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二次函数和一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程之间的联系 已知二次函数 y 的值为 m,求相应自变量 x 的值,就是求相应一元二次方程的解. 例如:已知二次函数 y=-x2+4x 的值为 3,求自变量 x 的值.就是求方程 3=-x2+4x(即 x2- 4x+3=0)的解。反过来,解方程 x2-4x+3=0,就是已知二次函数 y=x2-4x+3 的值为 0,求自变量 x 的值. 典例 1 如图是二次函数 的部分图象,由图象可知不等式y=ax2+bx+c 的解集是( )ax2+bx+c0 A B C 且 Dx1 或 x51x5 x5 【答案】D 【解析】由图象得:对称轴是 x=2,其中一个点的坐标为(5,0) , 图象与 x 轴的另一个交点坐标为(1,0) 。 由图象可知: 的解集即是 y0 的解集,ax2+bx+c0 有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切; =0 没有交点 抛物线与 轴相离.0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac0 没有公共点 没有实数根 典例 1 已知二次函数 y=x2x+ 14 m1 的图象与 x 轴有交点,则 m 的取值范围是() Am5 Bm2 Cm5 Dm2 【答案】A 【详解】二次函数 y=x2x+ 14 m1 的图象与 x 轴有交点, =(-1) 2-41( m-1)0, 解得:m5, 故选 A 典例 2 二次函数 y x26 x+m 的图象与 x 轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0) , 则另一个交点的坐标为() A (1,0) B (4,0) C (5,0) D (6,0) 【答案】B 【详解】解:由二次函数 得到对称轴是直线 ,则抛物线与 轴的两个交点=26+ =3 坐标关于直线 对称,=3 其中一个交点的坐标为 ,则另一个交点的坐标为 ,(1,0) (5,0) 故选:C 巩固训练 一、单选题(共 10 小题) 1函数 y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0) ,则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 () Ax4 或 x2 B4x2 Cx0 或 x2 D0 x2 【答案】A 【详解】抛物线 y=ax2+2ax+m 的对称轴为直线 x=- =-1, 22 而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(2,0) , 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(-4,0) , a0, 抛物线开口向下, 当 x-4 或 x2 时,y0 故选 A 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数, a0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 2二次函数 yx 26x+m 的图象与 x 轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0) ,则 另一个交点的坐标为() A (1,0) B (4,0) C (5,0) D (6,0) 【答案】B 【详解】解:由二次函数 得到对称轴是直线 ,则抛物线与 轴的两个交点=26+ =3 坐标关于直线 对称,=3 其中一个交点的坐标为 ,则另一个交点的坐标为 ,(1,0) (5,0) 故选:C 【名师点睛】考查抛物线与 x 轴的交点坐标,解题关键是掌握抛物线的对称性质 3二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示,若一元二次方程 ax2+bx+m-1=0 有两个不相等的实数 根,则整数 m 的最小值为( ) A0 B-1 C1 D2 【答案】A 【详解】一元二次方程 ax2bxm10 有两个不相等的实数根,可以理解为 yax 2bx 和 y1m 有交点,可见 1m2,m1,m 的最小值为 0,故答案选 A. 【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质,解此题的要点在于理解 “ax2bxm10 有实数根,可以理解为 yax 2bx 和 y1m 有交点”这句话的意义. 4已知 m,n(mn)是关于 x 的方程(xa) (xb)=2 的两根,若 ab,则下列判断正确 的是 Aambn Bmanb Camnd Dmabn 【答案】D 【详解】解:(x-a) (x-b)=2, m、n 可看作抛物线 y=(x-a) (x-b)与直线 y=2 的两交点的横坐标, 抛物线 y=(x-a) (x-b)与 x 轴的两交点坐标为(a,0) , (b,0) ,如图, mabn 故选:D 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根与系数的关系;根据题意得出 m、n 可看作 抛物线 y=(x-a) (x-b)与直线 y=2 的两交点的横坐标是解决问题的关键 5图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在图(1)位置时,拱顶(拱桥洞的最 高点)离水面 2m,水面宽 4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) Ay=-2 By=2 Cy= - Dy= 2 2 122 122 【答案】C 【解析】抛物线顶点为(0,0) ,所以设抛物线方程为 (2,-2)是图像上的点,=2(0); 所以 故选 C2=2 2,=12; 6已知一元二次方程 1(x3) (x+2)=0,有两个实数根 x1和 x2(x 1x2) ,则下列判断正 确的是( ) A2x 1x23 Bx 123x2 C2x 13x2 Dx 12x23 【答案】B 【详解】设 y=-(x3) (x+2) ,y 1=1(x3) (x+2) y=0 时,x=-2 或 x=3, y=-(x3) (x+2)的图像与 x 轴的交点为(-2,0) (3,0) , 1(x3) (x+2)=0, y 1=1(x3) (x+2)的图像可看做 y=-(x3) (x+2)的图像向上平移 1,与 x 轴的交点 的横坐标为 x1、x 2, -10, 两个抛物线的开口向下, x 123x 2, 故选 B. 【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点,根据开口方向确定函数的增减性是 解题关键. 7如图,抛物线 与 x 轴一个交点为 ,对称轴为直线 ,则=2+(0) (2,0) =1 时 x 的范围是 4 2 24 C D23 00,即(-4) 2-4k0, k4, 故答案为:k4. 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题,由题意得出抛物线与 x 轴有两个交点是 解题的关键. 12已知抛物线 y=3x24x+c 的顶点在 x 轴上方,则 c 应满足的条件_ 【答案】c 43 【详解】抛物线 y=3x24x+c 的开口向上, 其顶点的纵坐标为: = = , 42443(4)243 343 由于抛物线的顶点在 x 轴上方, 所以 0, 343 解得:c , 43 故答案为:c . 43 【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,本题中的抛物线开口向上,因此也可以通 过根的判别式小于 0 来求解. 13若函数 y(a1)x 24x2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 a 的值为_ 【答案】1 或 2 或 1 【解析】函数 y=(a-1)x2-4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点, 当函数为二次函数时,b 2-4ac=16-4(a-1)2a=0, 解得:a 1=-1,a 2=2, 当函数为一次函数时,a-1=0,解得:a=1. 故答案为:-1 或 2 或 1. 14二次函数 的部分图象如图所示,对称轴为直线 ,与 轴的=2+(0) =1 一个交点为 ,与 轴的交点为 ,则方程 的解为(1, 0) (0, 3) 2+=0(0) _ 【答案】 ,1=1 2=3 【详解】解:抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是(1,0) ,对称轴为直线 x=-1, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点是(-3,0) , 方程 ax2+bx+c=0(a0)的解为:x 1=1,x 2=-3 故答案为:x 1=1,x 2=-3 【名师点睛】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点,正确得出抛物线与 x 轴的交点坐标是解 题关键 15如图为二次函数 2yaxbc图象的一部分,其对称轴为直线 1.若其与 x 轴一交点 为 A(3,0)则由图象可知,不等式 20 x的解集是_. 【答案】1x3 【解析】试题分析:由图象得:对称轴是 x=1,其中一个点的坐标为(3,0) 图象与 x 轴的另一个交点坐标为(-1,0) 利用图象可知: ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集, -1x3 三、解答题(共 2 小题) 16已知二次函数 ( 为常数).=2(1)(3) (1)求证:不论 为何值,该函数的图像与 轴总有公共点; (2)当 取什么值时,该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方? 【答案】 (1)证明见解析;(2) 时,该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.3 【解析】分析:(1)首先求出与 x 轴交点的横坐标 , ,即可得出答案;1=1 2=+3 (2)求出二次函数与 y 轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于 0 即可求出. 详解: (1)证明:当 时, .=0 2(1)(3)=0 解得 , .1=1 2=+3 当 ,即 时,方程有两个相等的实数根;当 ,即 时,方程有+3=1 =2 +31 2 两个不相等的实数根. 所以,不论 为何值,该函数的图像与 轴总有公共点. (2)解:当 时, ,即该函数的图像与 轴交点的纵坐标是 .=0 =2+6 2+6 当 ,即 时,该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.2+60 3 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与 x 轴的交点的证明方法, 求出抛物线与 y 轴交点的纵坐标是解决问题(2)的关键. 17二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题 (1)写出方程 ax2bxc0 的两个根; (2)写出不等式 ax2bxc0 的解集; (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围; (4)若方程 ax2bxck 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围 【答案】 (1)x1 或 x3 是方程 ax2bxc0 的两个根;(2)lx3;(3)当 x2 时, y 随 x 的增大而减小;(4)k2 【解析】1)图中可以看出抛物线与 x 轴交于(1,0)和(3,0), 方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x=1 或 x=3; (2)不等式 ax2+bx+c时,通过图中可以看出:当 1x0, 不等式 ax2+bx+c0 的解集为(1,3); (3)图中可以看出对称轴为 x=2, 当 x2 时,y 随 x 的增大而减小; (4)抛物线 y=ax2+bx+c 经过(1,0),(2,2),(3,0), 0 93abc , 解得:a=2,b=8,c=6, 2x 2+8x6=k,移项得2x 2+8x6k=0, =644( 2)(6k)0, 整理得:168k0, k2 时,方程 ax2+bx+c=k 有 2 个相等的实数根。
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