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模块综合测评( B) (时间:120 分钟满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.若直线经过两点 A(m,2),B(-m,2m-1),且倾斜角为 45,则 m 的值为( ) A. B.1 C.2 D. 34 12 解析 经过两点 A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的斜率为 k= . 2-1-2- 又直线的倾斜角为 45, =tan45=1,即 m= .故选 A. 2-1-2- 34 答案 A 2.已知ABC 的顶点 A(0,1),B(4,3),C(1,-1),则 AB 边上的中线方程是 ( ) A.x+2y-3=0 B.3x+y-4=0 C.3x-y-4=0 D.3x-y+3=0 解析 AB 中点为(2,2),由 C(1,-1),得直线方程为 ,化简得 3x-y-4=0.故选 C. -2-1-2=-21-2 答案 C 3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 解析 由题意可知 a0.当 x=0 时,y=a+2.当 y=0 时,x= , +2 =a+2,解得 a=-2 或 a=1. +2 答案 D 4.已知 m 是平面 的一条斜线,点 A平面 ,直线 l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形中可能出现 的是( ) A.lm,l B.lm,l C.lm,l D.lm,l 解析 如图,l 可以垂直 m,且 l 平行 . 答案 C 5.若圆 x2+y2+2x-4y=0 关于直线 l:3x+y+a=0 对称,则直线 l 在 y 轴上的截距为( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析 圆的方程为 x2+y2+2x-4y=0,化简为:(x+1) 2+(y-2)2=5,若圆 x2+y2+2x-4y=0 关于直线 3x+y+a=0 对 称,则圆心(- 1,2)在直线 3x+y+a=0 上,故有- 3+2+a=0,解得 a=1,所以直线 l 的方程为 3x+y+1=0,故直 线 l 在 y 轴上的截距为 -1,故选 A. 答案 A 6.如图所示,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD 沿 BD 折起,使面 ABD面 BCD,连接 AC,则下列命题正确的是( ) A.平面 ABD平面 ABC B.平面 ADC平面 BDC C.平面 ABC平面 BDC D.平面 ADC平面 ABC 解析 由题意知,在四边形 ABCD 中,CDBD. 在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD平面 BCD,两平面的交线为 BD,所以 CD平面 ABD,因此 AB CD. 又因为 ABAD,ADDC=D,所以 AB平面 ADC,于是平面 ADC平面 ABC.故选 D. 答案 D 7.若圆(x-a) 2+(y-a)2=4 上总存在两点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是( ) A. - ,0 0, 22 22 B. -2 ,- ,22 2 2 2 C. - ,- 322 22 22,322 D. -,- ,+ 322 2 解析 根据题意知,圆(x-a) 2+(y-a)2=4 与圆 x2+y2=1 相交,两圆的圆心距为 d= |a|.所以 2-2+2=2 1 |a|2+1,解得 |a| .所以- a- a .故选 C.2 22 322 322 22或 22 322 答案 C 8.已知点 P(x,y)在直线 2x+y+5=0 上,则 x2+y2的最小值为( ) A. B.2 C.5 D.25 5 10 解析 x2+y2的最小值可看成直线 2x+y+5=0 上的点与原点连线长度的平方最小值, 即为原点到该直线的距离的平方 d2, 由点到直线的距离公式,易得 d= . |20+0+5|22+12 =5 故 x2+y2的最小值为 5. 答案 C 9.如图,ABCD-A 1B1C1D1是长方体,O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确 的是( ) A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面 解析 连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面,所以 A1C平面 ACC1A1, 因为 MA 1C,所以 M平面 ACC1A1,又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的 交线上,同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,所以 A,M,O 三点共线.故选 A. 答案 A 10.在如图的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,P 是线段 BD1上的一点,且 BP=2PD1,则点 P 的坐标是( ) A. B.( 13,23,23) (23,13,23) C. D.( 23,23,23) (13,13,23) 解析 由题意,B(1,0,0),D 1(0,1,1),设 P(x,y,z), BP=2PD1, (x-1,y,z)=2(-x,1-y,1-z), x= ,y= ,z= , -1=-2,=2-2, =2-2, 13 23 23 P .故选 A.( 13,23,23) 答案 A 11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A. + B. +2 233 233 C.2 + D.2 +23 3 解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体. 圆柱的底面直径 为 2,高为 2,棱柱的底面是边长为 2 的等边三角形,高为 2, 该几何体的体积为 V= 2=+2 .故选 C. 12(12)+1223 3 答案 C 12.已知在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若 CD=2AB=4,EFAB,则 EF 与 CD 所成的角 为 ( ) A.90 B.45 C.60 D.30 解析 设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE,则 GF,GE 分别为ABD,ACD 的中线. GFAB,且 GF= AB=1,GECD ,且 GE= CD=2,GEF 就是异面直线 EF 与 CD 所成的角.又 12 12 EFAB, EFGF, GEF 为直角三角形,且 sinGEF= , 12 GEF= 30.故选 D. 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行 ,则实数 a= . 解析 直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行 , a(a-1)-21=0,解得 a=-1 或 a=2. 经验证当 a=2 时,直线重合,故 a=-1 符合题意. 答案 -1 14.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 . 解析 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为 a.如图,P 为三棱柱上底面的中心, O 为球心,易知 AP= a= a,OP= a,所以球的半径 R=OA,满足 R2= a2,故 S 球 2332 33 12 (33)2+(12)2=712 =4R2= a2. 73 答案 a2 73 15.(2018天津卷)在平面直角坐标系中 ,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 解析 设点 O,A,B 的坐标分别为 (0,0),(1,1),(2,0),则 AO=AB,所以点 A 在线段 OB 的垂直平分线上.又因 为 OB 为该圆的一条弦,所以圆心在线段 OB 的垂直平分线上 ,可设圆心坐标为(1,y),所以( y-1)2=1+y2, 解得 y=0,所以该圆的半径为 1,其方程为(x-1) 2+y2=1,即 x2+y2-2x=0. 答案 x2+y2-2x=0 16.如图,PA圆 O 所在的平面 ,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的 正投影,给出下列结论: AFPB; EFPB ; AFBC ; AE平面 PBC. 其中正确结论的序号是 . 解析 由题意知 PA平面 ABC, PABC. 又 ACBC,PAAC=A, BC 平面 PAC. BCAF. AFPC,BC PC=C, AF平面 PBC, AFPB,AFBC. 又 AEPB,AEAF=A, PB平面 AEF. PBEF.故 正确. 答案 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知ABC 的顶点坐标为 A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3). (1)求 AB 边上的高线所在的直线方程; (2)求ABC 的面积 . 解 (1)由题意可得 kAB= =6, -1-5-2-(-1)=-6-1 AB 边高线斜率 k=- , AB 边上的高线的点斜式方程为 y-3=- (x-4), 16 16 化为一般式可得 x+6y-22=0. (2)由(1)知直线 AB 的方程为 y-5=6(x+1),即 6x-y+11=0, C 到直线 AB 的距离为 d= . |24-3+11|36+1=3237=323737 又 |AB|= ,(-1+2)2+(5+1)2=37 ABC 的面积 S= |AB|d= =16. 12 1237323737 18. (本小题满分 12 分)(2018浙江卷)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面 ABC,ABC=120,A 1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB 1平面 A1B1C1; (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值. 解法一 (1)证明: 由 AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB ,BB1AB,得 AB1=A1B1=2 ,2 所以 A1 +A =A ,故 AB1A 1B1. 21 21 21 由 BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1BC ,CC1BC ,得 B1C1= ,5 由 AB=BC=2,ABC=120,得 AC=2 ,3 由 CC1AC,得 AC1= ,所以 A +B1 =A ,13 21 21 21 故 AB1B 1C1.因此 AB1平面 A1B1C1. (2)如图,过点 C1作 C1DA 1B1,交直线 A1B1于点 D,连接 AD. 由 AB1平面 A1B1C1,得平面 A1B1C1平面 ABB1, 由 C1DA 1B1,得 C1D平面 ABB1, 所以C 1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角. 由 B1C1= ,A1B1=2 ,A1C1= ,5 2 21 得 cosC 1A1B1= ,sinC 1A1B1= , 67 17 所以 C1D= ,故 sinC 1AD= .3 11=3913 因此,直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 . 3913 解法二 (1)证明:如图,以 AC 的中点 O 为原点,分别以射线 OB,OC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O- xyz. 由题意知各点坐标如下:A(0,- ,0),B(1,0,0),A1(0,- ,4),B1(1,0,2),C1(0, ,1).3 3 3 因此 =(1, ,2), =(1, ,-2), =(0,2 ,-3).1 3 11 3 11 3 由 =0,得 AB1A 1B1.111 由 =0,得 AB1A 1C1.111 所以 AB1平面 A1B1C1. (2)设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为 . 由(1)可知 =(0,2 ,1), =(1, ,0), =(0,0,2).1 3 3 1 设平面 ABB1的法向量 n=(x,y,z). 由 可取 n=(- ,1,0). =0,1=0,即 +3=0,2=0, 3 所以 sin=|cos|= .1 |1|1|=3913 因此,直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 . 3913 19.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线: x- y=4 相切.3 (1)求圆 O 的方程 ; (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 ,求直线 MN 的方程.3 解 (1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- y=4 的距离,即 r= =2,3 41+3 得圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0, 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= . |5 由垂径分弦定理得 +( )2=22,即 m= , 25 3 5 所以直线 MN 的方程为 2x-y+ =0 或 2x-y- =0.5 5 20.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD 的正视图( 图 )是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角 形,图 、图 分别是四棱锥 P-ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证:AD PC ; (2)求四棱锥 P-ABCD 的侧面积. (1)证明 依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E,连接 PE,则 PE平面 ABCD. AD平面 ABCD, ADPE. ADCD,CDPE=E ,CD平面 PCD,PE平面 PCD, AD平面 PCD. PC平面 PCD, ADPC. (2)解 依题意,在等腰三角形 PCD 中,PC=PD=3,DE=EC=2. 在 Rt PED 中,PE= .2-2=5 过 E 作 EFAB,垂足为 F,连接 PF. PE平面 ABCD,AB平面 ABCD, ABPE. EF平面 PEF,PE平面 PEF,EFPE=E, AB平面 PEF. PF平面 PEF, ABPF. 依题意得 EF=AD=2. 在 Rt PEF 中,PF= =3,2+2 四棱锥 P-ABCD 的侧面积 SPAB +SPBC +SPCD +SPAD = 43+2 23+ 4 =12+2 . 12 12 12 5 5 21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M:x2+y2+ay=0(a0),直线 l:x-7y-2=0,且直线 l 与圆 M 相交于不同的两点 A,B. (1)若 a=4,求弦 AB 的长; (2)设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,若 k1+k2= ,求圆 M 的方程. 16 解 (1)由题意知,a= 4 时圆心 M 坐标为(0, -2),半径为 2, 圆心到直线距离 d= , |0+14-2|1+49=625 所以弦|AB|=2 ;4- 7225=475 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 -7-2=0,2+2+=0, 得 50y2+(28+a)y+4=0. =(28+a)2-16500, a20 -28,2 y1,2= . -(28+)(28+)2-800100 则 y1+y2=- ,y1y2= . 28+50 450 于是 k1+k2= 11+22 = 12+2112 = (72+2)1+(71+2)2(71+2)(72+2) = 1412+2(1+2)4912+14(1+2)+4 = -2-14+4 = , 16 a=2, 所以圆的方程为 x2+y2+2y=0. 22.(本小题满分 12 分)如图,在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中,ABC=60,PA=AC=1,PB=PD= ,2 点 E 在 PD 上, 且 =2. (1)求证:PA平面 ABCD; (2)在棱 PC 上是否存在点 F 使得 BF平面 EAC?若存在,指出 F 的位置;若不存在,请说明理由. 证明 (1) 在菱形 ABCD 中,ABC=60, AB=AD=AC=1. PB=PD= ,PA=1,2 PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD2. PAAB,PA AD,又 ABAD=A, PA平面 ABCD. (2)在棱 PC 上存在点 F 使得 BF平面 EAC,理由如下: 取 PE,PC 的中点 M,F,连接 BD 交 AC 于 O, 则 O 是 BD 的中点,连接 OE,BM,BF,MF, =2, E,M 是 PD 的三等分点, OE 是BDM 的中位线, BMOE , BM平面 AEC,OE平面 AEC, BM平面 AEC, 同理 MF平面 AEC,又 BMMF=M,BM,MF平面 BMF, 平面 BMF 平面 AEC, BF平面 BMF, BF平面 AEC, 在棱 PC 上存在 PC 的中点 F,使得 BF平面 AEC.
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