y 2+4x4y+8=0， 2xx 所以圆心 的轨迹方程是 y2+4x4y+8=0， 故答案为：C 【点睛】 （1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考 查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： 待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义， 然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.代入法：如果 点 的运动是由于点 的运动引起的，可以先用点 的坐标表示点 的坐标，然后代MPMP 入点 满足的方程，即得动点 的轨迹方程.直接法：直接把已知的方程和条件化简即P 得动点的轨迹方程.参数法：动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，(,)xy 可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即 ，再消参. ()xfyg 9. 平行四边形 中， ， ，点 在边 上，则ABCD2A1,1BD MCD 的最大值为( )M A. B. C. 0 D. 2213 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的数量积的运算，求出 A=120，再建立坐标系，得到 =x（x2）MA B + =x2 34 2x+ =（x1） 2 ，设 f（x）=（x1） 2 ，利用函数的单调性求出函数的最值， 1414 问题得 以解决 【详解】平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1， =1，点 M 在边 CD 上，AB D | | |cosA=1， cosA= ，A=120， 12 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴， 建立如图所示的坐标系，A（0，0） ，B（2，0） ，D（ ， ） ， 123 设 M（x， ） ，则 x ， 32132 =（x， ） ， =（2x， ） ，A MB3 =x（x2）+ =x22x+ =（x1） 2 ，B 3414 设 f（x）=（x1） 2 ，则 f（x）在 ，1）上单调递减，在1， 上单调递增， 1 32 f（x） min=f（1）= ，f（x） max=f（ ）=2，42 则 的最大值是 2，MA B 故答案为：D 【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关 键是建立坐标系，属于中档题 10. 已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ， 为其右焦点， 210 xyabABF 若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ AFBAF ,64e ） A. B. C. D. 2,12,3123, 36, 【答案】B 【解析】 【分析】 设椭圆 的左焦点为： ,根据 ，得到四边形为 为矩 210 xyab1FAB1AFB 形，再由 ，结合椭圆的定义得到 ，然后由ABF2sin2cosa 求解. 1sincoea 【详解】设椭圆 的左焦点为： , 20 xyab1F 因为 ，AFB 所以四边形为 为矩形，1 所以 2c 因为 ，ABF 所以 sin,cos,c 由椭圆的定义得： ，2i2a 所以 ， 11sincosin4e 因为 ， ,64 所以 ， 5,12 所以 ， 6sin,14 所以 ， 132sin,24 所以 ， ,e 故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹 是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1， F2组成的三角形通常称为“焦点三 角形” ，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求| PF1|PF2|；通过整体代入可求其 面积等 11. 己知点 A 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点， P 在抛物线 24xy 上且满足 ，当 取最大值时，点 P 恰好在以 A、 B 为焦点的双曲线上，则双曲PmB 线的离心率为 A. B. C. D. 212151251 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题目可知，过 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义，结合 ，PNPAmB 可得 ，设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛 1NAmmsin 物线相切，即可求出的 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率P 【详解】由题意知，由对称性不妨设 P 点在 y 轴的右侧，过 作准线的垂线，垂足为 ，则PN 根据则抛物线的定义，可得 ，NBPAmB1N 设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切，设直sinPA 线 的方程为 ，与 联立，得 ，PA1ykx 24y240 xk 令 ，解得2160 可得 ，(,) 又 此时点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上 双曲线的实轴22(1)a1,ac2e 故答案选 B 【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到 方程思想以及数形结合思想 12. 已知在 上的函数 满足如下条件：函数 的图象关于 轴对称；对于任Rfxfxy 意 ， ；当 时， ；函数x20f,2x ， ，若过点 的直线 与函数 的图象在 1nnfx*N1,l4fx 上恰有 8 个交点，在直线 斜率 的取值范围是（ ）0,xlk A. B. C. D. ,10,880,19190,8 【答案】A 【解析】 【分析】 先由条件，得到函数 是周期为 的周期函数；根据求出函数 在一个周期fx4fx 上的表达式为 ，根据得到 的周期为 ，其图象可2, ,02f4f12 由 的图象压缩为原来的 得到，作出 的图象，结合图象，即可求出结果.fx 184fx 【详解】因为函数 是偶函数，由 得fx20 ，22fxffx 即 ，所以函数 是周期为 的周期函数；4f4 若 ，则 ；,0 x,x 因为当 时， ，2f 所以 时， ，,xx 因为函数 是偶函数，所以 ，ffxf 即 ， ，x2,0 则函数 在一个周期 上的表达式为 ，f, ,02xf 因为 ， ， 12nnxx*N 所以函数 ， ，48ff 故 的周期为 ，其图象可由 的图象压缩为原来的 得到，4fx 12fx18 作出 的图象如图： 易知过 的直线 斜率存在，设过点 的直线 的方程为 ，1,0Ml1,0l1ykx 则要使直线 与 的图象在 上恰有 8 个交点，则 ，l4fx,2x0MA 因为 ，所以 ，故 . 7,2A071MAk1k 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到 的图象，再由函数交点个4fx 数，利用数形结合的方法，即可求解. 卷 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在 中， 分别是角 的对边，已知 ， ，ABC,abc,ABC 1sin26Ab 的面积为 ，则 的值为_. 32sin 【答案】2 【解析】 【分析】 根据 解出 A= ，利用三角形的面积公式算出 c=2根据余弦定理 126sinA3 a2=b2+c2 2bccosA 的式子算出 c= ，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案 【详解】 ， A（0，） 126sin 2A+ = ，可得 A=6 53 b=1，ABC 的面积为 ，2 S= bcsinA= ，即 ，解之得 c=22 3132csinA 由余弦定理，得 a2=b2+c22 bccosA=1+42 =3 1os a= （舍负）3 根据正弦定理，得 = = =2 bcsinBCasinA3 故答案为 2 【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形 等知识，属 于中档题 14. 已知平面上有四点 ，向量 ， ， 满足： ，,OABC OBC0AOBC ，则 的周长是_.1OAB 【答案】 36 【解析】 【分析】 先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决 【详解】平面上有四点 O， A， B， C，满足 + + = ，A OBC0 O 是 ABC 的重心， = ，A B （ ）= =0， A 即： ， C 同理可得： ， ，OB C 即 O 是垂心， 故 ABC 是正三角形， = = =1，A A 令外接圆半径 R，则：R 2cos（AOB）=R 2cos（ ）=13 即： R= 2 即： = =2R=2 ， asinA32 即： a= ，6 故周长：3 a=3 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档 题 15. 已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ，1F2 P123 FP 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_. 【答案】 43 【解析】 【分析】 设|PF 1|=r1，|PF 2|=r2，|F 1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e 2, 由余弦定理可得 4c2=（r 1） 2+（r 2） 22r 1r2cos ，在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r 1r2，在双曲3 线中， 化简为即 4c2=4a12+r1r2， ，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 214e所 以 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa 1） ，半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r1，|PF 2|=r2，|F 1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e 2, F 1PF2= ，则由余弦定理可得 4c2=（r 1） 2+（r 2） 22r 1r2cos ，3 3 在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r 1r2， 在双曲线中，化简为即 4c2=4a12+r1r2， ， 2134e所 以 由柯西不等式得（1+ ） （ ）（ ） 2 132e123e124e所 以 故答案为 3 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本 题的关 键属于难题 16. 已知数列 的前 项和 ，若不等式 ，对na 12nnSa23(5)nna 恒成立，则整数 的最大值为_nN 【答案】4 【解析】 【详解】当 时， ，得 ， 1n 21Sa14 当 时， ，2 n 又 ， 1nnSa 两式相减得 ，得 ，12 nna12na 所以 12n 又 ，所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 1ana ，即 2 n()nn 因为 ，所以不等式 ，等价于 0na 23(5)na235n 记 ，12 23,4nbb 时， 2n 11362nnb 所以 时，3 1,n 综上， ，max3 ()8nb 所以 ，所以整数 的最大值为 4 75,5 考点：1数列的通项公式；2解不等式 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，角 的对边分别是 ，已知向量 ，ABC,abc 3cos,in2Am ，且满足 . cos,in2n 3mn (1)求角 的大小； (2)若 ，试判断 的形状.3bcaABC 【答案】(1) (2)直角三角形 【解析】 【分析】 (1)直接化简 得 ， .（2）联立 ，3mn 1cos2A60221bca ，化简得 或 ，当 b=2c 时，可以推理得到 为直角三角形，3bcabbABC 同理，若 ，则 也为直角三角形.2BC 【详解】(1) ，代入 ， 23mn3cos,in2m ，有 cos,iAn ， 3312cossin22AA ，即 ， ， . 1i 31cos2A1cos260A (2) ， 1cos2A22bca 又 3ba 联立有， ，即 ， 223bcc2250bc 解得 或 ，又 ，若 ，则 ，ba3ac ， 为直角三角形，同理，若 ，则 也 22 234accbABC2bABC 为直角三角形. 【点睛】 （1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到 或 .2bcb 18. 已知圆 经过原点 且与直线 相切于点C0,O28yx4,0P （）求圆 的方程； （）在圆 上是否存在两点 关于直线 对称，且以线段 为直径的圆经,MN1ykxMN 过原点？若存在,写出直线 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】 （） . 2215xy （）见解析. 【解析】【 分析】 （）由已知得圆心经过点 P（4，0） 、且与 y=2x8 垂直的直线 上，它又在线 12yx 段 OP 的中垂线 x=2 上，求得圆心 C（2，1） ，半径为 ，可得圆 C 的方程5 （）假设存在两点 M，N 关于直线 y=kx1 对称，则 y=kx1 通过圆心 C（2，1） ，求得 k=1，设直线 MN 为 y=x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及 =0，求得 b 的值，OM N 可得结论 【详解】 （）法一：由已知，得圆心在经过点 且与 垂直的直线4,0P28yx 上，它又在线段 的中垂线 上，所以求得圆心 ，半径为 . 12yxO2x,1C5 所以圆 的方程为 .C 2215y (细则：法一中圆心 3 分，半径 1 分，方程 2 分) 法二：设圆 的方程为 ， 200 xr 可得 22020200,1485yrxxyrr或 解得 , 0,15.r 所以圆 的方程为C 2215xy (细则：方程组中一个方程 1 分) （）假设存在两点 关于直线 对称，则 通过圆心 ，求得,MNkx1ykx2,1C ，1k 所以设直线 为 yxb 代入圆的方程得 ， 220 设 ， ，则1,Mx2,Nx 212130OMNxbxb 解得 或0b3 这时 ，符合题意，所以存在直线 为 或 符合条件yx3 (细则：未判断 的扣 1 分). 【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简 单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重 考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化 为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键 19. 各项均为正数的数列 中， ， 是数列 的前 项和，对任意 ，有na1nSna*nN . 2nnSpapR (1)求常数 的值； (2)求数列 的通项公式；n (3)记 ，求数列 的前 项和 . 423nSbnbnT 【答案】 （1） （2） （3） p 1na12nn 【解析】 【分析】 (1)令 中 n=1 即得 p 的值.(2)利用项和公式求数列 的通 2nnSpapRna 项公式.(3)先求出 ，再利用错位相减法求数列 的前 项和 . 423nnSb nbnT 【详解】解：(1)由 及 ，得： ，1a *nnpaN2p .1p (2)由 ，得 2nnS211nnS 由，得 ， 211aa 即： ，20nnn ，112 由于数列 各项均为正数， ，即 ，na12na12n a 数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，na2 数列 的通项公式是 .n 12nna (3)由 ，得： ， ， 12na34nS43nnSb 32nT ， 2 111nn 23 11222n nnnT . 1n 【点睛】 （1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查 错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列 ，其中 是等差数列， 是等比数列，则采用错位相减法.nbcnbnc 20. 已知椭圆 的离心率 ，原点到过点 ， 2:10 xyCab32e,0Aa 的直线的距离是 .0,Bb 45 （1）求椭圆 的方程； （2）如果直线 交椭圆 于不同的两点 ， ，且 ， 都在以 为圆10ykxCEFB 心的圆上，求 的值. 【答案】 （1） ；（2） . 2164xy24k 【解析】 【分析】 （1）由离心率 ，可得 ，再求出直线 ，从而得 32e2ab1:BxaAyb ，解方程组可求出 的值，进而可得椭圆 的方程；2 45abd,abC （2）设 ， ， 的中点是 ，再将直线2,Exy3,FxyE,Mxy 与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得10yk ， ，再由 ， 都在以 为圆心的圆上，可 2234Mkx214MyxkEFB 得 ，从而可求出 的值y 【详解】解：（1）因 为 ， ，所以 . 32ca2cbab 因为原点到直线 的距离 ，解得 ， . 1:BxAyb245d42b 故所求椭圆 的方程为 .C 264 （2）由题意 消去 ，整理得 .可知 . 21ykxy2148120kx 设 ， ， 的中点是 ，则 ，2,Exy3,FxE,My2 34Mxk ，2 14Mkk 因为 ， 都在以 为圆心的圆上，且 ，B0,2B 所以 ， 1Mykx 所以 .即 .20y22 401kk 又因为 ，所以 .所以 .k84 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键 是将 的中点 坐标用含 的式子表示，再由 ， 都在以 为圆心的圆上，EF,MxykEFB 得 ，将点 的坐标代入可求出 的值，考查计算能力，属于中档题20MxkyMk 21. 已知定点 ，定直线 ，动圆 过点 ，且与直线 相切.,1F:1lyFl （1）求动圆 的圆心轨迹 的方程；C （2）过点 的直线与曲线 相交于 两点，分别过点 作曲线 的切线 ，两条,AB,ABC12,l 切线相交于点 ，求 外接圆面积的最小值.P 【答案】 （） ；（）当 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最 24xy0k 小，最小面积为 . 【解析】 试题分析：（）设 ，由 化简即可得结论；（）由题意,Mxy 221y 的外接圆直径是线段 ，设 ： ，与 联立得 ，PAB ABlkx 24y240 xk 从而得 ， 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小 241k0 面积为 . 试题解析：（）设点 到直线 的距离为 ，依题意 .MldMFd 设 ，则有 .,xy 221xy 化简得 . 24 所以点 的轨迹 的方程为 .C 24xy （）设 ： ，ABl1yk 代入 中，得 . 24x240 x 设 ， ，1,y,y 则 ， .2xk12x 所以 .AB 241k 因为 ： ，即 ，所以 .C 24xyxxy 所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .1l 12xk2l2xk 因为 ， 214xk 所以 ，即 为直角三角形.PAB 所以 的外接圆的圆心为线段 的中点，线段 是直径.ABAB 因为 ， 241k 所以当 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 .0 4 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线 的 距离公式及三角形面积公式，属 于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于,xy 的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，,xy 把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将 代入, 0gyhx .本题（）就是利用方法求圆心轨迹方程的.0fxy 22. 设函数 21lnfxabx （1）当 时，求函数 的最大值；2 abf （2）令 ， （ ）其图象上任意一点 处切线 21aFxfxb03x0,Pxy 的斜率 恒成立，求实数 的取值范围； k （3）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值0a1b 2mfxm 【答案】 （1） ；（2） ；（3） . 34a1 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，根据导数大于 0 或小于 0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值. （2）求出 ，根据 ，列不等式，分离参数可得 ln,0,3aFxx012kFx ，进而求出结果. 20max1a （3） 有唯一正实数解,构造函数 ，对函数2ln0 x 2lngxmx 求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为 0，进而求出 m 值. 【详解】 （1）依题意，知 的定义城为 ，fx, 当 时， ，2 ab21ln4f ，令 ，解得 . 1xfx0fx1x 当 时， ，此时 单调递增；00ff 当 时， ，此时 单调递减，1xxx 所以 的极大值为 ，此即为最大值.f 314f （2） ，则有 ，在 上恒成立， ln,0,aFxx021xakF0,3x 所以 ， . 20max1a0,3 当 时， 取得最大值 ，所以 .01x 22001()+12a （3）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一正实数解， 2fxln0 xmx 设 ，则 ，令 ， 2lngxm2gg ，20 因为 ， ，所以 （舍去） ， ，x 2140mx2240mx 当 时， ， 在 上单调递减；20,x0gx2,x 当 时， ， 在 上单调递增；g 故 时， ， 取最小值2x2xx2x 因为 有唯一正实数解，所以 ，0g0 则 即 2,x22ln,xmx 所以 ，因为 ，所以 .2ln+02ln10 x 设函数 ，因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解，l1hxx0 xhhx 因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得 .10h21x 241m2m 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.