河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题文【含解析】

河北省衡水中学 2021 届高三数学上学期期中试题 文（含解析） 一选择题 1. 设集合 ， ，则 （ ） 210Ax2,xByAB A. B. C. D. 0,1, 1, 1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 先由一元二次不等式的解法求得集合 A，再根据指数函数的值域求得集合 B，利用集合的交 集运算可得选项. 【详解】因为 ， 210+101,Axx 又 时， ，所以 ，1x x2,2xByA， 所以 ，AB ,12 故选：D. 2. 已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，复数 的虚部等于( )z 32iiiz A. B. C. D. 1554535 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算法则求出 ，由此能求出复数 的虚 2415iziz 部 【详解】复数 满足： (其中 为虚数单位)，z 32iii 14125iizi 复数 的虚部等于 ，故选 C.z 45 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的 乘除运算法则的合理运用 3. 命题 若 为第一象限角，则 ；命题 ：函数 有两个零点，:psinq 2xf 则( ) A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为qpqppq 真命题 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数的性质，对于命题 可以举出反例 ，可得其为假，对于命题 ，根p 12q 据零点存在定理可得其至少有三个零点，即 为假，结合复合命题的真假性可得结果.q 【详解】对于命题 ，当取第一象限角 时，显然 不成立，故 为假命题，p 12sinp 对于命题 ， ，函数 在 上有一个零点，q10fffx1,0 又 ，函数 至少有三个零点，故 为假，24fxq 由复合命题的真值表可得 为真命题，故选 C.pq 【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用， 属于中档题若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简 单命题的真假，再依据“或”：一真即真， “且”：一假即假， “非”：真假相反，作出判断 即可 4. 正项等比数列 中的 是函数 的极值点，则na1403, 321463fxx （ ）2061log A. B. 2 C. D. 2 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由 ，则 ，因为 321463fxx2860fx 是函数1403,a 的极值点，所以 ，又 ，所以 263fxx14036a0na ，所以 ，故选 A20164031 206log 考点：对比数列与函数的综合应用 【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公 式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考 查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵 活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到 是解答关键14036a 5. O 是正方形 ABCD 的中心若 ，其中 ， R，则 （ ）DO ABC A. 2 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形几何特点，结合向量的线性运算，用 表示目标向量，即可求得结果.,ABC 【详解】根据题意，作图如下： ，DO ACBAOC12AB12C 所以 1， ，因此 2.2 故选： . 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属基础题. 6. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 若 22cab ，则 的形状是（）2sinsinB A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角 三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用余弦定理的应用求出 A 的值，进一步利用正弦定理得到： b c，最后判断出三角形 的形状 【详解】在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 且 b2+c2 a2+bc 则： ， 21bcos 由于：0 A， 故： A 3 由于：sin BsinCsin 2A， 利用正弦定理得： bc a2， 所以： b2+c22 bc0， 故： b c， 所以： ABC 为等边三角形 故选 C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转化能力，属于基础题型 7. 如图直角坐标系中，角 、角 的终边分别交单位圆于 、 0202A 两点，若 点的纵坐标为 ，且满足 ，则B 51334AOBS 的值为( ) sin3cosin22 A. B. C. D. 513123123513 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ，可得 ，结合 的 范围可得 ，化简AOBS 3sin23 ，利用点 B 的坐标即可得解. 1sin3coicos2 【详解】由 ，得 . 3in24AOBS3sin2 根据题意可知 )，所以 ， 125B(,3512sin,cos3 可知 ， . 062 所以 .3 . 11 12sincosinsinsisincos2226363cosi 故选 C. 【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题. 8. 已知公比不为 1 的等比数列 的前 项和为 ，且满足 成等差数列，则nanS258,3a （） 36S A. B. C. D. 141329412 【答案】C 【解析】 成等差数列， ，即 ，解258,3a52843a 4763113,410aqq 得 或 （舍去） ， ，故选 C. 31q3 1366 9Sq 9. 已知函数 ，若函数 与 图象的 51cos242fxx24gxxf 交点为 ， ， ，则 ( )1,y2,ny1 mi A. B. C. D. 2m34m 【答案】A 【解析】 【分析】 结合函数的解析式可得 ，求出 的对称轴为 ，根据两图象的对称4fxffx2x 关系分为 为奇数和偶数即可得出答案m 【详解】 ， 51cos242fxx 514 cos422f xxf 的图象关于直线 对称，fx2x 又 的图象关于直线 对称， 24 当 为偶数时，两图象的交点两两关于直线 对称，m2x ，1 2ix 当 为奇数时，两图象的交点有 个两两对称，另一个交点在对称轴上，1m ，故选 A1 42mix 【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的 性质得到 ，属于中档题fxf 10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的2sin0y 02 图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻ygxygx1y 两个交点的距离为 ，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是( )1gx ,123 A. B. C. D. ,12,63,62 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得 ，再由已知得函数 的最小正周期为 ，求得2sin1gxxgx ，结合 对任意 恒成立列关于 的不等式组求解21gx ,123x 【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，2sin0y (0)2 再将所得的图象向下平移一个单位长度，得 ， sin1sin1gxxx 又 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，得 ，即 ygx1yT 2 ，当 时， ，2sin ,23x,63x ， ，1gx 02 ，解得 ， 的取值范围是 ，故选 B 6236363， 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题 的关键，是中档题 11. 已知函数 ， ，在其共同的定义域内， 的图象不可 2fxalnxgxegx 能在 的上方，则求 的取值范围( )f A. B. C. D. 10ae0a1ae0a 【答案】C 【解析】 【分析】 利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数 ，然后构造函数利用导数， lnxea 求解函数的最值即可 【详解】函数 ， ，在其共同的定义域内， 的图象不可 2fxalnxgegx 能在 的上方，当 时， 恒成立，f02x 化为： ，即 ， ；2lnxeax lnxe0 令 ， （ ） ， h021lnxxh 令 ， ， 21lnxtex 0 xte 函数 在 单调递增， ，0,10t（ ） 时， ， ，函数单调减函数， 时， ，1xtxhx1x， 0tx ，函数单调增函数，所以 ， ，故选 C.hheae 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能 力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手 段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即ahxmaxhminhx 可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解.mainx 12. 已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式()gx 12()(0)xge0 x 成立，则 的取值范围为（ ）021m A. B. C. D. ,)(,3(,2,) 【答案】A 【解析】 【分析】 先求 ，再利用导数求 最小值，最后解不等式的结果.01g， gx 【详解】因为 ， 12()(0)xe 所以 1(1)0()1xgggg 因为 ， 1(0)()gege 因此 ， ， 2x()1()10 xxge 当 时 ；0()0,0gg 当 时 ；x()x 因此 最小值为 1，从而 ，选 A.21m， 【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 二填空题 13. 平面向量 与 的夹角为 ， ，则 等于_a b602,1ab2ab 【答案】 23 【解析】 【分析】 根据 求出 ，利用 ，2,0a 2a 22()4cos60ababa 即得结果. 【详解】因为 ， 与 的夹角为 ，故 ，|,|1b 60|cs1 则 22()4cosabaab ，43 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及模的计算，属于基础题. 14. 在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，且 B 为锐角，若 ，sin sinAB52cb B ， S ABC ，则 b 的值为_ 74574 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用正弦定理将角化边，可得 等量关系；再利用面积公式，再得 的另一个等量关系，,ac ,ac 据此求得 由 sin 求得 cos ，利用余弦定理即可求得 .,acBb 【详解】由 ，可得 ，故 a c， sinA52b52cb 由 S ABC acsin B 且 sin B 得 ac5， 174741 联立，得 a5，且 c2. 由 sin B 且 B 为锐角知 cos B ， 7434 由余弦定理知 b2254252 14， b .14 故答案为： .1 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用正弦定理实现边角互化，属综合基础 题. 15. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： ， ，nanS1a2 ，则 _. *21nSN 【答案】 n 【解析】 【分析】 由 与 的递推式可证得 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，再利用等比数列前 nnSana 项和公式运算即可. 【详解】因为 ，所以 *21nnN*112,nnSanN 两式相减，得 ，即 ，naa21nn 又当 时， ， ， ，113S2a 所以 ，满足 ， ，34321 所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，na 所以 ()nnS 故答案为： 21 【点睛】关键点睛：本题主要考查了 与 的关系，熟练掌握naS 是解题关键. 1,2*nnaSN且 16. 已知函数 ， ，若 与 的图象上存在 21lxfe1gxmfxg 关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_.1y 【答案】 32,e 【解析】 【分析】 求出函数 关于直线 的对称函数 ，令 与 的图象有交点得出 的范gx1yhxfhxm 围即可 【详解】 关于直线 对称 的 直线为 ，m1y 直线 与 在 上有交点，1yx2lnyx 21,e 作出 与 的函数图象，如图所示： 若直线 经过点 ，则 ，若直线 与 相切，1ymx 12e（ ， ） 3me1ymx2lnyx 设切点为 ，则 ，解得 ,xy 2xln232yme ，故答案为 . 32em32,e 【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系， 导数的几何意义，属于中档题 三解答题 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， .nanS1a981S （1）求 的通项公式； （2）求 的值.122017SS 【答案】 （1） （2）na8 【解析】 【分析】 （1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项 相消法求出数列的和 【详解】(1)设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，nad981S5a 则有 ，所以 ，故 .59a 51924d21nn*N (2)由(1)知， ，则 ， 23nS 1nS 所以 122017 132078 . 12078 【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度 不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相nncabnab 1na 减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.nnb 18. 在 中, 内角 , , 的对边分别为 , , ,且 .ABCBCac2cosaBb （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ,且 ,求 . 3422cos4aba 【答案】 （1） ；（2） A7 【解析】 试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已 知条件式，由此求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定cosAA 理得到 的关系式，然后根据三角形面积公式求得 的值，从而求得 的值,ab bca 试题解析：（1）由 及正弦定理可得 ,2csaBbsin2icosinCAB , siniinosi,coiCAA ,又因为 . 1i0,cos2B0,3 （2） ,24abC 又由余弦定理得 ,代入式得 , 22cosabc2283bca 由余弦定理 222abA ,得 . 2213sin,1,83124ABCSbcbca72a 考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式 19. 已知数列 中， ， .na1 *13nnaN （1）求 的通项公式 ；n （2）数列 满足的 ，数列 的前 项和为 ，若不等式nb 312nnanbnT 对一切 恒成立，求 的取值范围. 112nT*N 【答案】 （1） ；（2） .3n a3 【解析】 【分析】 （1）将 ，变形为 ，再利用等比数列的定义求解. *13nnaN13na （2）由（1）得 ，然后利用错位相减法求得 ，将不等式12n b 124nnT 对一切 恒成立，转化为 ，对一切 恒成 1nnT*N1n*N 立，分 为偶数和奇数讨论求解. 【详解】 （1）由 ， *13nna 得 ，1 nna ，1 132nna 所以数列 是以 3 为公比，以 为首项的等比数列，n 132a 所以 ，即 . 112nana （2） 1n b0122131n nnT ，12 n 两式相减得: ，0121 2n nnnT ，1 4nn 因 为 不等式 对一切 恒成立， 12nT*nN 所以 ，对一切 恒成立，1 14nn* 因为 单调递增，1 2nt 若 为偶数，则 ，对一切 恒成立， ；1 4n*N3 若 为奇数，则 ，对一切 恒成立， ，n1 2n*2 综上： .23 【点睛】方法点睛：求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法：等差数列的前 n 项和公式， 等比数列的 1122nnaSd 前 n 项和公式 ； 1,naqS (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求 解 (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推 广 (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的， 则这个数列的前 n 项和用错位相减法求解. (6)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解 20. 已知 中，角 所对的边分别是 ，且 ，其中 是ABC, ,abc 203SBAC 的面积， .4 = (1)求 的值；cos (2)若 ，求 的值.2Sa 【答案】 （1） ； （2） . 56 【解析】 【分析】 （1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果 ， ，进一步建立等量sin3cosA 关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果 【详解】 ，得 ，得 ， 203SBAC 1cos2sibAbcin3cos 即 ，所以 ， 222sin9cos1sin29in0 又 ， ，故 ， ， 30,4Asi0A31i1cosA . 0231025coscosinBCC (2) ，所以 ，得 ，24Ssin48b16bc 由(1)得 ，所以 . 5cosB25sinB 在 中，由正弦定理，得 ，即 ，ACsin bcC25bc 联立，解得 ， ，则 ，所以 .8b210c22cos72abA62a 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理 的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型 21. 已知函数 . 1ln42fxmxmR (1)当 时，求函数 的单调区间；4 f (2)设 ，不等式 对任意的 恒成,13tsln32ln3tfsa4,6m 立，求实数 的取值范围.a 【答案】 （1）当 时， 在定义域 单调递减；当 时，函数 的单4mfx0,fx 调递增区间为 ，递减区间为 ， ； （2） . 1,21,2m,13, 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，分为 和 两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问4m 题等价于对任意的 ，恒有,6 成立，即 ， 1ln32ln35ln36a m243am 根据 ，分离 ，从而求出 的范围即可ma 【详解】(1)函数定义域为 ，且 ，0, 2 2111 4xxfx 令 ，得 ， ，0fx12 1xm 当 时， ，函数 在定义域 单调递减；4m0fxfx0, 当 时，由 ，得 ；由 ，得 或f 12mfx102xm ， 12x 所以函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ， .f 1,210,2, 综上所述， 当 时， 在定义域 单调递减；4mfx0, 当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ，f 1,2m10,2m . 1,2 (2)由(1)知当 时，函数 在区间 单调递减，所以当 时，4,6mfx1,31,3x ， .ax152ffmin ln26ff m 问题等价于：对任意的 ，恒有4,6 成立，即 . 1ln32ln352ln326am243am 因为 ，则 ， ， 4amin4a 设 ，则当 时， 取得最小值 ，4,6m 23m13 所以，实数 的取值范围是 .a 1, 【点睛】本题考查了函数 的 单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查 分类讨论思想，是一道综合题 22. 已知函数 (其中 ， 是自然对数的底数). 2xfkekRe (1)若 ，当 时，试比较 与 2 的大小；2k0,xfx (2)若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围，并证明： .f12,xk10fx 【答案】 （1） （2） 见解析().fx (0,).e 【解析】 试题分析： 求 的导数 ，利用 判定 的单调性，从而求出 的ffxfxf fx 单调区间，可比较 与 的大小；x2 先求导数 ，根据题意知 是 的两个根，令 ，2f12,x20 xfke2xe 利用导数得到函数 的单调区间，继而得到 的取值范围，知 ，x 1 0 xfk 则 ，又由 ， ，即可得到1x ke211f10,x10f 解析：（1）当 时， ，则 ，令2kxe2 xfe ，, xheh 由于 故 ，于是 在 为增函数，所以020 xexhe0, ，即 在 恒成立，2 xe2xf 从而 在 为增函数，故 2f,2.xfef （2）函数 有两个极值点 ，则 是 的两个根，即方程x12,x12,x 0k 有两个根，x ke 设 ，则 ， xxe 当 时， ，函数 单调递增且 ；000 x 当 时， ，函数 单调递增且 ；1xxx 当 时， ，函数 单调递增且 ；x 要使方程 有两个根，只需 ，如图所示 2xke201ke 故实数 的取值范围是k 20,.e 又由上可知函数 的两个极值点 满足 ，由 得fx12,x120 x 120 xfke . 1 2xke11 22211xxfkee 由于 ，故 ，所以0, 2110.fx