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广西玉林高级中学 2020-2021 学年高一数学上学期期中试题(含解析) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. 已知集合 , ,则 ( )1,23A3, xByAB A. B. C. D. ,971,369271,3 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 ,即可由并集的定义求出.B 【详解】 , ,1,23A3,927 xyA .97 故选:A. 【点睛】本题考查并集的运算,属于基础题. 2. 已知函数 的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标为( )()fx12a A. (0,1) B. (-1,-1) C. (-1,1) D. (1,- 1) 【答案】B 【解析】 【分析】 当 ,即 时 ,所以定点为(-1,-1)10 x1x1 xay 【详解】当 ,即 时 ,所以定点为(-1,-1) x 考点:指数函数性质 3. 已知函数 ,则 的值是( )2 3,0()logxf1()2f A. B. 3 C. D. 1 33 【答案】C 【解析】 【分析】 把 代入到函数 中可先求 ,然后在把 代入到 12x2()logfx1()2f1x 求值即可.()3 xf 【详解】由题意可得, 2 1()log1f11()32ff 故选:C. 4. 下列等式成立的是( ) A. B. 222log(84)llog4 22log8l4 C. D. 322ll 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案 【详解】对于 A, ,22log(84)l ,22log8l31 ,故 A 错误;2(4)l 对于 B, , , 2log228log1l4 ,故 B 错误; 228l4l 对于 C, ,22log()l1 ,2l83 ,故 C 错误;222log(84)llog4 对于 D,由对数的运算法则得 ,故 D 正确. 32log 故选:D 5. 下列各组函数是同一函数的是( ) 与 ; 32fx2gx 与 ;| 3 与 ; 0fx21()gx 与 21tt A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同一函数的判定条件,逐项判断,即可得出结果. 【详解】对于, 的定义域是 , 的定义 32fxx,02gx 域是 ,两函数的对应关系不同,不是同一函数;,0 对于, 的定义域是 , 的定义域是 ,两函数的对应关系不fxR 3gxR 同,不是同一函数; 对于, 的定义域是 , 的定义域是 01fx,0,21gx ,两函数的对应关系不同,不是同一函数;, 对于, 的定义域是 , 的定义域是 ,两函数的定义 21fxR21gttR 域相同,对应关系也相同,是同一函数. 故选:D 6. 已知 , , ,则 的大小关系是( )2.105a0.5b2.1cabc A. B. C. D. cac cab 【答案】B 【解析】 【分析】 利用中间值、指数函数和幂函数的单调性即可得出. 【详解】解: , , , 2.105(,)a0.521,b2.10,c 为增函数, 2.1yx ,.05 ,ac .b 故选: .B 7. 函数 的值域是( ) 1()2xf A. , B. , C. D. ,(12(1,)1) 【答案】A 【解析】 【分析】 由指数函数的性质即可求解. 【详解】解:因为 ,函数 在定义域上单调递减,|0 x 12xy 所以 , 1()()2f 又 , ()xf 故函数 的值域为 , .()f(12 故选: .A 【点睛】本题主要考查函数值域的求法,考查指数函数的性质的应用,属于基础题. 8. 已知 对任意 , , ,则 (3)5,1)2,axfx1x2R1212()()0 xffx 的取值范围是( )a A. B. , C. D. ,(0,3)(03(0,)( 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出函数是减函数,得到不等式组,解出即可. 【详解】对任意 , , ,1x2R1212()()0 xffx 在 上是减函数,()f ,解得: , 3052a02a 故选: D 9. 已知函数 是定义在 上的增函数,且 , ,fx,21ffxyffy 则不等式 ( )23 A. B. C. D. 1,21, ,42,4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 且 可得 , ,则fxyffy21f42f()83f= 可化为 ,然后根据单调性求解.23ff8x 【详解】根据 可得, 可转化为 ,xyffy23fxf23fx 又 ,42ff 所以 ,即 ,813f8fxf 因为 是定义在 上的增函数,所以只需满足 ,解得: .fx0, 280 x24x 故选:D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用,考查利用函数的单调性解不等式,难度一般,根据题目 条件将问题灵活转化是关键. 10. 函数 的部分图象大致是( ) 21()xf A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性,以及函数的单调性,推出结果即可. 【详解】函数 是偶函数,当 时,函数是减函数, 是由 21()xf0 x21()xf ,两个函数复合而成, 恒大于 0,不可能与 轴有交点.,()2 tfx 2()tfx, 函数的图象为: . 故选:C. 11. 已知函数 是定义在 上的偶函数,在区间 , 上递增,若实数 满足()fxR(0a ,则实数 的取值范围为( ) 12fafa A. B. , 13,2 C. D. 13,2 3,2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性可知 在 上递减,将不等式转化为 ,求解即可.()fx0, 1|2a 【详解】解: 是定义在 上的偶函数,且在区间 , 上递增R(0 在 上递减.()fx0, , 12ff ,即 faf12faf12 解得 . 3a 故选:C 12. 函数 f(x)是定义在 上的奇函数,且 f(1)0,若对任意 x1, x2(,0),且R x1 x2,都有 成立,则不等式 f(x)x2时, , 121() ()ff 所以 在(,0)上单调递减,12(),Fxx 所以 F(x)在(0,)上单调递增, 等价于 或 ,()0f 0()x()0Fx 解得 或 ,1x 所以不等式 f(x)0 的解集为(,1)(0,1). 故选:C 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式,构造函数是解题的关键,属于中档题 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. _ 013227log5= 【答案】 6 【解析】 【分析】 根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得; 【详解】解: 01 1133232 227log4loglog3165= 故答案为:6 【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算,属于基础题 . 14. 若函数 的单调递减区间是 , ,则实数 的值为_.()|fxa(4a 【答案】4 【解析】 【分析】 根据绝对值函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】解:当 时, ,此时函数为增函数,xa()fxa 当 时, ,此时函数为减函数,x()f 则函数 的 单调递减区间为 , ,(a 函数 的单调递减区间是 , ,()|fx(4 ,4a 故答案为:4 15. 已知 , ,则 (2) _. 2053()8bfxax(2)10ff 【答案】 6 【解析】 【分析】 利用函数的解析式通过函数的奇偶性求出结果即可. 【详解】 , , 2053()8bfxax(2)10f 可得 , 20531 可得 . 20538ba (2) .f 205326 故答案为: .6 16. 已知定义在 上的函数 满足 ,且当 时,1,3fx 1ffx2,3x .则函数 在 上的最大值是_. 52fxf1,3 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意可先算出定义在 中的函数表达式,再分别求 在 和 的最大值,即1,2fx1,2,3 知 在 上的最大值.fx,3 【详解】由题意,设 时,则 ,1,2x12,3x 551(1)()22fxx 又 ,有 , 1fxf5()f()5fx 当 时, 为减函数,故当 时, ;,2 125fx1,2xmax12f 当 时, 为增函数,故当 时, .,3x f,3ax534f 故函数 在 的最大值为 2.f1, 故答案为:2 【点睛】方法点睛:本题主要考查求函数解析式,求函数解析式常用的方法: (1)已知函数类型,用待定系数法求解析式 (2)已知 求 ,或已知 求 ,用代入法、换元法或配凑法()fx()g()fgx()f (3)若 与 或 满足某个等式,可构造另一个等式,通过解方程组求解()f 1()fx (4)根据不同区间上的函数之间的关系求不同区间上的函数表达式,将所求的区间上的定 义域凑到满足区间条件的定义域中去,从而利用已知的函数表达式求所求区间的函数表达式. 三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题 卷上相应题目的答题区域内作答 17. 已知 ,()2 xf1,()xg (1)求 与 ;f (2)求 与 的表达式.()fgx() 【答案】 (1) , ;(2) ,(2)f()3gf 12()xfg 210()xgf 【解析】 【分析】 (1)根据函数的定义域,将自变量代入函数解析式即可求出结果; (2)利用代入法,即可求 与 的 解析式,代入的时候要注意函数的定义()fgx()f 域 【详解】 (1) , , ,(2)1()4f(2)fg(2)3f (2) , ()2(xgfx1,()xff102x 【点睛】本题考查函数值的求法和解析式求法,属于基础题 18. 设集合 ,集合 ,且 . 210Ax20,BxabxRB (1)若 ,求实数 、 的值;Bab (2)若 ,且 ,求实数 的值.C 2,m 【答案】 (1) , 或 , 或 , ;(2) 或 .2110a1b0m1 【解析】 【分析】 (1)解出集合 ,分集合 、 、 三种情况讨论,结合韦达定理1,A1B,1 可得出实数 、 的值;ab (2)由 可得出 或 ,并利用集合 中的元素满足互异性得出实数C21m2C 的值.m 【详解】 (1) , ,且 ,分以下三种情况讨论: 20,AxBA 当 时,由韦达定理得 ;B 21ab 当 时,由韦达定理得 ;1 21 当 时,由韦达定理得 .1,B 10ab 综上所述, , 或 , 或 , ;2ab21b (2) ,且 , 或 ,解得 或 .AC1,m2m01m 当 时, ,集合 中的元素满足互异性,合乎题意;0m0C 当 时, ,集合 中的元素不满足互异性,舍去;12 当 时, ,集合 中的元素满足互异性,合乎题意.,31C 综上所述, 或 .0 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数,同时也考查了一元二次方程根与系数的关系, 解题时要注意有限集中的元素要满足互异性,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 19. 某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每 毫升血液中的含药量 (微克)与时间 (小时)之间近似满足如图所示的曲线.yt (1)结合图,求 与 的值;ka (2)写出服药后 与 之间的函数关系式 ;yt ()yft (3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克时治疗疾病有效,求服药一次治 疗有效的时间范围? 【答案】 (1) , ;(2) ;(3) .4k3a 4,01()2tft48t 【解析】【 分析】 (1)由函数图象得到分段函数,由函数解析式且都过 ,故可将 点代入解析式,(1,4)M 求出参数值; (2)利用(1)的结论,即可得到函数的解析式. (3)由题意有不等式 ,求出每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克的起始时刻和结()0.5ft 束时刻,即服药一次治疗有效的时间范围. 【详解】 (1)由题意,当 时,过点 ,代入解析式得 ;1t(,4)4k 当 时,函数的解析式为 ,此时 在曲线上,将此点的坐标代入函数解析t ()2tay1,M 式得 ,解得 ; 14()2a3 (2)由(1)知, ; 34,01()2tft (3)由(2)知,令 ,即 ,解得 .()0.5ft 3.5,011()tt48t 20. 已知函数 f( x) 2 (1)求 f( x)的定义域、值域和单调区间; (2)判断并证明函数 g( x) xf( x)在区间(0,1)上的单调性 【答案】(1)见解析(2)见证明 【解析】【 分析】 (1)根据分母不能为零求得定义域,利用分离常数法求得函数的值域,类比反比例函数的 单调性,求得函数 的单调区间.(2)首先化简函数 的表达式,令 且fxgx12x ,通过计算 ,判断出函数 为 上的减函数.12,0,x120gx0, 【详解】(1)由 可得 则 的定义域为fx, , 由 2121xfxx 可得 的值域为f, , 的单调递减区间为 和x, , (2) 在 上是减函数,证明如下:g0,1 ,令 且 , 2xxf12x1,0,12gx21x ,由于“ 且 ”,故 121x121, , ,即 ,故12120,0 x 1212xx1220 x ,即 ,故函数 在 上为减函数.g12gg0, 【点睛】本小题主要考查分式函数的定义域、值域以及单调区间的求法,考查利用定义法求 解函数的单调性.利用定义法求函数在给定的区间上的单调性的方法是:首先在定义域上任 取两个数 ,然后作差 ,通过通分和因式分解后,判断12x12fxf 的正负,由此得到函数在给定区间上的单调性.ff 21. 已知二次函数 . 2()3fx (1)若 对于 恒成立,求 的取值范围;()0ftRt (2)若 ,当 时,若 的最大值为 2,求 的值.gxfmx1,2()gxm 【答案】 (1) ;(2) . 98t 【解析】 【分析】 (1)将二次函数 解析式代入,结合二次函数性质及恒成立问题可知 ,即可求得()fx 0 的取值范围;t (2)将 的解析式代入,并求得 的对称轴;根据 ,分离讨论对称轴的位置,()fx()gx1,2x 即可由最大值求得 的值,舍去不符合要求的解即可.m 【详解】 (1) 对于 恒成立,()0fxtxR 即 对于 恒成立,23xt ,()8 解得 ; 9t (2)若 ,二次函数开口向下,对称轴 , 2()()(3)gxfmxx34mx 在 时, 的最大值为 2,1, 当 ,即 时, ,解得 ; 341max()(1)32gm1 当 ,即 时, , 12m5ax69248g 解得 (舍)或 (舍) ;7 当 ,即 时, ,解得 (舍) ; 3245max()(2)862g2m 综上所述, 的值为 1,即 .m 【点睛】本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立问题的解法,由二次函数的最 值求参数,分离讨论思想的应用,属于基础题. 22. 已知定义在 上的函数 是奇函数.R1 4()xbfa (1)求 的值:,ab (2)当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. (,1)x4()30 xmfm 【答案】 (1) , ;(2) .ab,12 【解析】 【分析】 (1)由题意利用函数的奇偶性的性质,求出 的值.ab (2)根据题意转化为 恒成立,进而转化为 恒成立,再 143()xxm4()mt 根据函数 在区间 上是减函数,求出 的值,可得 的范围. ()4htt(,)1()h 【详解】 (1)因为函数 是定义在 上的奇函数,1 4)xbfaR 可得 ,解得 ,所以 , (0)4bfa14()xfa 又由 ,可得 ,解得 ,(1)(ff 146a4 所以函数的解析式为 . )(1)x (2)不等式 恒成立,即 恒成立,4()30 xmf43(1)xxm 因为 ,可得 ,所以 , 1(,)4(1)x4x 令 ,则 ,4xt3, 且 . 2(3)()(2)4()()4()1xtttt 所以 恒成立, 4()mt 令 ,则函数 在区间 上是减函数, ()htt4()htt(3,1) 因为 ,所以 .1212 即实数 的取值范围 .m(, 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略: 1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围; 2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题 3、根据恒成求解参数的取值时,一般涉及分类参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后 构造的新函数能直接求出最值点的情况,通常要设出导数的零点,难度较大.
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