全国I卷2021届高三数学第二次模拟考试题四文【含答案】

（全国 I 卷）2021 届高三数学第二次模拟考试题（四）文 注 意 事 项 ： 1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。 2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。 3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。 4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。 第 卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1若复数 ，则 z（ ） A2 B 2C1 D 2 2已知全集 U，集合 M， N是 U的子集，且 MN，则下列结论中一定正确的是（ ） A B C UD UMN 3已知等比数列 na的前 n 项和为 nS，则“ 1nS”是“ na单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ） A19 B21 C23 D25 5上饶市婺源县被誉为“茶乡” ，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的 婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量 x克与食客的满 意率 y的关系，抽样得一组数据如下表： x(克) 2 4 5 6 8y (%) 30 m50 70 60 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出 y与 x的线性回归方程为 .517.yx，则表中 m的值 为（ ） A 395 B 40C 435 D 4 6若实数 x， y满足不等式组 102xy ，且 zxy，则 maxinz（ ） A4 B3 C2 D1 7当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时透光度 T的数学表达式为1lgkclT ，其中系数 k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关， c为吸光物质的浓度（单位：mo/L ） ， 为吸收介质的厚度（单位： cm） 已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的 厚度为 20 c时，透光度为 10 ，则当吸收介质的厚度增加 20 cm时，透光度为原来的（ ） A 1 B 5C 1 D 1 8向量 ae（ 是单位向量） 若 tR， tae，则（ ） A B aeC D ae 9在等差数列 n中， 1， 45记 12(,)nnT ，则数列 nT（ ） A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 10已知圆 2:10 xy ，直线 :40lxy，若在直线 l上任取一点 M作圆 的切线 MA， B，切点分别为 A， B，则 C最小时，原点 O到直线 AB的距离为（ ） A 32 B 2C 2 D 2 11已知函数 1()(0)4fxxa ， (ln(0)gx，其中 aR若 ()fx的图象在 点 1,Axf处的切线与 gx的图象在点 2,Bxg处的切线重合，则 a 的取值范围为（ ） A (ln2,)B (1ln,) C 3,4 D (l23,) 12已知四边形 BCD是边长为 5 的菱形，对角线 8（如图 1） ，现以 AC为折痕将菱形折 起，使点 达到点 P的位置棱 A， P的中点分为 E， F，且四面体 PD的外接球球心落 在四面体内部（如图 2） ，则线段 EF长度的取值范围为（ ） A 14,2 B 14,2 C 14,62 D 3,4 第 卷 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知函数 ()sin(0)fx，在 2,43 上单调递增，那么常数 的一个取值 _ 14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山底 C 在西偏北30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山底 C 在西偏北 75的方向上，山顶 D 的仰角为 ，则此山的高度 CD_m 15已知抛物线 2(0)ypx 的焦点为 F，点 ,02pM ，过点 F 的直线与此抛物线交于,AB 两点，若 |4，且 tanAB，则 _ 16已知函数 fx的定义域为 R，导函数为 ()fx ，若 cosfxf，且sin2fx ，则满足 0fxf的 x的取值范围为_0 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）如图，四棱锥 OABCD的底面是边长为 1 的正方形， 2OA， 平面 ABCD，M 、 N分别是 、 的中点 （1）求证：直线 /平面 ； （2）求三棱锥 C的体积 18 （12 分）已知函数 233cossinco62fxxx （1）求函数 f的单调递增区间； （2）设锐角 ABC 的内角 ， ， C所对的边分别是 a， b， c，已知 14fA ， a，求 的面积的取值范围 19 （12 分）为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各 10 人，并测量他 们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172 （1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米） ，并分别求出男、女生身高的平均值； （2）请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数 h（单位：厘米） ，将男、女生身高不低于 h 和 低于 h 的人数填入下表中，并判断是否有 90%的把握认为男、女生身高有差异？ 人数 男生 女生 合计 身高 h 身高 合计 （3）若男生身高低于 165 厘米为偏矮，不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常，不低于 175 厘米 为偏高采用分层抽样的方法从以上男生中抽取 5 人作为样本若从样本中任取 2 人，试求恰有 1 人身高属于正常的概率 20PKk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照公式： 2nadbckd 20 （12 分）已知椭圆 2:1(0)xyCab 的离心率 12e ，左、右焦点分别为 1F， 2，抛 物线 28yx 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）记椭圆 C 与 x 轴交于 A， B 两点， M 是直线 1x上任意一点，直线 MA， B与椭圆 C 的另 一个交点分别为 D， E求证：直线 E过定点 (4,0)H 21 （12 分）已知函数 ln1xaF （1）设函数 hx，当 2时，证明：当 1x时， 0hx； （2）若 有两个不同的零点，求 a的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cosinxy （ 为参数） 以坐标原点 O为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2的极坐标方程为 4in （1）写出 1C的极坐标方程和 2的直角坐标方程； （2）设点 M的极坐标为 4,0，射线 04 分别交 1C、 2于 A、 B两点（异于极 点） ，当 AB 时，求 tan 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知 2()fxax （1）在 2a时，解不等式 ()1fx； （2）若关于 x的不等式 4对 R恒成立，求实数 a的取值范围 文 科 数 学 答 案 第 卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 【答案】B 【解析】因为 (i)1i1iz ，所以 2(1)z ， 故选 B 2 【答案】B 【解析】集合 M， N是 U的子集，且 MN， 对于 A， U，故 A 不正确； 对于 B， ，故 B 正确； 对于 C， UN，不包括属于 N且不属于 的部分，故 C 不正确； 对于 D， M，其交集为属于 且不属于 M的部分，故 D 不正确， 故选 B 3 【答案】D 【解析】 110nnSa，例如 102na ，但是数列 na不单调递增，故不充分； 数列 na单调递增，例如 2n a ，但是 1nS，故不必要， 故选 D 4 【答案】C 【解析】当输入 1n时，则 S， 2,3in， 12S成立； 当输入 3时，则 34， 5， 成立； 当输入 5时，则 59， ,7i， 成立， 由程序框图可知程序的规律为 21ni， 2Si ， 则 21Snii ， 由条件 ，解得 i，即 i时程序结束， 此时 23，故选 C 5 【答案】B 【解析】由表中数据，计算可得 24568x ，3057061mmy ， 因为回归直线方程 .5yx过样本中心点， 所以有 2106.17.5 ，解得 40，故选 B 6 【答案】A 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中 3,2A， 1,B， ,0C 在直线 zxy中， xz， 表示直线的纵截距 作出直线 并平移，数形结合知当平移后的直线经过点 1,2B时， z取得最小值， 且 min123z； 当平移后的直线经过点 1,0C时， z取得最大值，且 max0z， 所以 maxin4z，故选 A 7 【答案】C 【解析】因为 20l时， 1T，所以 120lgkc， 120kc， 所以 201lT 设吸收介质的厚度增加 cm时，透光度为 T， 则 2010ll ，故选 C 8 【答案】C 【解析】因为 tae，所以 22()()tae ， 所以 210t对 R恒成立， 所以 2()4()e ，即 2(1)0e ， 所以 a，所以 ae， 所以 ()0e，所以 ，故选 C 9 【答案】C 【解析】依题意可得公差 41523ad ，1()12nan ， 所以当 6时， 0na；当 7时， 0na， 因为 1T， 2(9)， 31(9)76930T，4(9)5346 ， 54605，603510 ， 又当 n时， 1234560nnTaa ，且 12121nnTa ， 即 1，所以当 时，数列 单调递增， 所以数列 n无最大项，数列 nT有最小项 5139，故选 C 10 【答案】A 【解析】由 210 xy ，得 22(1)()1xy ， 所以圆心 (1,)C，半径 r， 在 AMRt 中， cosACM ， 当 B最小时， 最小， cos最大， C最小，此时 Ml，C 的最小值为圆心 C到直线 l的距离 |14|2 ， 此时 12cosAM ， 4AM ， 因为 CB，所以 l ，所以圆心 C到直线 AB的距离为 2 ， 所以两平行直线 l与 A之间的距离为 2 ， 因为原点 O到直线 l的距离为 |04|1 ， 所以原点 到直线 AB的距离为 23 ，故选 A 11 【答案】A 【解析】 21()(0)4fxxa ， (ln(0)gx， 0f ， 1g ， 函数 fx在点 1,Afx处的切线方程为 211142yxax ， 函数 gx在点 2,Bfx处的切线方程为 22lnyxx ， 两直线重合的充要条件是 12x ， 212ln14xa ， 由及 120 x，得 2 ， 故 2221lnln1axx ， 令 2 1tx ，则 0t ，且 2latt ， 设 2ln1htt ， 02t ，21ttt ， 当 102t 时， 0ht恒成立，即 ht单调递减，lnht ， x时， t， 即 a 的取值范围为 (1l2,)，故选 A 12 【答案】A 【解析】如图，由题意可知 PC 的外心 1O在中线 PE上， 设过点 1O的直线 1l平面 A，易知 l平面 D， 同理， ADC 的外心 2在中线 E上 设过点 2的直线 l平面 ，则 2l平面 P 由对称性易知直线 1， 2的交点 O在直线 F上 根据外接球的性质，点 为四面体 ACD的外接球球心 易知 3EA， 4P，而 221E ， 14AOEP， 1 78E 令 PEF，显然 02 ， cos4EFP 1cosO ， 1 72O ， 又 EF， 27 ，即 4EF ， 综上所述， 14 ，故选 A 第 卷 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【答案】 12 （答案不唯一） 【解析】 ()sin(0)fxx在 2,43 上单调递增， 则 2 3 ， )42 ，0 ，取一个该范围内的值即可，如 12 ， 故答案为 12 14 【答案】 06 【解析】在 ABC 中， 30， 60AB， 18075C， 45ACB，sinsiAC ，即 60sin45i3BC ，解得 302 又在 DRt 中， 3B，ta02106C ，即山高 CD为 106m， 故答案为 106 15 【答案】6 【解析】设 AB的方程为 2 pxmy ， 1,Axy， 2,By， 则由 2ypx ，得 220yp ， 12ypm， 21yp ，2112121MABkmyx 2121210pmypyy ，AFB ， 2tantan21AMF ， 又 AF为锐角， t 不妨设 B，如图，作 AHx轴，垂足为 H，过 M 作直线 lx轴，l ，垂足为 ，则 F，tansinAMF ，2siH ， 45A， 1m，2221 2| 44ABmyyyp ，故 6=， 故答案为 6 16 【答案】 ,2 【解析】令 cos2xgxf ， 又 cosff，则 cos2xff ， 即 gx，故函数 gx为奇函数cossin022ff ，故函数 gx在 R上单调递减， 则 cocos0 02xfxffxf ， 即 g，即 gg， 即 x，故 2x ， 所以 x 的取值范围为 , ，故答案为 ,2 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 （1）证明见解析；（2） 1 【解析】 （1）证明：取 OD 的中点 P，连接 PC、 PM， M、 N 分别是 OA、 BC 的中点， PMAD ，且 12A ， NCD ，且 12A ， NC ，且 PM NC，则 PMNC 是平行四边形，得 MNPC ， PC平面 OCD， 平面 OCD， 直线 平面 OCD （2） OA平面 BCD，所以平面 OA平面 BCD， 又 ，所以 平面 ，112MODS ， 又 C到平面 的距离为 1， 所以三棱锥 的体积即为三棱锥 OMCD的体积，为 1326 18 【答案】 （1） ,621k ， kZ；（2） 12,4 【解析】 （1）由题意知2 cos13333cossinco sin2622xfxxx x 11iisincsi4xx 令 2,3xk ， kZ，则 ,621k ， kZ， 所以 fx的单调递增区间为 ,621k ， kZ （2）因为 14fA ，所以 sin34A ，所以 1sin23A ， 所以 236k 或 5 ， k，即 1 k 或 4， kZ 又 ABC 为锐角三角形，故 4 ， 因为 1a，所以由正弦定理可知， 2sinbB， 2sincC 所以 1siniii2ABCSbc B 21siisncosinicos4B1co21 1sini2i44B B 因为 AC 是锐角三角形，所以 0,B ， 30,2C ， 所以 ,42B ，所以 3,4 ， sin2,14B ， 所以 1sin,ABCS 19 【答案】 （1）茎叶图见解析，男： 7.，女： 163.4；（2）列联表见解析，有 90%把 握认为；（3） 0.6 【解析】 （1）茎叶图为 男生平均身高为 1738157041697416701.0 ； 女： 656285323. （2）将 20 名学生身高按从小到大的顺序排成一列：13,8,12,34,15,79,160,7,1,748,15 ， 则 20 名学生身高的中位数 682h ， 男、女身高的 2列联表： 人数 男生 女生 合计 身高 h7 3 10 身高 3 7 10 合计 10 10 20 因为 220733.270671K ， 所以有 90%把握认为男、女身高有差异 （3）由测量结果可知，身高属于正常的男生有 人，身高属于不正常的男生有 4人，用分 层抽样的方法从这 10人抽取 5人， 其中身高正常的男生有 63 人，记这三名男生为 a， b， c， 身高不正常的男生有 45210 人，记这两名男生为 1，2， 从以上 5 名学生中任取 2 人的结果有 ab， c， ， a， bc， ， 2， 1c， ，12 共 10 种， 其中恰好一名身高属于正常的男生的事件有 1， 2， ， ， ， ，共 6 种， 所以恰有 1 人属于正常的概率为 60.1 20 【答案】 （1） 243xy ；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为椭圆 C 的离心率 1e ，所以 2 ca ，即 c 由 28yx ，得 p，所以 4，其焦点为 (,0)F， 因为抛物线 2 的焦点 (2,0)F恰好是该椭圆的一个顶点， 所以 a，所以 1c， 3b 所以椭圆 C 的方程为 24xy （2）由（1）可得 (,0)A， (,)B， 设点 M 的坐标为 (1,)m，直线 M的方程为 (2)3myx 将 23yx 与 243y 联立， 消去 y，整理得 22716108xm ， 设点 D 的坐标为 ,Dy，则 247D ， 故 25487mx ，则 2363xm 直线 MB的方程为 (2)y 将 (2)ymx与 143 联立， 消去 y 整理得 22610 xm 设点 E 的坐标为 ,Ey，则 243E， 故 28643Emx ，则 2143EEmyx ， 直线 HD的斜率为 1 2226649587Dk ， 直线 E的斜率为 2 2221443Eyxmm ， 因为 12k，所以直线 经过定点 H 21 【答案】 （1）证明见解析；（2） 2a 【解析】 （1） ln(1)1()ln1xxhx ， 210 xh ， 所以 在 ,上为单调递增函数，且 0h， 当 x时， 0 x （2）设函数 1lnaxf ，则 221xaxf ， 令 21gx ， 当 a时，当 0时， 0gx； 当 12时， 248a，得 x， 所以当 时， fx，fx 在 0,上为单调递增函数，此时 gx至多有一个零点，1Ffx 至多一个零点不符合题意舍去； 当 2a时，有 2480a， 此时 gx有两个零点，设为 12,t，且 12t 又因为 12t， ，所以 12t， 得 fx在 0,， 2,t为单调递增函数， 在 12,t上为单调递减函数，且 0f， 所以 10ft， 2ft， 又因为 01afe ， 201afe ，且 fx图象连续不断， 所以存在唯一 1, axt ，使得 fx， 存在唯一 2te，使得 20， 又因为 1Fxfx ， 所以，当 有两个不同的零点时， 2a 22 【答案】 （1） :4cosC， 2:4xy （或 240 xy ） ；（2）tan2 【解析】 （1） 2csinxy （ 为参数） ，得 cos2inxy （ 为参数） ， 曲线 C的普通方程为 24y ，即 40cosx ， siy， cos， 所以，曲线 1的极坐标方程为 ， 曲线 2C的极坐标方程为 4sin，即 24sin ，cosx ， y， 所以，曲线 2的极坐标方程化为直角坐标方程得 24xy ，即 224xy （2）依题意设 1,A、 2,B， 由 4cos ，得 14cos；由 4sin ，得 24sin，0 ， 12， 1coiABOOMQ 是圆 C的直径， M 在 ARt 中， 4sin， 在 BAMRt 中， 4 ， ABM， 即 4cosinsi， cos8in，即 1ta2 23 【答案】 （1） |53x ；（2） 1或 【解析】 （1）在 a时， x 在 x时， 2x， 5； 在 时， 21， 3x， 无解； 在 21x时， x， ， 13x ， 综上可知：不等式 1f的解集为 1|53x （2） 24xa恒成立， 而 1x或 214axax， 故只需 x恒成立，或 4恒成立， 1a或 ， a的取值为 1或