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4.5.2 用二分法求方程的近似解 课后训练巩固提升 1.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是( ) A.-2,1 B.-1,0 C.0,1 D.1,2 解析: 因为 f(-2)=-30,f(-2)f(1)0,所以可取 -2,1作为初始区间. 答案: A 2.在用“二分法” 求函数 f(x)零点近似值时 ,第一次所取的区间是-2,4, 则第三次所取的区间可能 是( ) A.1,4 B.-2,1 C. D.-2, 52 -12,1 解析: 因为第一次所取的区间是 -2,4,所以第二次所取的区间可能为 -2,1,1,4.所以第三次所 取的区间可能为 .-2,- 12,-12,1,1,52,52,4 答案: D 3.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054 则方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似解 (精确度为 0.05)可以是( ) A.1.25 B.1.375 C.1.42 D.1.5 解析: 由表格可得,函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的零点在区间(1.40625,1 .4375)内.结合选项可知,方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似解 (精确度为 0.05)可以是 1.42. 答案: C 4.用二分法求函数 f(x)=2x+3x-7 在区间0,4上的零点近似值,取区间的中点 2,则下一个存在零 点的区间为( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4) 解析: 因为 f(0)=20+0-7=-60,f(2)=22+6-70,所以 f(0)f(2)0.所以零点所在区间 为(0,2). 答案: B 5.在用二分法求函数 f(x)的一个正数零点时,经计算,f(0.64)0,f(0.68)0,则函数的一个 精确度为 0.1 的正数零点的近似值为( ) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 解析: 因为 f(0.64)0,所以函数 f(x)的零点的初始区间为 (0.64,0.72),又 0.68= (0.64+0.72),且 f(0.68)0,所以零点所在的区间为(0.68,0.72),且该区间的左、右端点精 12 确到 0.1 所取的近似值都是 0.7.因此,可知选项 C 中的 0.7 就是所求函数的一个正数零点的近 似值. 答案: C 6.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经过计算得 f(0)0,可得其中一个 零点 x0 ,第二次应计算 . 解析: 因为 f(0)0,所以 x0(0,0 .5).所以第二次应计算 f(0.25). 答案: (0,0.5) f(0.25) 7.在用二分法求方程 f(x)=0 在区间0,1上的近似解时,经计算,f (0.625)0,f(0.687 5)0, 即得出方程的一个近似解为 .(精确度为 0.1) 解析: 因为 f(0.625)0,f(0.6875)0, 所以方程的解在区间(0.6875,0 .75)内.又因为|0.75-0.6875|0.1,所以方程的一个近似解为 0.6875. 答案: 0.687 5 8.已知图象是连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1) 内有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精 确度为 0.01)的近似值,那么应将区间 (0,0.1)等分的次数至少为 . 解析: 设等分的最少次数为 n,则 10,故 n 的最小值为 4. 0.12 答案: 4 9.用二分法求方程 ln(2x+6)+2=3x 的解的近似值时,令 f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表: x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9 由表中的数据,求方程 ln(2x+6)+2=3x 的一个近似解.(精确度为 0.1) 解: 因为 f(1.25)f(1.375)0.1,因此需要取区间(1 .25,1.375)的中点 1.3125,两个区间 (1.25,1.3125)和(1 .3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为 0.06250.1,因此 1.3125 是一个近似解 . 10.判断函数 f(x)=2x3-1 的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(精确度 0.1) 解: f(0)=-10,即 f(0)f(1)0, f(x)在区间(0,1) 内有零点. 又 f(x)在区间(-,+) 内是增函数, f(x)只有一个零点 x0(0,1). 取区间(0,1)的中点 x1=0.5, f(0.5)=-0.750, f(0.5)f(1)0,即 x0(0.5,1). 取区间(0.5,1) 的中点 x2=0.75, f(0.75)=-0.156250, f(0.75)f(1)0, f(0.75)f(0.875)0, f(0.75)f(0.8125)0,即 x0(0.75,0.8125) . |0.8125-0.75|0.1, f(x)的零点的近似值可取为 0.75.
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