广西玉林高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题【含解析】

广西玉林高级中学 2020-2021 学年高一数学上学期期中试题（含解析） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1. 已知集合 ， ，则 （ ）1,23A3, xByAB A. B. C. D. ,971,369271,3 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 ，即可由并集的定义求出.B 【详解】 ， ，1,23A3,927 xyA .97 故选：A. 【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题. 2. 已知函数 的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标为（ ）()fx12a A. （0，1） B. （-1，-1） C. （-1，1） D. （1，- 1） 【答案】B 【解析】 【分析】 当 ，即 时 ，所以定点为（-1，-1）10 x1x1 xay 【详解】当 ，即 时 ，所以定点为（-1，-1） x 考点：指数函数性质 3. 已知函数 ，则 的值是（ ）2 3,0()logxf1()2f A. B. 3 C. D. 1 33 【答案】C 【解析】 【分析】 把 代入到函数 中可先求 ，然后在把 代入到 12x2()logfx1()2f1x 求值即可.()3 xf 【详解】由题意可得， 2 1()log1f11()32ff 故选：C. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. 222log(84)llog4 22log8l4 C. D. 322ll 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案 【详解】对于 A， ，22log(84)l ，22log8l31 ，故 A 错误；2(4)l 对于 B， ， ， 2log228log1l4 ，故 B 错误； 228l4l 对于 C， ，22log()l1 ，2l83 ，故 C 错误；222log(84)llog4 对于 D，由对数的运算法则得 ，故 D 正确. 32log 故选：D 5. 下列各组函数是同一函数的是（ ） 与 ； 32fx2gx 与 ；| 3 与 ； 0fx21()gx 与 21tt A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同一函数的判定条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于， 的定义域是 ， 的定义 32fxx,02gx 域是 ，两函数的对应关系不同，不是同一函数；,0 对于， 的定义域是 ， 的定义域是 ，两函数的对应关系不fxR 3gxR 同，不是同一函数； 对于， 的定义域是 ， 的定义域是 01fx,0,21gx ，两函数的对应关系不同，不是同一函数；, 对于， 的定义域是 ， 的定义域是 ，两函数的定义 21fxR21gttR 域相同，对应关系也相同，是同一函数. 故选：D 6. 已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）2.105a0.5b2.1cabc A. B. C. D. cac cab 【答案】B 【解析】 【分析】 利用中间值、指数函数和幂函数的单调性即可得出. 【详解】解： ， ， ， 2.105(,)a0.521,b2.10,c 为增函数， 2.1yx ，.05 ，ac .b 故选： .B 7. 函数 的值域是（ ） 1()2xf A. ， B. ， C. D. ，(12(1,)1) 【答案】A 【解析】 【分析】 由指数函数的性质即可求解. 【详解】解：因为 ，函数 在定义域上单调递减，|0 x 12xy 所以 ， 1()()2f 又 ， ()xf 故函数 的值域为 ， .()f(12 故选： .A 【点睛】本题主要考查函数值域的求法，考查指数函数的性质的应用，属于基础题. 8. 已知 对任意 ， ， ，则 (3)5,1)2,axfx1x2R1212()()0 xffx 的取值范围是（ ）a A. B. ， C. D. ，(0,3)(03(0,)( 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出函数是减函数，得到不等式组，解出即可. 【详解】对任意 ， ， ，1x2R1212()()0 xffx 在 上是减函数，()f ，解得： ， 3052a02a 故选： D 9. 已知函数 是定义在 上的增函数，且 ， ，fx,21ffxyffy 则不等式 （ ）23 A. B. C. D. 1,21, ,42,4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 且 可得 ， ，则fxyffy21f42f()83f= 可化为 ，然后根据单调性求解.23ff8x 【详解】根据 可得， 可转化为 ，xyffy23fxf23fx 又 ，42ff 所以 ，即 ，813f8fxf 因为 是定义在 上的增函数，所以只需满足 ，解得： .fx0, 280 x24x 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目 条件将问题灵活转化是关键. 10. 函数 的部分图象大致是（ ） 21()xf A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，以及函数的单调性，推出结果即可. 【详解】函数 是偶函数，当 时，函数是减函数， 是由 21()xf0 x21()xf ，两个函数复合而成， 恒大于 0，不可能与 轴有交点.,()2 tfx 2()tfx， 函数的图象为： . 故选：C. 11. 已知函数 是定义在 上的偶函数，在区间 ， 上递增，若实数 满足()fxR(0a ，则实数 的取值范围为（ ） 12fafa A. B. , 13,2 C. D. 13,2 3,2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性可知 在 上递减，将不等式转化为 ，求解即可.()fx0, 1|2a 【详解】解： 是定义在 上的偶函数，且在区间 ， 上递增R(0 在 上递减.()fx0, ， 12ff ，即 faf12faf12 解得 . 3a 故选：C 12. 函数 f(x)是定义在 上的奇函数，且 f(1)0，若对任意 x1， x2(，0)，且R x1 x2，都有 成立，则不等式 f(x)x2时， ， 121() ()ff 所以 在(，0)上单调递减，12(),Fxx 所以 F(x)在(0，)上单调递增， 等价于 或 ，()0f 0()x()0Fx 解得 或 ，1x 所以不等式 f(x)0 的解集为(，1)(0，1). 故选：C 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. _ 013227log5= 【答案】 6 【解析】 【分析】 根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得； 【详解】解： 01 1133232 227log4loglog3165= 故答案为：6 【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题 . 14. 若函数 的单调递减区间是 ， ，则实数 的值为_.()|fxa(4a 【答案】4 【解析】 【分析】 根据绝对值函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】解：当 时， ，此时函数为增函数，xa()fxa 当 时， ，此时函数为减函数，x()f 则函数 的 单调递减区间为 ， ，(a 函数 的单调递减区间是 ， ，()|fx(4 ，4a 故答案为：4 15. 已知 ， ，则 （2） _. 2053()8bfxax(2)10ff 【答案】 6 【解析】 【分析】 利用函数的解析式通过函数的奇偶性求出结果即可. 【详解】 ， ， 2053()8bfxax(2)10f 可得 ， 20531 可得 . 20538ba （2） .f 205326 故答案为： .6 16. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，1,3fx 1ffx2,3x .则函数 在 上的最大值是_. 52fxf1,3 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意可先算出定义在 中的函数表达式，再分别求 在 和 的最大值，即1,2fx1,2,3 知 在 上的最大值.fx,3 【详解】由题意，设 时，则 ，1,2x12,3x 551(1)()22fxx 又 ，有 ， 1fxf5()f()5fx 当 时， 为减函数，故当 时， ；,2 125fx1,2xmax12f 当 时， 为增函数，故当 时， .,3x f,3ax534f 故函数 在 的最大值为 2.f1, 故答案为：2 【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式 （2）已知 求 ，或已知 求 ，用代入法、换元法或配凑法()fx()g()fgx()f （3）若 与 或 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解()f 1()fx （4）根据不同区间上的函数之间的关系求不同区间上的函数表达式，将所求的区间上的定 义域凑到满足区间条件的定义域中去，从而利用已知的函数表达式求所求区间的函数表达式. 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题 卷上相应题目的答题区域内作答 17. 已知 ，()2 xf1,()xg （1）求 与 ；f （2）求 与 的表达式.()fgx() 【答案】 （1） ， ；（2） ，(2)f()3gf 12()xfg 210()xgf 【解析】 【分析】 （1）根据函数的定义域，将自变量代入函数解析式即可求出结果； （2）利用代入法，即可求 与 的 解析式，代入的时候要注意函数的定义()fgx()f 域 【详解】 （1） ， ， ，(2)1()4f(2)fg(2)3f （2） ， ()2(xgfx1,()xff102x 【点睛】本题考查函数值的求法和解析式求法，属于基础题 18. 设集合 ，集合 ，且 . 210Ax20,BxabxRB （1）若 ，求实数 、 的值；Bab （2）若 ，且 ，求实数 的值.C 2,m 【答案】 （1） ， 或 ， 或 ， ；（2） 或 .2110a1b0m1 【解析】 【分析】 （1）解出集合 ，分集合 、 、 三种情况讨论，结合韦达定理1,A1B,1 可得出实数 、 的值；ab （2）由 可得出 或 ，并利用集合 中的元素满足互异性得出实数C21m2C 的值.m 【详解】 （1） ， ，且 ，分以下三种情况讨论： 20,AxBA 当 时，由韦达定理得 ；B 21ab 当 时，由韦达定理得 ；1 21 当 时，由韦达定理得 .1,B 10ab 综上所述， ， 或 ， 或 ， ；2ab21b （2） ，且 ， 或 ，解得 或 .AC1,m2m01m 当 时， ，集合 中的元素满足互异性，合乎题意；0m0C 当 时， ，集合 中的元素不满足互异性，舍去；12 当 时， ，集合 中的元素满足互异性，合乎题意.,31C 综上所述， 或 .0 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系， 解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19. 某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每 毫升血液中的含药量 (微克)与时间 (小时)之间近似满足如图所示的曲线.yt （1）结合图，求 与 的值；ka （2）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；yt ()yft （3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克时治疗疾病有效，求服药一次治 疗有效的时间范围？ 【答案】 （1） ， ；（2） ；（3） .4k3a 4,01()2tft48t 【解析】【 分析】 （1）由函数图象得到分段函数，由函数解析式且都过 ，故可将 点代入解析式，(1,4)M 求出参数值； （2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式. （3）由题意有不等式 ，求出每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克的起始时刻和结()0.5ft 束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围. 【详解】 （1）由题意，当 时，过点 ，代入解析式得 ；1t(,4)4k 当 时，函数的解析式为 ，此时 在曲线上，将此点的坐标代入函数解析t ()2tay1,M 式得 ，解得 ； 14()2a3 （2）由（1）知， ； 34,01()2tft （3）由（2）知，令 ，即 ，解得 .()0.5ft 3.5,011()tt48t 20. 已知函数 f（ x） 2 （1）求 f（ x）的定义域、值域和单调区间； （2）判断并证明函数 g（ x） xf（ x）在区间（0，1）上的单调性 【答案】(1)见解析(2)见证明 【解析】【 分析】 （1）根据分母不能为零求得定义域，利用分离常数法求得函数的值域，类比反比例函数的 单调性，求得函数 的单调区间.（2）首先化简函数 的表达式，令 且fxgx12x ，通过计算 ，判断出函数 为 上的减函数.12,0,x120gx0, 【详解】(1)由 可得 则 的定义域为fx， ， 由 2121xfxx 可得 的值域为f， ， 的单调递减区间为 和x， ， (2) 在 上是减函数，证明如下：g0,1 ，令 且 ， 2xxf12x1,0,12gx21x ，由于“ 且 ”，故 121x121, ， ，即 ，故12120,0 x 1212xx1220 x ，即 ，故函数 在 上为减函数.g12gg0, 【点睛】本小题主要考查分式函数的定义域、值域以及单调区间的求法，考查利用定义法求 解函数的单调性.利用定义法求函数在给定的区间上的单调性的方法是：首先在定义域上任 取两个数 ，然后作差 ，通过通分和因式分解后，判断12x12fxf 的正负，由此得到函数在给定区间上的单调性.ff 21. 已知二次函数 . 2()3fx （1）若 对于 恒成立，求 的取值范围；()0ftRt （2）若 ，当 时，若 的最大值为 2，求 的值.gxfmx1,2()gxm 【答案】 （1） ；（2） . 98t 【解析】 【分析】 （1）将二次函数 解析式代入，结合二次函数性质及恒成立问题可知 ，即可求得()fx 0 的取值范围；t （2）将 的解析式代入，并求得 的对称轴；根据 ，分离讨论对称轴的位置，()fx()gx1,2x 即可由最大值求得 的值，舍去不符合要求的解即可.m 【详解】 （1） 对于 恒成立，()0fxtxR 即 对于 恒成立，23xt ，()8 解得 ； 9t （2）若 ，二次函数开口向下，对称轴 ， 2()()(3)gxfmxx34mx 在 时， 的最大值为 2，1, 当 ，即 时， ，解得 ； 341max()(1)32gm1 当 ，即 时， ， 12m5ax69248g 解得 （舍）或 （舍） ；7 当 ，即 时， ，解得 （舍） ； 3245max()(2)862g2m 综上所述， 的值为 1，即 .m 【点睛】本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立问题的解法，由二次函数的最 值求参数，分离讨论思想的应用，属于基础题. 22. 已知定义在 上的函数 是奇函数.R1 4()xbfa （1）求 的值：,ab （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. (,1)x4()30 xmfm 【答案】 （1） ， ；（2） .ab,12 【解析】 【分析】 （1）由题意利用函数的奇偶性的性质，求出 的值.ab （2）根据题意转化为 恒成立，进而转化为 恒成立，再 143()xxm4()mt 根据函数 在区间 上是减函数，求出 的值，可得 的范围. ()4htt(,)1()h 【详解】 （1）因为函数 是定义在 上的奇函数，1 4)xbfaR 可得 ，解得 ，所以 ， (0)4bfa14()xfa 又由 ，可得 ，解得 ，(1)(ff 146a4 所以函数的解析式为 . )(1)x （2）不等式 恒成立，即 恒成立，4()30 xmf43(1)xxm 因为 ，可得 ，所以 ， 1(,)4(1)x4x 令 ，则 ，4xt3, 且 . 2(3)()(2)4()()4()1xtttt 所以 恒成立， 4()mt 令 ，则函数 在区间 上是减函数， ()htt4()htt(3,1) 因为 ，所以 .1212 即实数 的取值范围 .m(, 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后 构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.