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章末综合测评(六)幂函数、指数函数和对数函数 (满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, f 1,当 x0 时,f(x )log 2(x)m ,则实( 14) 数 m( ) A1 B0 C1 D2 C f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,f 1, 且 x1,1 b0,则函数 ya xb 的图象一定在() A第一、二、三象限 B第一、三、四象限 C第二、三、四象限 D第一、二、四象限 Ay ax 的图象在第一、二象限 1b0,ya xb 的图象是由 ya x 的图象向下 平移| b|个 单位长 度,可知 y axb 的图象过第一、二、三象限 3若 log34log48log8mlog 416,则 m 等于() A B9 12 C18 D27 Blog 4162,由换底公式得 log34log48log8mlog 3m 2,m9. 4若 loga(a21)log a2a0,且 a1,故必有 a212a. 又 loga(a21)log a2a0,所以 0a1,a ,综上 a . 12 (12,1) 5函数 yf(x)的图象与 g(x)log 2x(x0)的图象关于直线 yx 对称,则 f(2)() A1 B1 C D 14 14 D由 yf( x)的图象与 g(x)log 2x 的图象关于直线 yx 对称,可知 f(x)与 g(x)互为反 函数令 log2x 2,得 x ,即 f(2) . 14 14 6已知 alog 2 0.2,b2 0.2,c 0.2 0.3,则( ) Aabc Bac b Cc ab Dbca B alog 20.20,b2 0.21,c0.2 0.3(0,1), ac0,且 a1)的值域为1 ,),则 f(4)与 f(1)的关系是() Af(4) f(1) Bf (4)f (1) Cf(4)0,且 a1) 的值域为1, ),所以 a1,又函数 f(x) a |x1| (a0,且 a1) 的图象关于 x1 对称,所以 f(4)f (1) 8已知函数 yf( x)的定义域为 R,f(x1)为偶函数,且对x 1x21,满足 0.若 f(3)1,则不等式 f(log2x)1 的解集为( ) fx2 fx1x2 x1 A B(1,8)( 12,8) C (8 , ) D( ,1)(8,)( 0,12) A因为对x 1x21,满足 1 时,是单调 递增函数,又因为 f(3)1,所以有 f(1)1,当 log2x1,即当 0 x2 时, f(log2x)1f(log2x)1x , 1,即当 x2 时, f(log2x)1f(log2x)f(3)log2x3x8, 2x8, 综上所述:不等式 f(log2x)0 fx1 fx2x1 x2 Df x2 时则有 f(x1)f(x 2)0, 0,x1x2 时,f (x1)f(x 2) fx1 fx2x1 x2 fx1 fx2x1 x2 0,故 C 正确对 于 D,f(x)2 x 图象下凹,由几何意义知 D 正确 11设函数 f 的定义域为 D,若对于任意 xD ,存在 yD 使 C(C 为常数)成(x) fx fy2 立,则称函数 f(x)在 D 上的“ 半差值”为 C.下列四个函数中,满足所在定义域上 “半差值” 为 1 的函数是() Ayx 31(xR) By 2 x(xR ) Cy ln x(x0) Dyx 2 AC即 对任意定 义域中的 x,存在 y,使得 f(y)f(x)2;由于 A、C 值域为 R,故满足; 对于 B,当 x0 时,函数值为 1,此时不存在自变量 y,使得函数值为1,故 B 不满足; 对于 D,当 x0 时,不存在自变量 y,使得函数 值为1,所以 D 不满足故 选 AC. 12已知函数 f(x)e xe x , g(x)e xe x ,则以下结论错误的是() A任意的 x1,x 2R 且 x1x 2,都有 0 fx1 fx2x1 x2 B任意的 x1, x2R 且 x1 x2,都有 0.故 A 错误 f (x1) f (x2)x1 x2 对 B,易得反例 g(1)e 1e 1 ,g(1)e 1 e 1g(1)故 0,若函数 f(x)log 3(ax2x)在3,4上是增函数,则 a 的取值范围是 _ 要使 f(x)log 3(ax2x) 在3,4上单调递增, 则 yax 2x 在3,4上单调递增,( 13, ) 且 yax 2x0 恒成立,即Error! 解得 a . 13 15某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染指数量 P mg/L,与时 间 t h 间的关系为 PP 0ekt .如果在前 5 个小时消除了 10%的污染物,则 10 小时后还剩 _的污染物 81%由题意知,前 5 小时消除了 10%,即 (110%)P 0P 0e5k .解得 k ln 0.9.则 15 10 小时后还剩 PP 0e10k P0e2ln 0.9P 0eln 0.810.81 P 081%P 0. 16设实数 a,b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根,且 ab10,则 ab_,abc 的取值范围为_(本题第一空 2 分,每二空 3 分) 1(0,1) 由题意知,在(0,10)上,函数 y|lg x|的图象和直 线 yc 有两个不同交点,所以|lg a|lg b|,又因为 ylg x 在 (0, )上单调递 增,且 ab10,所以 lg alg b,所以 lg alg b0,所以 ab1,0c0,且 a1)过点( 2,9) (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f(2m1)f(m3)0,a1)得 a2 9,解得 a ,f(x ) x. 13 (13) (2)f(2 m1)f(m3)0, f(2m1)m3,解得 m4, 实数 m 的取值范围为(4,) 18(本小题满分 12 分)设函数 yf (x)且 lg(lg y)lg(3x)lg(3x) (1)求 f(x)的解析式及定义域; (2)求 f(x)的值域 解(1)lg(lg y )lg(3 x)lg(3x), lg(lg y)lg3x (3x ), lg y3x(3x ), y10 3x(3x) ,即 f(x)10 3x(3x) Error! 0 x0,且 a1) ,若牛奶放在 0 的冰箱里,保鲜时间 是 200 h,而在 1 的温度下则是 160 h. (1)写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2)利用(1)的结论,指出温度在 2 和 3 的保鲜时间 解(1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是 yta x(a0,且 a1),由题意可 得: Error!解得 Error! 故函数解析式为 y200 x .( 45) (2)当 x2 时,y 200 2 128(h)( 45) 当 x3 时,y200 3 102.4(h)( 45) 故温度在 2 和 3 的保鲜时间分别为 128 h 和 102.4 h. 20(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)是 f(x)a x(a0 且 a1)的反函数,且 g(x)的图象 过点 .( 22,32) (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)比较 f(0.3),g(0.2) 与 g(1.5)的大小 解(1)因为函数 g(x)是 f(x)a x(a0 且 a1)的反函数, 所以 g(x)log ax(a0 且 a1) 因为 g(x)的图象过点 ,( 22,32) 所以 loga2 ,2 32 所以 a 2 ,2 解得 a2. 所以 f(x)2 x,g(x)log 2x. (2)因为 f(0.3)2 0.3201,g(0.2)log 20.20, 又 g(1.5)log 21.5log210, 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2) 21(本小题满分 12 分)(1)已知1x2,求函数 f(x) 323 x1 9 x 的值域; (2)已知3 x ,求函数 f(x)log 2 log2 的值域 log 12 32 x2 x4 解(1)f(x) 323 x1 9 x(3 x)263 x3,令 3xt ,则 yt 26t3(t3) 212,1x2, t9, 当 t3,即 x1 时,y 取得最大值 12;当 t9,即 x2 时,y 13 取得最小值24,即 f(x)的最大值为 12,最小值为24,所以函数 f(x)的值域为24,12 (2)3 x , log 12 32 3 , log2x log212 32 即3 , log2x 1 32 log2x3. 32 f(x)log 2 log2 x2 x4 (log 2xlog 2 2)(log2xlog 24) (log 2x1)(log 2x2) 令 tlog 2x,则 t3, 32 f(x)g(t) (t 1)(t2) 2 .( t 32) 14 t3, 32 f(x)maxg(3) 2,f(x)ming .( 32) 14 函数 f(x)log 2 log2 的值域 为 . x2 x4 14,2 22(本小题满分 12 分)已知 a0 且满足不等式 22a1 2 5a2 . (1)求实数 a 的取值范围; (2)求不等式 loga(3x1)log a(75x)的解集; (3)若函数 ylog a(2x1)在区间1,3上有最小值为2,求实数 a 的值 解 (1)22a1 2 5a2 ,2a 15a2,即 3a3, a 1,即 0a 1. 实数 a 的取值范围是(0,1) (2)由(1)得,0a1,log a(3x1)log a(75x) , Error! 即Error! 解得 x . 34 75 即不等式的解集为 .( 34,75) (3)0a1,函数 ylog a(2x1)在区间1,3上为减函数,当 x3 时,y 有最小值为 2,即 loga52, a2 5,解得 a . 1a2 55
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