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二次函数和一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程之间的联系 已知二次函数 y 的值为 m，求相应自变量 x 的值，就是求相应一元二次方程的解. 例如：已知二次函数 y=-x2+4x 的值为 3,求自变量 x 的值.就是求方程 3=-x2+4x(即 x2- 4x+3=0)的解。反过来，解方程 x2-4x+3=0，就是已知二次函数 y=x2-4x+3 的值为 0,求自变量 x 的值. 典例 1 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式y=ax2+bx+c 的解集是（ ）ax2+bx+c0 A B C 且 Dx1 或 x51x5 x5 【答案】D 【解析】由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ， 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 。 由图象可知： 的解集即是 y0 的解集，ax2+bx+c0 有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切； =0 没有交点 抛物线与 轴相离.0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac0 没有公共点 没有实数根 典例 1 已知二次函数 y=x2x+ 14 m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（） Am5 Bm2 Cm5 Dm2 【答案】A 【详解】二次函数 y=x2x+ 14 m1 的图象与 x 轴有交点， =(-1) 2-41( m-1)0， 解得：m5， 故选 A 典例 2 二次函数 y x26 x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0） ， 则另一个交点的坐标为（） A （1，0） B （4，0） C （5，0） D （6，0） 【答案】B 【详解】解：由二次函数 得到对称轴是直线 ，则抛物线与 轴的两个交点=26+ =3 坐标关于直线 对称，=3 其中一个交点的坐标为 ，则另一个交点的坐标为 ，(1,0) (5,0) 故选：C 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1函数 y=ax2+2ax+m（a0）的图象过点（2，0） ，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 （） Ax4 或 x2 B4x2 Cx0 或 x2 D0 x2 【答案】A 【详解】抛物线 y=ax2+2ax+m 的对称轴为直线 x=- =-1， 22 而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（-4，0） ， a0， 抛物线开口向下， 当 x-4 或 x2 时，y0 故选 A 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 2二次函数 yx 26x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0） ，则 另一个交点的坐标为（） A （1，0） B （4，0） C （5，0） D （6，0） 【答案】B 【详解】解：由二次函数 得到对称轴是直线 ，则抛物线与 轴的两个交点=26+ =3 坐标关于直线 对称，=3 其中一个交点的坐标为 ，则另一个交点的坐标为 ，(1,0) (5,0) 故选：C 【名师点睛】考查抛物线与 x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质 3二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m-1=0 有两个不相等的实数 根，则整数 m 的最小值为( ) A0 B-1 C1 D2 【答案】A 【详解】一元二次方程 ax2bxm10 有两个不相等的实数根，可以理解为 yax 2bx 和 y1m 有交点，可见 1m2，m1，m 的最小值为 0，故答案选 A. 【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解 “ax2bxm10 有实数根，可以理解为 yax 2bx 和 y1m 有交点”这句话的意义. 4已知 m，n（mn）是关于 x 的方程（xa） （xb）=2 的两根，若 ab，则下列判断正确 的是 Aambn Bmanb Camnd Dmabn 【答案】D 【详解】解：（x-a） （x-b）=2， m、n 可看作抛物线 y=（x-a） （x-b）与直线 y=2 的两交点的横坐标， 抛物线 y=（x-a） （x-b）与 x 轴的两交点坐标为（a，0） ， （b，0） ，如图， mabn 故选：D 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出 m、n 可看作 抛物线 y=（x-a） （x-b）与直线 y=2 的两交点的横坐标是解决问题的关键 5图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最 高点）离水面 2m，水面宽 4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） Ay=-2 By=2 Cy= - Dy= 2 2 122 122 【答案】C 【解析】抛物线顶点为（0,0） ，所以设抛物线方程为 （2，-2）是图像上的点，=2(0); 所以 故选 C2=2 2,=12; 6已知一元二次方程 1（x3） （x+2）=0，有两个实数根 x1和 x2（x 1x2） ，则下列判断正 确的是( ) A2x 1x23 Bx 123x2 C2x 13x2 Dx 12x23 【答案】B 【详解】设 y=-（x3） （x+2） ，y 1=1（x3） （x+2） y=0 时，x=-2 或 x=3， y=-（x3） （x+2）的图像与 x 轴的交点为（-2，0） （3，0） ， 1（x3） （x+2）=0， y 1=1（x3） （x+2）的图像可看做 y=-（x3） （x+2）的图像向上平移 1，与 x 轴的交点 的横坐标为 x1、x 2， -10， 两个抛物线的开口向下， x 123x 2， 故选 B. 【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是 解题关键. 7如图，抛物线 与 x 轴一个交点为 ，对称轴为直线 ，则=2+(0) (2,0) =1 时 x 的范围是 4 2 24 C D23 00，即（-4） 2-4k0， k4， 故答案为：k4. 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，由题意得出抛物线与 x 轴有两个交点是 解题的关键. 12已知抛物线 y=3x24x+c 的顶点在 x 轴上方，则 c 应满足的条件_ 【答案】c 43 【详解】抛物线 y=3x24x+c 的开口向上， 其顶点的纵坐标为： = = ， 42443(4)243 343 由于抛物线的顶点在 x 轴上方， 所以 0， 343 解得：c ， 43 故答案为：c . 43 【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通 过根的判别式小于 0 来求解. 13若函数 y(a1)x 24x2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为_ 【答案】1 或 2 或 1 【解析】函数 y=(a-1)x2-4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b 2-4ac=16-4(a-1)2a=0， 解得：a 1=-1，a 2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1 或 2 或 1. 14二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，与 轴的=2+(0) =1 一个交点为 ，与 轴的交点为 ，则方程 的解为(1， 0) (0， 3) 2+=0(0) _ 【答案】 ，1=1 2=3 【详解】解：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点是（1，0） ，对称轴为直线 x=-1， 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点是（-3，0） ， 方程 ax2+bx+c=0（a0）的解为：x 1=1，x 2=-3 故答案为：x 1=1，x 2=-3 【名师点睛】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确得出抛物线与 x 轴的交点坐标是解 题关键 15如图为二次函数 2yaxbc图象的一部分，其对称轴为直线 1.若其与 x 轴一交点 为 A(3，0)则由图象可知，不等式 20 x的解集是_. 【答案】1x3 【解析】试题分析：由图象得：对称轴是 x=1，其中一个点的坐标为（3，0） 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（-1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， -1x3 三、解答题（共 2 小题） 16已知二次函数 （ 为常数）.=2(1)(3) （1）求证：不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点； （2）当 取什么值时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方？ 【答案】 （1）证明见解析；（2） 时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.3 【解析】分析：（1）首先求出与 x 轴交点的横坐标 ， ,即可得出答案;1=1 2=+3 (2)求出二次函数与 y 轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于 0 即可求出. 详解： （1）证明：当 时， .=0 2(1)(3)=0 解得 ， .1=1 2=+3 当 ，即 时，方程有两个相等的实数根；当 ，即 时，方程有+3=1 =2 +31 2 两个不相等的实数根. 所以，不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点. （2）解：当 时， ，即该函数的图像与 轴交点的纵坐标是 .=0 =2+6 2+6 当 ，即 时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.2+60 3 【名师点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与 x 轴的交点的证明方法， 求出抛物线与 y 轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键. 17二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题 (1)写出方程 ax2bxc0 的两个根； (2)写出不等式 ax2bxc0 的解集； (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； (4)若方程 ax2bxck 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 【答案】 （1）x1 或 x3 是方程 ax2bxc0 的两个根；（2）lx3；（3）当 x2 时， y 随 x 的增大而减小；（4）k2 【解析】1）图中可以看出抛物线与 x 轴交于(1，0)和(3，0)， 方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x=1 或 x=3； （2）不等式 ax2+bx+c时，通过图中可以看出：当 1x0， 不等式 ax2+bx+c0 的解集为(1，3)； （3）图中可以看出对称轴为 x=2， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小； （4）抛物线 y=ax2+bx+c 经过(1，0)，(2，2)，(3，0)， 0 93abc ， 解得：a=2，b=8，c=6， 2x 2+8x6=k,移项得2x 2+8x6k=0， =644( 2)(6k)0， 整理得：168k0， k2 时,方程 ax2+bx+c=k 有 2 个相等的实数根。
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