资源描述
第二章测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.不等式-x 2-5x+60 的解集为( ) A.x|-6x1 B.x|2x3 C.x|x3,或 x2 D.x|x1,或 x- 6 解析: 不等式-x 2-5x+60 可化为 x2+5x-60,即( x+6)(x-1)0,解得- 6x1,故不等式的解集为x|- 6x1. 答案: A 2.已知 A=x|x2-2x0,B= ,则 AB= ( )| -3-10 A.x|1x2 B.x|2x3 C.x|x1 D.x|x0,或 1x2,或 x0,B=x|1x3, AB=x|x1. 答案: C 3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存有 60 元.计划从现在起以后每个月节省 30 元,直到他至少有 400 元.设 x 个月后他至少有 400 元,则可以用于计算所需要的月数 x 的不等式是 ( ) A.30 x-60400 B.30 x+60400 C.30 x-60400 D.30 x+40400 解析: 设 x 月后所存的钱数为 y,则 y=30 x+60,由于存的钱数不少于 400 元,故不等式为 30 x+60400. 答案: B 4.若 a11 C.a2b2 D.ab1 解析: 对于 A,若 a=-2,b=2,则不成立 , 对于 B,若 a=-2,b=2,则不成立, 对于 C,若 a=-2,b=2,则不成立, 对于 D, a1b, a-10, (a-1)(b-1)0,即 ab-a-b+10, ab+1a+b, aba+b,故 D 成立. 答案: D 5.设函数 y=4x+ -1(x0),则 y( ) 1 A.有最大值 3 B.有最小值 3 C.有最小值-5 D.有最大值- 5 解析: x0. y=4x+ -1=- -1-4- 1=-5,当且仅当 x=- 时,等号成立. y 有最大值- 5. 1 (-4)+1- 12 答案: D 6.如果 aR,且 a2+aa-a B.-aa2a C.-aaa2 D.a2-aa 解析: 因为 a2+a0,即 a(a+1)0,所以-1aa 20,有-aa 2a.故选 B. 答案: B 7.已知 a0,b0,且 2a+b=2,则 ab 的最大值为( ) A. B. C.1 D. 12 22 2 解析: a0,b0,且 2a+b=2, ab= (2ab) , 12 12(2+2)2=12 当且仅当 2a=b,且 2a+b=2,即 a= ,b=1 时,取得最大值 .故选 A. 12 12 答案: A 8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为 a 和 b(ab),其全程的平均速度为 v,则( ) A.v= B.v= +2 C.av D. v +2 解析: 设甲、乙两地的距离为 S,往返的速度分别为 a= ,b= (aa,故 av . 21+2=2+=21+10, (4a+b) 5+ (5+2 )= ,当且仅当 时,取“=”. 1+1=130 (1+1)=130 +4 130 4 310 =4,4+=30 这时 a=5,b=10. 答案: A 10.已知不等式 ax2+5x+b0 的解集是 x|2x0 的解集是( ) A. B.|- 1213 |12 C.x|x-2 D.x|-3x0 的解集是 x|2x3,所以 a0 为-6x 2-x+10, 即 6x2+x-10,解得- x0 的解集是 x x .|- 12 13 答案: A 11.已知函数 y= (x-2),则函数 y( ) 2-3+2 A.有最小值-2 B.有最小值 2 C.有最大值-2 D.有最大值- 6 解析: x-2, x+20,令 x+2=t,则 t0. y= , 2-3+2 y= =t+ -4 (-2)2-3 =2-4+1 1 =- -4- 2-4=-6,(-)+(- 1) 当且仅当 t= ,且 t0,b0,则下列不等式中不一定成立的是( ) A.a+b+ 2 B. 1 2 2+ C. a+b D.(a+b) 4 2+2 (1+1) 解析: a0,b0, a+b+ 2 2 ,当且仅当 a=b,且 2 ,即 a=b= 时,取等号,故 A 成立; 1 +1 2 =1 22 a+b2 0, ,当且仅当 a=b 时,取等号, 2+22= 不一定成立 ,故 B 不成立; 2+ ,当且仅当 a=b 时,取等号, 2+22= =a+b- 2 ,当且仅当 a=b 时,取等号, 2+2+=(+)2-2+ 2+ , a+b,故 C 一定成立; 2+2+2+2 (a+b) =2+ 4,当且仅当 a=b 时,取等号,故 D 一定成立.故选 B.( 1+1) + 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上) 13.设 M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,则 M,N 的大小关系为 . 解析: M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+110, MN. 答案: MN 14.已知关于 x 的不等式 x2-x+a-10 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 解析: 因为关于 x 的不等式 x2-x+a-10 在 R 上恒成立,所以其对应二次函数的图象与 x 轴最多有一 个交点,所以判别式 =(-1)2-4(a-1)0,解得 a . 54 答案: a 54 15.已知方程 ax2+bx+1=0 的两个根为 - ,3,则不等式 ax2+bx+10 的解集为 . 14 解析: 根据题意,方程 ax2+bx+1=0 的两个根为- ,3,则有 3= ,解得 a=- 0- x3, 14 即不等式的解集为 .|- 143 答案: |- 143 16.下列命题: 设 a,b 是非零实数,若 aa2b;若 ab1 2+32+2 是正数,且 =1,则 xy 的最小值是 16. 1+4 其中正确的是 .(填序号 ) 解析: 中 ab2-a2b=ab(b-a). 由于 a,b 符号不定,故上式符号无法确定,故不对. 中在 a1 中 y= 2,但由 ,得 x2+2=1 无解,故不对. 2+32+2=2+2+ 12+2 2+2= 12+2 中, =12 , xy16,即对. 1+4 4 答案: 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 a0,b0,且 ab,比较 与 a+b 的大小. 2+2 解: -(a+b)= -b+ -a( 2+2) 2 2 = =(a2-b2) 2-2 +2-2 (1-1) =(a2-b2) , -=(-)2(+) 又 a0,b0,ab, (a-b)20,a+b0,ab0, -(a+b)0, a+b.( 2+2) 2+2 18.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 56x2+ax-a20. 解: 原不等式可化为(7x+a)(8x-a) 0, 即 0 时,- x ; 78 7 8 当- ,即 a=0 时,原不等式的解集为 ; 7=8 当- ,即 a0 时, x8 8 7 综上可知,当 a0 时,原不等式的解集为 ;|- 78 当 a=0 时,原不等式的解集为 ; 当 a0 时,原不等式的解集为 x x- .| 80,解得-1x 3,故使式子有意义的 x 的取值集合是 x|-1x3. 13+2-2 (2) yx 的解集为 R, 当 xR 时,x 2-(4a+1)x+a20 恒成立. =(4a+1)2-4a20,即 12a2+8a+10, 即(2a+1)(6a+1)0, - a- , 12 16 a 的取值范围为 .|- 12-16 20.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 0 的解集为 M. -52- (1)若 3M ,且 5M,求实数 a 的取值范围. (2)当 a=4 时,求集合 M. 解: (1)由 3M,知 0,解得 a9; 3-59- 53 若 5M,则 0,解得 a25. 5-525- 则由 5M,知 1a25,因此所求 a 的取值范围是 1a 或 9a25. 53 (2)当 a=4 时, 0. 4-52-4 0,2-40或 4-50 54,-22或 54,2 x2 或 x-2. 54 故 M= .|-2,或 542 21.(本小题满分 12 分)证明不等式: a,b,cR ,a4+b4+c4abc(a+b+c). 证明: a4+b42a 2b2,b4+c42b 2c2,c4+a42c 2a2, 2(a4+b4+c4)2(a 2b2+b2c2+c2a2), 即 a4+b4+c4a 2b2+b2c2+c2a2. 又 a2b2+b2c2 2ab2c,b2c2+c2a22abc 2, c2a2+a2b22a 2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab 2c+abc2+a2bc), 即 a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). a4+b4+c4abc(a+b+c). 22.(本小题满分 12 分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购入 x 张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总 价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资 金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 y; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 解: (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张,则共需分 批,每批价值 20 x. 36 由题意,y= 4+k20 x, 36 由 x=4 时,y= 52, 得 k= . 1680=15 故 y= +4x(0 x36,xN *). 144 (2)可以使资金够用.理由如下: 由(1)知 y= +4x(0 x36,x N*), 144 则 y2 =48(元). 1444 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立. 144 故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.
展开阅读全文