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(全国 I 卷)2021 届高三数学第二次模拟考试题(四)文 注 意 事 项 : 1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。 2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 , 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。 3 非 选 择 题 的 作 答 : 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。 4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。 第 卷 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1若复数 ,则 z( ) A2 B 2C1 D 2 2已知全集 U,集合 M, N是 U的子集,且 MN,则下列结论中一定正确的是( ) A B C UD UMN 3已知等比数列 na的前 n 项和为 nS,则“ 1nS”是“ na单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4执行如图所示的程序框图,则输出的 ( ) A19 B21 C23 D25 5上饶市婺源县被誉为“茶乡” ,婺源茶业千年不衰,新时代更是方兴未艾,其中由农业部监制的 婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名,为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量 x克与食客的满 意率 y的关系,抽样得一组数据如下表: x(克) 2 4 5 6 8y (%) 30 m50 70 60 根据表中的全部数据,用最小二乘法得出 y与 x的线性回归方程为 .517.yx,则表中 m的值 为( ) A 395 B 40C 435 D 4 6若实数 x, y满足不等式组 102xy ,且 zxy,则 maxinz( ) A4 B3 C2 D1 7当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时透光度 T的数学表达式为1lgkclT ,其中系数 k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关, c为吸光物质的浓度(单位:mo/L ) , 为吸收介质的厚度(单位: cm) 已知吸光物质及入射光线保持恒定,当吸收介质的 厚度为 20 c时,透光度为 10 ,则当吸收介质的厚度增加 20 cm时,透光度为原来的( ) A 1 B 5C 1 D 1 8向量 ae( 是单位向量) 若 tR, tae,则( ) A B aeC D ae 9在等差数列 n中, 1, 45记 12(,)nnT ,则数列 nT( ) A有最大项,有最小项 B有最大项,无最小项 C无最大项,有最小项 D无最大项,无最小项 10已知圆 2:10 xy ,直线 :40lxy,若在直线 l上任取一点 M作圆 的切线 MA, B,切点分别为 A, B,则 C最小时,原点 O到直线 AB的距离为( ) A 32 B 2C 2 D 2 11已知函数 1()(0)4fxxa , (ln(0)gx,其中 aR若 ()fx的图象在 点 1,Axf处的切线与 gx的图象在点 2,Bxg处的切线重合,则 a 的取值范围为( ) A (ln2,)B (1ln,) C 3,4 D (l23,) 12已知四边形 BCD是边长为 5 的菱形,对角线 8(如图 1) ,现以 AC为折痕将菱形折 起,使点 达到点 P的位置棱 A, P的中点分为 E, F,且四面体 PD的外接球球心落 在四面体内部(如图 2) ,则线段 EF长度的取值范围为( ) A 14,2 B 14,2 C 14,62 D 3,4 第 卷 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 13已知函数 ()sin(0)fx,在 2,43 上单调递增,那么常数 的一个取值 _ 14如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山底 C 在西偏北30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山底 C 在西偏北 75的方向上,山顶 D 的仰角为 ,则此山的高度 CD_m 15已知抛物线 2(0)ypx 的焦点为 F,点 ,02pM ,过点 F 的直线与此抛物线交于,AB 两点,若 |4,且 tanAB,则 _ 16已知函数 fx的定义域为 R,导函数为 ()fx ,若 cosfxf,且sin2fx ,则满足 0fxf的 x的取值范围为_0 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 大 题 , 共 70 分 , 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 (12 分)如图,四棱锥 OABCD的底面是边长为 1 的正方形, 2OA, 平面 ABCD,M 、 N分别是 、 的中点 (1)求证:直线 /平面 ; (2)求三棱锥 C的体积 18 (12 分)已知函数 233cossinco62fxxx (1)求函数 f的单调递增区间; (2)设锐角 ABC 的内角 , , C所对的边分别是 a, b, c,已知 14fA , a,求 的面积的取值范围 19 (12 分)为研究男、女生的身高差异,现随机从高三某班选出男生、女生各 10 人,并测量他 们的身高,测量结果如下(单位:厘米): 男:173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女:165 166 156 170 163 162 158 153 169 172 (1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位:厘米) ,并分别求出男、女生身高的平均值; (2)请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数 h(单位:厘米) ,将男、女生身高不低于 h 和 低于 h 的人数填入下表中,并判断是否有 90%的把握认为男、女生身高有差异? 人数 男生 女生 合计 身高 h 身高 合计 (3)若男生身高低于 165 厘米为偏矮,不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常,不低于 175 厘米 为偏高采用分层抽样的方法从以上男生中抽取 5 人作为样本若从样本中任取 2 人,试求恰有 1 人身高属于正常的概率 20PKk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照公式: 2nadbckd 20 (12 分)已知椭圆 2:1(0)xyCab 的离心率 12e ,左、右焦点分别为 1F, 2,抛 物线 28yx 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)记椭圆 C 与 x 轴交于 A, B 两点, M 是直线 1x上任意一点,直线 MA, B与椭圆 C 的另 一个交点分别为 D, E求证:直线 E过定点 (4,0)H 21 (12 分)已知函数 ln1xaF (1)设函数 hx,当 2时,证明:当 1x时, 0hx; (2)若 有两个不同的零点,求 a的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22 (10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy中,曲线 1C的参数方程为 2cosinxy ( 为参数) 以坐标原点 O为 极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2的极坐标方程为 4in (1)写出 1C的极坐标方程和 2的直角坐标方程; (2)设点 M的极坐标为 4,0,射线 04 分别交 1C、 2于 A、 B两点(异于极 点) ,当 AB 时,求 tan 23 (10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知 2()fxax (1)在 2a时,解不等式 ()1fx; (2)若关于 x的不等式 4对 R恒成立,求实数 a的取值范围 文 科 数 学 答 案 第 卷 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 【答案】B 【解析】因为 (i)1i1iz ,所以 2(1)z , 故选 B 2 【答案】B 【解析】集合 M, N是 U的子集,且 MN, 对于 A, U,故 A 不正确; 对于 B, ,故 B 正确; 对于 C, UN,不包括属于 N且不属于 的部分,故 C 不正确; 对于 D, M,其交集为属于 且不属于 M的部分,故 D 不正确, 故选 B 3 【答案】D 【解析】 110nnSa,例如 102na ,但是数列 na不单调递增,故不充分; 数列 na单调递增,例如 2n a ,但是 1nS,故不必要, 故选 D 4 【答案】C 【解析】当输入 1n时,则 S, 2,3in, 12S成立; 当输入 3时,则 34, 5, 成立; 当输入 5时,则 59, ,7i, 成立, 由程序框图可知程序的规律为 21ni, 2Si , 则 21Snii , 由条件 ,解得 i,即 i时程序结束, 此时 23,故选 C 5 【答案】B 【解析】由表中数据,计算可得 24568x ,3057061mmy , 因为回归直线方程 .5yx过样本中心点, 所以有 2106.17.5 ,解得 40,故选 B 6 【答案】A 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, 其中 3,2A, 1,B, ,0C 在直线 zxy中, xz, 表示直线的纵截距 作出直线 并平移,数形结合知当平移后的直线经过点 1,2B时, z取得最小值, 且 min123z; 当平移后的直线经过点 1,0C时, z取得最大值,且 max0z, 所以 maxin4z,故选 A 7 【答案】C 【解析】因为 20l时, 1T,所以 120lgkc, 120kc, 所以 201lT 设吸收介质的厚度增加 cm时,透光度为 T, 则 2010ll ,故选 C 8 【答案】C 【解析】因为 tae,所以 22()()tae , 所以 210t对 R恒成立, 所以 2()4()e ,即 2(1)0e , 所以 a,所以 ae, 所以 ()0e,所以 ,故选 C 9 【答案】C 【解析】依题意可得公差 41523ad ,1()12nan , 所以当 6时, 0na;当 7时, 0na, 因为 1T, 2(9), 31(9)76930T,4(9)5346 , 54605,603510 , 又当 n时, 1234560nnTaa ,且 12121nnTa , 即 1,所以当 时,数列 单调递增, 所以数列 n无最大项,数列 nT有最小项 5139,故选 C 10 【答案】A 【解析】由 210 xy ,得 22(1)()1xy , 所以圆心 (1,)C,半径 r, 在 AMRt 中, cosACM , 当 B最小时, 最小, cos最大, C最小,此时 Ml,C 的最小值为圆心 C到直线 l的距离 |14|2 , 此时 12cosAM , 4AM , 因为 CB,所以 l ,所以圆心 C到直线 AB的距离为 2 , 所以两平行直线 l与 A之间的距离为 2 , 因为原点 O到直线 l的距离为 |04|1 , 所以原点 到直线 AB的距离为 23 ,故选 A 11 【答案】A 【解析】 21()(0)4fxxa , (ln(0)gx, 0f , 1g , 函数 fx在点 1,Afx处的切线方程为 211142yxax , 函数 gx在点 2,Bfx处的切线方程为 22lnyxx , 两直线重合的充要条件是 12x , 212ln14xa , 由及 120 x,得 2 , 故 2221lnln1axx , 令 2 1tx ,则 0t ,且 2latt , 设 2ln1htt , 02t ,21ttt , 当 102t 时, 0ht恒成立,即 ht单调递减,lnht , x时, t, 即 a 的取值范围为 (1l2,),故选 A 12 【答案】A 【解析】如图,由题意可知 PC 的外心 1O在中线 PE上, 设过点 1O的直线 1l平面 A,易知 l平面 D, 同理, ADC 的外心 2在中线 E上 设过点 2的直线 l平面 ,则 2l平面 P 由对称性易知直线 1, 2的交点 O在直线 F上 根据外接球的性质,点 为四面体 ACD的外接球球心 易知 3EA, 4P,而 221E , 14AOEP, 1 78E 令 PEF,显然 02 , cos4EFP 1cosO , 1 72O , 又 EF, 27 ,即 4EF , 综上所述, 14 ,故选 A 第 卷 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 13 【答案】 12 (答案不唯一) 【解析】 ()sin(0)fxx在 2,43 上单调递增, 则 2 3 , )42 ,0 ,取一个该范围内的值即可,如 12 , 故答案为 12 14 【答案】 06 【解析】在 ABC 中, 30, 60AB, 18075C, 45ACB,sinsiAC ,即 60sin45i3BC ,解得 302 又在 DRt 中, 3B,ta02106C ,即山高 CD为 106m, 故答案为 106 15 【答案】6 【解析】设 AB的方程为 2 pxmy , 1,Axy, 2,By, 则由 2ypx ,得 220yp , 12ypm, 21yp ,2112121MABkmyx 2121210pmypyy ,AFB , 2tantan21AMF , 又 AF为锐角, t 不妨设 B,如图,作 AHx轴,垂足为 H,过 M 作直线 lx轴,l ,垂足为 ,则 F,tansinAMF ,2siH , 45A, 1m,2221 2| 44ABmyyyp ,故 6=, 故答案为 6 16 【答案】 ,2 【解析】令 cos2xgxf , 又 cosff,则 cos2xff , 即 gx,故函数 gx为奇函数cossin022ff ,故函数 gx在 R上单调递减, 则 cocos0 02xfxffxf , 即 g,即 gg, 即 x,故 2x , 所以 x 的取值范围为 , ,故答案为 ,2 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 大 题 , 共 70 分 , 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 (1)证明见解析;(2) 1 【解析】 (1)证明:取 OD 的中点 P,连接 PC、 PM, M、 N 分别是 OA、 BC 的中点, PMAD ,且 12A , NCD ,且 12A , NC ,且 PM NC,则 PMNC 是平行四边形,得 MNPC , PC平面 OCD, 平面 OCD, 直线 平面 OCD (2) OA平面 BCD,所以平面 OA平面 BCD, 又 ,所以 平面 ,112MODS , 又 C到平面 的距离为 1, 所以三棱锥 的体积即为三棱锥 OMCD的体积,为 1326 18 【答案】 (1) ,621k , kZ;(2) 12,4 【解析】 (1)由题意知2 cos13333cossinco sin2622xfxxx x 11iisincsi4xx 令 2,3xk , kZ,则 ,621k , kZ, 所以 fx的单调递增区间为 ,621k , kZ (2)因为 14fA ,所以 sin34A ,所以 1sin23A , 所以 236k 或 5 , k,即 1 k 或 4, kZ 又 ABC 为锐角三角形,故 4 , 因为 1a,所以由正弦定理可知, 2sinbB, 2sincC 所以 1siniii2ABCSbc B 21siisncosinicos4B1co21 1sini2i44B B 因为 AC 是锐角三角形,所以 0,B , 30,2C , 所以 ,42B ,所以 3,4 , sin2,14B , 所以 1sin,ABCS 19 【答案】 (1)茎叶图见解析,男: 7.,女: 163.4;(2)列联表见解析,有 90%把 握认为;(3) 0.6 【解析】 (1)茎叶图为 男生平均身高为 1738157041697416701.0 ; 女: 656285323. (2)将 20 名学生身高按从小到大的顺序排成一列:13,8,12,34,15,79,160,7,1,748,15 , 则 20 名学生身高的中位数 682h , 男、女身高的 2列联表: 人数 男生 女生 合计 身高 h7 3 10 身高 3 7 10 合计 10 10 20 因为 220733.270671K , 所以有 90%把握认为男、女身高有差异 (3)由测量结果可知,身高属于正常的男生有 人,身高属于不正常的男生有 4人,用分 层抽样的方法从这 10人抽取 5人, 其中身高正常的男生有 63 人,记这三名男生为 a, b, c, 身高不正常的男生有 45210 人,记这两名男生为 1,2, 从以上 5 名学生中任取 2 人的结果有 ab, c, , a, bc, , 2, 1c, ,12 共 10 种, 其中恰好一名身高属于正常的男生的事件有 1, 2, , , , ,共 6 种, 所以恰有 1 人属于正常的概率为 60.1 20 【答案】 (1) 243xy ;(2)证明见解析 【解析】 (1)因为椭圆 C 的离心率 1e ,所以 2 ca ,即 c 由 28yx ,得 p,所以 4,其焦点为 (,0)F, 因为抛物线 2 的焦点 (2,0)F恰好是该椭圆的一个顶点, 所以 a,所以 1c, 3b 所以椭圆 C 的方程为 24xy (2)由(1)可得 (,0)A, (,)B, 设点 M 的坐标为 (1,)m,直线 M的方程为 (2)3myx 将 23yx 与 243y 联立, 消去 y,整理得 22716108xm , 设点 D 的坐标为 ,Dy,则 247D , 故 25487mx ,则 2363xm 直线 MB的方程为 (2)y 将 (2)ymx与 143 联立, 消去 y 整理得 22610 xm 设点 E 的坐标为 ,Ey,则 243E, 故 28643Emx ,则 2143EEmyx , 直线 HD的斜率为 1 2226649587Dk , 直线 E的斜率为 2 2221443Eyxmm , 因为 12k,所以直线 经过定点 H 21 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2a 【解析】 (1) ln(1)1()ln1xxhx , 210 xh , 所以 在 ,上为单调递增函数,且 0h, 当 x时, 0 x (2)设函数 1lnaxf ,则 221xaxf , 令 21gx , 当 a时,当 0时, 0gx; 当 12时, 248a,得 x, 所以当 时, fx,fx 在 0,上为单调递增函数,此时 gx至多有一个零点,1Ffx 至多一个零点不符合题意舍去; 当 2a时,有 2480a, 此时 gx有两个零点,设为 12,t,且 12t 又因为 12t, ,所以 12t, 得 fx在 0,, 2,t为单调递增函数, 在 12,t上为单调递减函数,且 0f, 所以 10ft, 2ft, 又因为 01afe , 201afe ,且 fx图象连续不断, 所以存在唯一 1, axt ,使得 fx, 存在唯一 2te,使得 20, 又因为 1Fxfx , 所以,当 有两个不同的零点时, 2a 22 【答案】 (1) :4cosC, 2:4xy (或 240 xy ) ;(2)tan2 【解析】 (1) 2csinxy ( 为参数) ,得 cos2inxy ( 为参数) , 曲线 C的普通方程为 24y ,即 40cosx , siy, cos, 所以,曲线 1的极坐标方程为 , 曲线 2C的极坐标方程为 4sin,即 24sin ,cosx , y, 所以,曲线 2的极坐标方程化为直角坐标方程得 24xy ,即 224xy (2)依题意设 1,A、 2,B, 由 4cos ,得 14cos;由 4sin ,得 24sin,0 , 12, 1coiABOOMQ 是圆 C的直径, M 在 ARt 中, 4sin, 在 BAMRt 中, 4 , ABM, 即 4cosinsi, cos8in,即 1ta2 23 【答案】 (1) |53x ;(2) 1或 【解析】 (1)在 a时, x 在 x时, 2x, 5; 在 时, 21, 3x, 无解; 在 21x时, x, , 13x , 综上可知:不等式 1f的解集为 1|53x (2) 24xa恒成立, 而 1x或 214axax, 故只需 x恒成立,或 4恒成立, 1a或 , a的取值为 1或
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